课时跟踪训练(二) 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

第一章
空间几何体
【名师点评】
组合体是由简单几何体拼接、截去或挖
去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成和结
构，结合柱、锥、台、球的几何结构特征对原组合体进
行分割．
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第一章
空间几何体
跟踪训练
2．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法： ①由一个长方体割去一个四棱柱所构成的； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的； ③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成的． 其中正确说法的序号是________．
什么几何体？
解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围 成的几何体是圆锥． 如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是 两个同底相对的圆锥．
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第一章
空间几何体
如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转
180°围成的几何体是两个半圆锥， 旋转360°围成的几何体是一个圆锥．
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第一章
空间几何体
解析：如图所示，该组合体可由一个长方体割去一个四 棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组成而 成．故说法①②正确．
答案：①②
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第一章
空间几何体
题型三
例3
旋转体的侧面展开图
如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有
一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点， 问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
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第一章
空间几何体
做一做
2.将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以
得到图2所示的几何体的是________．
答案：②
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第一章
空间几何体

圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
圆台的结构特征
思考:经过圆台任意两条母线的截面是什么图形？轴截 面有哪些基本特征？
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
【即时训练】
圆台的母线 A．平行 C．与高相等
( B)
B．相等 D．与底面平行
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
探究点4 球的结构特征
如何描述它们具有的共同结构特征？ 球：以半圆的直径所在直线为旋 转轴，半圆面旋转一周形成的旋 转体叫做球体，简称球．
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
例题选讲
例1、将下列平面图形绕直线AB旋转一周，所得 的几何体分别是什么？
B
A 图1
·
B A
图2 ·
·
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
B
A 图3 · ·
例1.如图，将直角梯形ABCD绕AB所在的直线 旋转一周，由此生成的几何体是由哪些简单几 何体构成？
D
C
A
B
4.下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周(如图所示),
能形成圆台的是
(填序号).
【解析】根据定义,①形成的是圆台,②形成的是球,③
形成的是圆柱,④形成的是圆锥.
答案:①
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
天坛
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
【即时训练】
圆柱的母线长为10，则其高等于( B )
A．5
B．10
C．20
D．不确定
圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征
探究点2 圆锥的结构特征
想一想，如果以直角三角形的一条直角边， 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周 形成的曲面所围成的旋转体分别是什么形状？

底面周长
03
圆柱的底面周长等于2πr。
04
三种几何体的比较
顶点的比较
圆锥
圆锥有一个顶点，即圆锥的尖端。
圆台
圆台有两个顶点，即圆台的上端和下端。
圆柱
圆柱没有顶点，因为圆柱的上下底面是平行的。
侧面的比较
圆锥
圆锥有一个侧面，是一个曲面，从顶点到底面相交于一条直线（底 面圆心）。
圆台
圆台有一个侧面，也是一个曲面，从上底面的圆心到底面相交于一 条直线。
侧面形状
圆柱的侧面是一个矩形，其长等于圆的周长，宽 等于圆柱的高。
侧面展开
将圆柱的侧面展开，可以得到一个矩形，矩形的 长等于圆的周长，宽等于圆柱的高。
3
侧面面积
圆柱的侧面面积等于圆的周长乘以圆柱的高，即 2πrh。
圆柱的底面
底面形状
01
圆柱的底面是一个圆形，是封闭的曲面。
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底面半径
02
圆柱的底面半径记为r。
圆柱
圆柱没有侧面，因为圆柱的侧面是一个矩形面。
底面的比较
圆锥
圆锥有一个底面，是一个圆形。
圆台
圆台有一个上底面和一个下底面，都是圆形。
圆柱
圆柱有两个底面，都是圆形，且平行。
THANKS
感谢观看
圆锥的侧面
侧面定义
圆锥的侧面是连接圆锥顶 点与底面边缘的曲面。
侧面性质
圆锥侧面展开后是一个扇 形，扇形的半径等于圆锥 的母线长度，扇形的弧长 等于圆锥底面的周长。
侧面绘制
在绘制圆锥时，通常先绘 制圆锥的侧面轮廓，再根 据侧面轮廓绘制底面和顶 点。
圆锥的底面
底面定义
圆锥的底面是圆锥底部的圆形平 面。

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征[课时作业][A组基础巩固]1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥解析：如图所示：答案：D2．下列说法错误的是( )A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．答案：C3．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.答案：C4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( ) A．4πB．8πC．2πD．π解析：边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.答案：C5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的．解析：一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成．答案：一个半球，一个圆柱和一个圆台7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于52，则底面半径等于________．解析：设底面半径为r，母线长为 l，则l2＝r2＋h2＝2r2，代入可得r＝5.答案：58．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：99.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解析：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3xcm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SA 1O 1＝∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又12(6x ＋2x )·2x ＝441，解得x ＝2124，所以圆台的高OO 1＝2122(cm)，母线长l ＝2OO 1＝21(cm)，两底面半径分别为2124 cm 和6324cm.[B 组 能力提升]1．有下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的． 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④解析：由圆柱、圆锥、圆台母线的定义可知②④正确，①③不正确． 答案：D2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B. 答案： B3．如果一个球恰好内切于一个棱长为10 cm 的正方体盒子，那么这个球的半径为________cm. 解析：设球的半径为R ，则2R ＝10 cm ，故R ＝5 cm. 答案：54．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________． 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝ 42－r 2. 所以由题意可知12·(2r )·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝2 2. 答案：2 25．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________ cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°， 所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝4 3 cm.答案：4 36．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求： (1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解析：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，θ＝10－520×360°＝90°.设OB ′＝L ′，则5L ′·360°＝90°，L ′＝20. ∴OA ＝40，OM ＝30.∴AM ＝ OA 2＋OM 2＝50(cm)． 即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离． ∵OA ·OM ＝AM ·OQ ， ∴OQ ＝24.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。