(新课标)2017高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程真题演练 文

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

第1课时 直线及其方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角和斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°.(2)当直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)时，直线斜率可以表示为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其中x 1≠x 2. 2．直线的方程3.过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，2(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[基础自测]1．(教材改编题)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝0－23－0＝－23. 答案：C2．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<120°，则直线l 的斜率k 的范围是( ) A ．－3＜k ≤0 B ．k ＞－ 3 C ．k ≥0或k ＜－ 3 D ．k ≥0或k ＜－33解析：0°≤α＜90°时，k ≥0；90°＜α＜180°时，k ＜0；90°＜α＜120°时，k ＜－ 3. 答案：C3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：直线的两点式方程为y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0.答案：B4．(2016·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AC ＝k AB ，即a －35－4＝5－36－4.解得a ＝4. 答案：45．(2016·广东佛山模拟)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是________．解析：如图，满足条件的直线有l 1与l 2两种情况，其中l 1的倾斜角为45°，l 2的倾斜角为135°，所以，它们的方程分别为y ＝x －6，y ＝－x －6.答案：y ＝x －6或y ＝－x －6考点一 直线的倾斜角与斜率[例1] 直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3审题视点 先求斜率的范围，再求倾斜角的范围．解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.故选B.答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．1．(2016·开封调研)设A (－1,2)，B (3,1)，若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2解析：如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0,0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13.故选C. 答案：C2．(2016·成都七中模拟)已知函数f (x )＝a sin x －b ·cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，又倾角范围为[0，π)，故其倾斜角为3π4，选D.答案：D考点二 求直线方程[例2] (1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；(2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程；(3)若一直线被直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程． 审题视点 根据已知条件，选择合适的直线方程的形式，(1)题采用待定系数法求解，(2)(3)题可采用直接法求解． 解 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α＝2tana21－tan2α2＝34.令tan α2＝m ，则8m ＝3(1－m 2)，即3m 2＋8m －3＝0，解得m ＝13或m ＝－3(舍)，∴tan α2＝13，tan 2α＝2tan α1－tan α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.(3)设所求直线与直线4x ＋y ＋6＝0相交于A ，与直线3x －5y －6＝0相交于B ， 设A (a ，－4a －6)，则由中点坐标公式知B (－a,4a ＋6)， 将B (－a,4a ＋6)代入3x －5y －6＝0得．3(－a )－5(4a ＋6)－6＝0，得a ＝－3623，从而求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3623，623，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3623，－623，所以所求直线方程为y ＝－16x .求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．1．(2016·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：(1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 2．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5； 解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.∴⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.考点三 直线方程的应用[例3] 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题视点 先设出AB 所在的直线方程，再求A 、B 两点的坐标，写出表示△ABO 的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值． 解 法一：由题可设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1，b ＝2a a －3且a ＞3，b ＞2. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a2a －3.故有S △ABO ＝a －2＋a －＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2a －9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3， 即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4，∴此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：由题可设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时，等号成立，S △ABO 取最小值12，此时k ＝－b a ＝－23，∴此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，S △ABO 取最小值12.此时，直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如图所示，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N .设θ＝∠PAM ＝∠BPN 显然θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则S △ABO ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋292tan θ·2tan θ＝12， 当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △ABO 取最小值12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.(1)利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．(2)以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决．1．(2015·福州模拟)已知直线l 1的倾斜角为3π4，直线l 2经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 2垂直，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：依题意知：直线l 1的斜率k 1＝tan 3π4＝－1，又因为直线l 1与直线l 2垂直，直线l 2的斜率k 2＝2＋13－a ，所以k 2＝2＋13－a ＝1，解得a ＝0.答案：C2. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．与直线方程有关的创新命题[典例] 在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解题指南存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形．解析①正确．例如y＝3x＋2，当x是整数时，y是无理数，(x，y)不是整点；②不正确，如y＝2x－2过整点(1,0)；③设y＝kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx知对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④不正确，如y＝1 3x＋12，当x为整数时，y不是整数，此直线不经过无穷多个整点；⑤正确，如直线y＝3x，只经过整点(0,0)．答案①③⑤阅卷点评本题呈现形式比较新颖，以斜截式方程为载体，但实质上还是考查了整点的概念．此类新概念题目经常会从几个不同的角度考查学生对知识或新信息的理解和把握，进而考查学生学习和应用新知识并结合原有知识解题的能力．创新点评本题有三处创新点：(1)本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；(2)考查内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；(3)考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式．备考建议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．◆一条规律求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．◆两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，则应对斜率存在与不存在加以讨论． (2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 答案：D2．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－AB x －C B. ∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0， ∴其斜率k ＝－A B＜0， 又y 轴上的截距b ＝－C B＞0， ∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x－1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________． 解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0 ∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e －5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解：(1)设C (x ，y )． ∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5， 又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)．由截距式得MN 的方程为x 1＋y－52＝1即5x －2y －5＝0.8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.[B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确． 答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 其中sin α∈[－1,1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：B3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝α＋2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a 的取值范围是________．解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率k ＝a －10＋3＝a －13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3，所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________． 解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)，∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝06．(2015·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两条直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2时，α1＝α2，从而有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.这是对于不重合的直线l 1，l 2而言的．如果l 1与l 2是否重合不能确定时，k 1＝k 2时，可以得到l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(2)若两条直线都有斜率，且l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若l 1的斜率为0，当l 1⊥l 2时，l 2的斜率不存在，其倾斜角为90°.2．两条直线的交点坐标已知两条直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当满足条件A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交，其交点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求得，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数解，则两直线重合．3．距离公式 (1)两点间距离公式两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离①点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.②点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为d ＝|y 0|；点P (x 0，y 0)到y 轴的距离为d ＝|x 0|；点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离是d ＝|y 0－a |；点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离是d ＝|x 0－b |.(3)两条平行线间的距离两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0和l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[基础自测]1．(教材改编题)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2 D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3. 答案：D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析：d ＝|－5|12＋22＝ 5.答案：D3．(2016·铜川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将(1,0)点代入得1＋m ＝0解得m ＝－1.故所求直线方程为x －2y －1＝0. 答案：A4．平行线：l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解：6x －4y ＋3＝0⇔3x －2y ＋32＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝13213＝132.答案：1325．(2016·合肥调研)斜率为2，且与直线2x ＋y －4＝0的交点恰好在x 轴上的直线方程是________． 解析：∵2x ＋y －4＝0与x 轴的交点坐标为(2,0)． ∴所求直线的方程为y ＝2(x －2)即2x －y －4＝0. 答案：2x －y －4＝0考点一 两条直线的平行与垂直[例1] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 审题视点 根据两条直线的位置关系列方程(组)求解． 解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1，∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(与上述结论矛盾)． ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1、k 2都存在， ∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.在运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为零时的特殊情况．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行， ∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 又所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|m |1＋4＝5， 解得m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 答案：A2．(2016·河南天一联考)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D. 2解析：若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－ab ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ， 所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．所以选B.答案：B考点二 两条直线的交点与距离问题[例2] 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710 5.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．审题视点 (1)由l 1与l 2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a 的方程，解方程即可得出a 的值；(2)由点P (x 0，y 0)满足②③条件可得出关于x 0、y 0的方程组，解方程组，即可求出点P 的坐标，注意验证是否适合条件①. 解 (1)l 2即2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，且|C －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去；由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．(1)挖掘题目的隐含条件，题目隐含l 1∥l 2，故第(2)问中满足②的条件转化为“P 点在直线l ′：2x －y ＋C ＝0”上；(2)第(2)问属存在型开放问题，解决的方法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假设——得出结论”，即假设存在型开放问题的结论成立，以此为基础进行演绎推理，若出现矛盾，则否定假设，得出相反结论；若推出合理结果，说明假设正确．1．(2016·湖南衡阳模拟)若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2B.1a 2－1b 2＝1p2C.1a2＋1p2＝1b2D.1a 2p2＝1b2解析：由题意设直线方程为x a ＋y b＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p2，故选A.答案：A2．(2016·山西忻州检测)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a －＝0，4a 2＋b2＝|b |a －2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.答案：0或83考点三 对称问题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 审题视点 借助平面几何知识找出代数关系．解 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.求直线m 关于l 的对称直线m ′时，因m 与l 相交，先求交点，除了交点之外，我们可以再在m 上任选一点，求出其关于l 的对称点，利用两点式求出直线m ′的方程；若m 与l 平行，我们必须在m 上任取两点，求出其关于直线l 的对称点，用两点式求出直线m ′的方程，也可利用m ∥l ∥m ′这一性质，求出一个对称点的坐标，用点斜式求出m ′的方程．1．(2016·秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 |k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝02．(2016·北京东城期末)如图所示，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F<k FD，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)新定义下的直线方程问题[典例] 在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；②设P为直线5x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．解题指南①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．解析①由[OP]＝1，根据新定义得：|x|＋|y|＝1，上式可化为：y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y ＝x－1(0≤x≤1)，画出图像如图所示：根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确； ②当点P 为⎝⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误； 所以正确的结论有：①. 答案 ①创新点评 (1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查．(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同． 备考建议 解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点： (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何．◆一条规律在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论． 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.(2)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1.(3)l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. ◆三种对称(1)点关于点的对称．点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．课时规范训练 A 级 基础演练]1．(2016·株洲模拟)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋－2＝322. 答案：C2．(2016·枣庄三中月考)若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案：C3．(2016·宁夏银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．3或－1解析：由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a，即a ＝－1.故选C. 答案：C4．(2015·黄石模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：∵点P 在y 轴上，∴设P (0，y )，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－－＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．答案：D5．(2016·武汉模拟)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m ，n 的值分别为________、________.解析：∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7. 答案：1 76．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：求出定点A ，B 的坐标，并注意已知两直线互相垂直． ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．答案：57．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1,3)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－3，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，若a ＝3，则k 1不存在，k 2＝－34，则l 1与l 2既不平行，也不垂直．因此a ≠3，k 1＝a －33－a ＝－1，k 2＝a ＋2－2－3－1＝－a4.(1)∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2. ∴－1＝－a4.∴a ＝4. (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. ∴(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1.∴a ＝－4.8．过点P (－1,2)引一直线，两点A (2,3)，B (－4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程．解：法一：当斜率不存在时，过点P (－1,2)的直线方程为：x ＝－1，A (2,3)到x ＝－1的距离等于3，且B (－4,5)到x ＝－1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，过点P (－1,2)的直线方程为：y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， 依题设知：|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解上式得：k ＝－13，所以，所求直线方程为：x ＋3y －5＝0； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P (－1,2)与AB 平行的直线，另一条是过点P 及AB 中点的直线．因为A (2,3)，B (－4,5)，所以k AB ＝3－52＋4＝－13，因此，过点P 与AB 平行的直线的方程为：y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；又因为A (2,3)，B (－4,5)的中点坐标D (－1,4)， 所以过点P 及AB 中点的直线方程为x ＝－1； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.[B 级 能力突破]1．(2016·浙江台州中学质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2D ．2 3解析：由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b≥2b ·1b＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.答案：B2．(2016·泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，103，直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，。

必考部分
第八章
平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲考情] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式 等)，了解斜截式与一次函数的关系．
主干知识·整合 热点命题·突破
2．过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析：由题意知，4m－＋m2＝1，解得 m＝1. 答案：A
直线方程
1．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
斜截 纵截距、 ____________
式 斜率
点斜 过一点、 ____________
的中点 M 的坐标为(x，y)，则xy＝ ＝
， ，此公式为线段
P1P2 的中点坐标公式．
答案
1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) yy2－－yy11＝xx2－－xx11 ax＋by＝
1
2.x1＋2 x2
y1＋y2 2
3．判断正误 (1)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( ) (2)过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线一定可用两点式表 示．( ) (3)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表 示．( )
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝________，倾 斜角是 90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 式为 k＝________．

高三一轮第八章平面解析几何8。

1直线的倾斜角与斜率、直线的方程【教学目标】1。

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2。

能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3。

掌握确定直线位置的几何要素.4。

掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系。

【重点难点】1。

教学重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握确定直线位置的几何要素及直线方程的几种形式；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】【解析】设P（x,1)，Q（7，y)，则错误!＝1，错误!＝－1,∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7,－3)，故直线l的斜率k＝错误!＝－1。

故选B.【答案】B33．若直线l过点P(－1，2），且与以A(－2,－3），B（3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________．【解析】如图所示,为使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足k≥k PA或k≤k PB，又k PA＝错误!＝5.k PB＝错误!＝－为0，即直线l过（0,0)及(3,2)，所以直线l的方程为y＝错误!x，即2x－3y＝0.若直线l在两坐标轴上的截距不为0，则设直线l 的方程为错误!＋错误!＝1，又点(3,2)在直线l上,所以错误!＋错误!＝1，解得a＝5,因此直线l的方程为x＋y－5＝0.综上知,直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0●命题角度2 与直线方程有关的最值问题3．已知直线l过点P(3,2),且与x 轴、y轴的正半轴分别交于A、。