专题02分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
高中必备知识点1：十字相乘法
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b
=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++. 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，
则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；
（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式2
ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即 21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即
1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
典型考题
【典型例题】
阅读与思考：将式子分解因式．
法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由，；
分析：这个式子的常数项，一次项系数，
所以.
解：.
法二：配方的思想.
.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）用两种方法分解因式：；
（2）任选一种方法分解因式：.
【变式训练】
阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
运用上述方法分解因式：
（1）x 2+6x+8；
（2）x 2﹣x ﹣6；
（3）x 2﹣5xy+6y 2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．
【能力提升】
由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．
实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×
3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；
(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.
高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法
1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++
3.提公因式的步骤：
（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
公因式
原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底
典型考题
【典型例题】
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]
=(1+x )2(1+x )
=(1+x )3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).
【变式训练】
因式分解：
（1）16a 2﹣4b 2
（2）x 3﹣2x 2+x
（3）（a 2﹣2b ）2﹣（1﹣2b ）2
【能力提升】
分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
，求的值
高中必备知识点3：关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)的因式分解
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
典型考题
【典型例题】
因式分解：
【变式训练】
分解因式：．
【能力提升】
阅读材料：
对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
解题过程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
参照上述材料，回答下列问题：
(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法()
A．提公因式法B．平方差公式法
C．完全平方公式法D．没有因式分解
(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；
(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
专题验收测试题
1．下列分解因式正确的是（）
A．m4﹣8m2+64=（m2﹣8）2
B．x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）
C．4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2
