七年级尖子生数学辅导资料(5)

第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题8.1同底数幂的乘法专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•思明区校级期中）计算m3•m2的结果，正确的是（）A．m2B．m3C．m5D．m6【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：m3•m2＝m3+2＝m5．故选：C．2．（2022•志丹县模拟）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．﹣a6B．a6C．a8D．﹣a8【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣a）2•a4＝a6．故选：B．3．（2021秋•松山区期末）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2＝（﹣x）5＝﹣x5．故选：D．4．（2022秋•静安区校级期中）已知m为奇数，n为偶数，则下列各式的计算中正确的是（）A．（﹣3）2•（﹣3）m＝3m+2B．（﹣2）3•（﹣2）m＝﹣2m+3C．（﹣4）4•（﹣4）n＝﹣4n+4D．（﹣5）5•（﹣5）n＝（﹣5）n+5【分析】应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A．因为（﹣3）2•（﹣3）m＝（﹣3）2+m，m为奇数，m+2为奇数，（﹣3）2+m＝﹣3m+2，所以所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意；B．因为（﹣2）3•（﹣2）m＝（﹣2）3+m，m为奇数，m+3为偶数，（﹣2）3+m＝23+m，所以B选项计算不正确，故B选项不符合题意；C．因为（﹣4）4•（﹣4）n＝（﹣4）n+4，n为偶数，n+4为偶数，（﹣4）n+4＝4n+4，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；D．因为（﹣5）5•（﹣5）n＝（﹣5）n+5，所以D选项计算正确，故D选项符合题意．故选：D．5．（2022春•江阴市期中）已知a m＝6，a n＝2，则a m+n的值等于（）A．8 B．3 C．64 D．12【分析】根据a m+n＝a m•a n即可求解．【解答】解：∵a m+n＝a m•a n，且a m＝6，a n＝2，∴a m+n＝6×2＝12．故选：D．6．（2022春•无锡期中）计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（）A．﹣（b﹣a）10B．（b﹣a）30C．（b﹣a）10D．﹣（b﹣a）30【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则可求解．【解答】解：（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5＝（b﹣a）2[﹣（b﹣a）]3（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）5（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）10．故选：A．7．（2022•潮安区模拟）若3x＝2，3y＝10，3n＝20，则下列等式成立的是（）A．n＝5x+y B．n＝xy C．n＝x+y D．n＝x﹣y【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行分析即可．【解答】解：∵3x＝2，3y＝10，3n＝20，∴3x×3y＝2×10，则3x+y＝20，∴3x+y＝3n，∴n＝x+y．故选：C．8．（2022•南京模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022C．k n+1010D．2022k【分析】根据h （m +n ）＝h （m ）•h （n ），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【解答】解：∵h （2）＝k （k ≠0），h （m +n ）＝h （m ）•h （n ），∴h （2n ）•h （2020）＝h (2+2+...+2)︸n 个•h (2+2+...+2)︸1010个=ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸n 个•ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸1010个＝k n •k 1010＝k n +1010，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2021秋•奉贤区期末）计算：22×24＝ 26 （结果用幂的形式表示）．【分析】根据同底数幂的乘法法则即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4＝26．故答案为：26．10．（2022秋•嘉定区校级期中）用幂的形式表示结果：﹣25×（﹣2）4＝ ﹣29 ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣25×24＝﹣29．故答案为：﹣29．11．（2022秋•嘉定区期中）计算：（a +1）3（﹣a ﹣1）2＝ （a +1）5 ．（结果用幂的形式表示）【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（a +1）3（﹣a ﹣1）2＝（a +1）3（a +1）2＝（a +1）3+2＝（a +1）5．故答案为：（a +1）5．12．（2022秋•阳信县期中）若27＝24•2x ，则x ＝ 3 ．【分析】根据同底数幂的乘法即可得出答案．【解答】解：根据题意得27＝24•2x ，∴4+x ＝7，∴x＝3．故答案为：3．13．（2022秋•朝阳区期中）若a+b+c＝1，则（﹣2）a﹣1×（﹣2）2b+2×（﹣2）a+2c的值为﹣8．【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：当a+b+c＝1时，（﹣2）a﹣1×（﹣2）2b+2×（﹣2）a+2c＝（﹣2）a﹣1+2b+2+a+2c＝（﹣2）2a+2b+2c+1＝（﹣2）2（a+b+c）+1＝（﹣2）2×1+1＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．14．（2022春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝2x+1．【分析】逆用同底数幂的乘法公式，把x＝2m+1变形为2m＝x﹣1，而2m+1＝2•2m，所以2m+1＝2（x﹣1），从而把y用含x的代数式表示出来．【解答】解：∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1．∵2m+1＝2•2m，∴2m+1＝2（x﹣1）．∴y＝3+2m+1＝3+2（x﹣1）＝2x+1．故答案为：2x+1．15．（2022秋•铁西区校级月考）已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值7．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），∴a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．16．（2018春•海港区期中）（1）运用同底数幂的乘法可以得到a•a•a2•a2＝a6，再写出两个不同的算式（a2•a•a3与a•a2•a3算同一个算式），只运用同底数幂的乘法计算，可以得到a6（指数为正整数）：a•a5＝a6，a2•a4＝a6．（2）按照（1）的要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到a6的不同算式共有10个．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．依此即可求解．【解答】解：（1）a•a5＝a6，a2•a4＝a6，（2）a•a•a•a•a•a＝a6，a•a•a•a•a2＝a6，a•a•a•a3＝a6，a•a•a4＝a6，a•a5＝a6，a•a•a2•a2＝a6，a•a2•a3＝a6，a2•a2•a2＝a6，a2•a4＝a6，a3•a3＝a6，故运算结果可以得到a6的不同算式共有10个．故答案为：a•a5；a2•a4；10．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算（1）a2•a4（2）22×23×2（3）4×27×8（4）（﹣a）2•（﹣a）3（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n计算即可．【解答】解：（1）a2•a4＝a2+4＝a6．（2）22×23×2＝22+3+1＝26．（3）4×27×8＝22×27×23＝22+7+3＝212．（4）（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）2+3＝（﹣a）5．（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3＝（x﹣2y）2+3＝（x﹣2y）5．（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3＝﹣（x﹣2y）2+3＝﹣（x﹣2y）5．18．计算：（1）108×102；（2）（﹣x）2•（﹣x）3；（3）a n+2•a n+1•a n•a；（4）（y﹣1）2•（y﹣1）；（5）（b+2）3•（b+2）5•（b+2）．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m+n（m，n是正整数），进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝108+2＝1010；（2）原式＝x2•（﹣x3）＝﹣x2+3＝﹣x5；（3）原式＝a n+2+n+1+n+1＝a3n+4；（4）原式＝（y﹣1）2+1＝（y﹣1）3；（5）原式＝（b+2）3+5+1＝（b+2）9．19．（2019春•邗江区校级月考）计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝b2×b2×b3＝b7；（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5＝﹣（y﹣2）3（y﹣2）7＝﹣（y﹣2）10．20．已知a m＝2，a n＝3，求下列各式的值：（1）a m+1（2）a n+2（3）a m+n+1．【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加；对所求代数式进行变形为同底数幂相乘的形式，再根据已知代入计算即可．。

第十三讲线段趣题引路】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭.由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km,傍晚才停下来休息，司机说，再泄C市到这里路程的一半就到达目的地.问A、B两市相距多少千米？解析：画出线段图进行分析.如图13 — 1所示，设小镇为D点，傍晚在E点休息.A D CEB^13-12•：CE=2EB, :. CE= - BC.3:.DC=-AC3 39：DC+CE= - （BC+AC）= ^AB・3 32:.DE=-AB,又DE=400km・3/. AB=600km.点评：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用.同学们想一想，"计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗？如果把司机的话改成“再走C市到这里路程的1 就到达目的地”,需要3 前面的条件吗？请同学们自己试完成解答.知识延伸】一、线段（直线）的计数例1如图13-2,两条平行线〃八n上各有4个点和5个点•任选9个点中的两个作直线，则一共可以作___________ 条直线.囹G2解析：直线皿上的4个点每个点都可以与直线"上的5个点作出5条直线，所以共有4X5=20条宜线，再加上加、”两条,共22条.点评：线段（直线）的计数和角的计数、三角形的计数问题一样，关键是确泄一左的顺序，做到不重不漏•通常有按字母的顺序，按大小顺序，整体分析等计数方法.二、中点的特征及其应用，线段的和、差.倍、分关系及其转化例2.如图13-3, C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23, 求线段AC 的长度，还能求出其他线段的长度吗？图13・3解析・.・D 、C 分别是AC 、AB 的中点, ・•・ DC = -AC = -X L A B = -AB •2 2 2 4 图中共6条线段，它们的长度之和为： 23 = (AD + DC + BC) + (AC + BD) + AB=AB + (AB + CD) + AB = — AB 4其他各条线段的长度可以求出，AD = DC = \-.BC = AC = 3-.BD = 5-・13 13 13 点评：（1） C 是线段AB 的中点，则有AC = BC = ^AB.2（2） 一条线段往往需要将它转化成几条线段的和或差，再将其中的部分线段进行转化: （3） 线段的相关汁算往往可以引入方程的思想，使问题简便. 三、最小值问题例3.如图13-4,某汽车公司所营运的公路AB 段共有4个车站，依次为A 、C 、D 、B, AC=CD=DB, 现想在AB 段建一个加油站M,要求使A 、B 、C 、D 站的各一辆汽车到加油站M 所花费的总时间最少， 试找岀M 的位置，AC=CD=DB 这个条件是必需的吗？若有5个站呢？ 100个站呢？试找岀规律.A C D B图13・4解析 若加汕站M 建在AC 之间则有： 路程 s=AB+CD+m>AB+CD（其中m 表示加油站M 到C 站的距离.） 若加油站M 建在DB 之间，同理，有s>AB+CD ：若加油站建在CD 之间，包括C 、D 两点，则路程s=AB+CD.M 点应在线段CD 上从上而的分析可知，AC=CD=DB 这个条件是不必需的.根据上而的分析推理方法可知，若有偶数个 站，则建在中间两站之间；若有奇数个站，则建在中间一个站处.点评：直观地利用线段来分析代数问题是一种常用且有效的途径，数形结合的思想方法是解决数学问 题以及实际问题的一种重要的思想方法，学习过程中要能大胆联想，如发现有人能够联想到构造一个 以“为边长的正方形，则泸就表示这个正方形的而积，从而将一个代数问题转化成直观的几何问题.AB =4x23 13四、线段公理的应用例4.如图13・5,在河边有两个村庄甲、乙，为了解决两村的用水问题，政府准备在河边修一个抽水站向两村供水.问如何选择抽水站的位置，才能使供水所用管道最短？解析两点之间线段最短，但连结甲、乙两点的线段与河没有交点，所以想到将甲或乙转化到河的另一边，但要保证路程不变.利用轴对称的性质可以实现这一目的.图13・5如图13・6所示，P点即是抽水站的最佳位置例5・如图13・7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？解析虽然A. B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸•如图13-8,关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图13-9,建立在PD处符合题意.点评：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代.从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法•好题妙解】佳题新题品味例如图13-10,小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们之间有网络相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A.19B. 20C. 24D. 26A自己改变一些数字，再求一求.解析从上方走单位时间最终到达B点的只有7条信息：从下方走最终有12条信息全部能到达B点.点评：注意下方虽然6+7=13,但前而单位时间内只能传6+6=12条信息来.所以，单位时间共有19 条信息能到达B点，故选A.中考真题欣赏例（桂林市中考题）已知线段AB=4, AC=3,那么线段BC的长度的取值范围是______________ .解析如图13-11,将线段AC绕着端点A进行旋转，易知C点在AB上时BC最短，且有BC=AB-AC=1 ；C点在BA的延长线上时，BC最长，且有BC=AC+AB=7,故有1<BC<7・c cA B图13・11点评：利用运动的观念来研究几何问题是一种不错的方法.竞赛样题展示例（“五羊杯"赛题）如图13-12,已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是AC的中点，P 是线段NA的中点，Q是线段的中点，则MN:PO等于（）人QP MN B CI II I I II图13-12解析•/ P、Q分别是NA、MA的中点，••• AP=丄NA, AQ=1M A,2 2••• QP=AP-A0= 1 （NM-MA）=1M N2 2••• MN:PQ=2 ・故选B.点评：利用中点的立义进行线段的转化，再利用线段的和、差、倍、分关系进一步转化来解决问题，同学们想一想，若把是线段AB的中点，N是线段AC的中点"这个条件去掉，能求出MN:PQ的值吗？由此你能得到什么结论？过关检测】 A 级 1.在同一平面内有4个点，过每两点画直线，直线的条数是（）A. 1条B. 4条C. 6条D.以上都有可能2. ____________________________________________________________________________ 乘火车从广州到上海，共有25个车站（包括广州和上海在内），那么共需准备 __________________________ 种不同的 车票3. 如图13-13,已知B. C 是线段AD±的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN 二a, BC=b, 则线段AD=MPQNACDEB图 13J44. 如图 13J4, C 、D 、E 将线段 AB 分成 4 部分，且 AC:CD:DE:EB=2： 3： 4： 5, M 、P 、Q 、N 分别是 线段AC 、CD 、DE 、EB 的中点，若MN=2h 则PQ 的长是 ______________ .5. 线段 AB 上有 P 、Q 两点，AB=26, AP=14, PQ=11,那么 BQ= ______________ •6. 如图13-15,公路上依次有A 、B 、C 三站，上午8时，甲骑自行车从A 、B 之间离A 站18km 的P 点 出发，向C 站匀速前进,15min 到达离A 站22km 处.（1） _____________________________________________________________________ 设xh 后，甲离A 站ykm,用含x 的代数式表示y 得：y= __________________________________________________ .（2） ______________________________________________________________ 若A 、B 和B 、C 间的距离分别是30km 和20km,则上午 _______________________________________________ 到 _________ 的时间内，甲在 B. C 两站之间（不包括B 、C 两站）.A P li C图13・15B 级1.平而内有】】条直线（比2）,这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点, 则a+b 的值是（ ）A. n （n-l ）B. n 2-n + \C.D. "_一"一‘2 233. 如图13-6 线段AB=2BC, DA= -AB, M 是AD 的中点，N 是AC 的中点，试比较MN 和AB+NB 2 的大小•M N图13・13 2. 如果在一条直线上顺次有4个点A 、 A. ADBC + ABCD = AC ・BD C. ABBC + AC-CD = ACBD B 、C 、D,则下列等式成立的是(B ・ ADBC-ABCD = ACBD D.ABBC-ACCD = ACBD[ [ [ [ I 1D ABC图13-164.从县城P出发的一条直线公路两旁有10个村需要安装自来水(水从县城引出).县城与A村的距离为30km,其余各村之间的距离如图13-17所示，现有粗细两种水管可供选用，粗管够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水，安装费用，粗管每千米8000元，细管每千米2000元，耙粗、细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用•请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需总费用.3() ,5 242 322,2,5,图13J75.如图13-18, AB是一条大江，CD是一条铁路，M点有一个工厂，现在要把工厂生产的机器用汽车运达江边的船上，同时将船上的货物运到停在铁路线的火车上，然后汽车返回工厂.问码头和火车站应分别建在何处，才能使汽车所走的路程最短？6.如图13・19, A、B两村相隔两条河，且每条河的宽度相同，为了使两村之间的行程最短，应分别在两条河的什么位宜架桥？2.3.4.5・第十三讲线段A级1. D2. 600 人2a-2b 4. 7 5. 23 或1 6. 16A:+ 18,8{45,10：00DA提示;将一些线段表示成几条线段和、差的形式遊行代数运算・MN>AB +问提示：设BC为乞将其他线段用戈表示出来，求得三环AB* W2. 5乳提示:粗细暫需适当措配，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍,需要用4根细管的路段采用粗管和细管所花费用相同，需要用多于4根细管的路段采用粗管校合算・由县城P-A-B-C-D-E ■F宜采用粗管,F-G用粗管或细管均可,G-H、G-M、G-N分别安装一根细怦，总费用是= s =(30 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3) x8000 + 2 x 8000 * 2 x 2000 + (2 + 2} x2000 + +2+5) x2000 = 414000(元).如图1所示，码头建在P点处，火车站建在Q点处，汽车所走的最短路程为MP + PQ + QM・6.如图2所示，在MN、PQ处架桥，两村之间的最短行程为AM +MN十NPJQ+QB.。

第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。

求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。

2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。

（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。