空间几何体的内切球与外接球问题
1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A ．12π B.32
3π C ．8π D ．4π
[解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π
3
[解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2，
则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×⎝⎛⎭⎫323＝92
π.
3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．
答案：2053
π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦
定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25，
所以球的体积为205
3
π.
4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大
值为( )
A .
3
3
B . 3
C ．2 3
D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．
因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23
3
.
在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3
3
，
所以SH ＝
⎝⎛⎭⎫2332－⎝⎛⎭
⎫332
＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝3
3
.
5.[2016·赣州模拟] 如图7-38-19所示，设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝3，若AD ＝R(R 为球O 的半径)，则球O 的表面积为( )
图7-38-19
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．8π
选D ；解析：因为AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以AB ，AC ，AD 为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB ＝AC ＝3，所以AE ＝6，AD ＝R ，DE ＝2R ，则有R 2＋6＝(2R )2，解得R ＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.
6.[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示，已知三棱锥A -BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )
A ．12π
B ．7π
C ．9π
D ．8π
[解析]A 由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A -BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱
的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π.
7．[2016·福建泉州质检] 已知A ，B ，C 在球O 的球面上，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，且点O 到平面ABC 的距离为2，则球O 的表面积为________．
答案：20π [解析] 在△ABC 中用余弦定理求得AC ＝3，据勾股定理得∠BAC 为直角，故BC 的中点O 1即为△ABC 所在小圆的圆心，则OO 1⊥平面ABC ，在直角三角形OO 1B 中可求得球的半径r ＝5，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝20π.
8. [2016·河南中原名校一联] 如图K3816所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S -ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )
图K3816
A.916π
B.2516π
C.4916π
D.8116π
选D ；[解析] 如图所示作辅助线，易知球心O 在SG 1上，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2
－x ，同时由正方体的性质知B 1G 1＝22
，则在Rt △OB 1G 1中，由勾股定理得OB 21＝G 1B 2
1＋OG 21，即(2－x)2＝x 2＋⎝⎛⎭
⎫222
，解得x ＝78，所以球的半径R ＝2－78＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8116π.
9．[2013·课标全国Ⅰ]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.500π
3 cm 3
B.866π3 cm 3
C.1 372π3
cm 3
D.2 048π3
cm 3
解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA
