再议n阶方阵和它的伴随矩阵

第１５卷第３期　
２０１２年５月　
高等数学研究　

ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　
ＶＯ１．１５，ＮＯ．３　

Ｍａｙ，２０１２　

再议　阶方阵和它的伴随矩阵　
白路锋　
（南京理工大学泰州科技学院，江苏泰州２２５３００）　

摘要　讨论　阶方阵和其伴随矩阵之间的一些性质．若对于方阵指定ｍ列（行）中每行（列）元素的和等于常　
数ｃ，则其伴随矩阵对应的ｍ行（列）元素的和也为常数．　
关键词　伴随矩阵；秩；行列式　
中图分类号　Ｏ１５１．２　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１２）０３—０００９—０２　

在各种代数考试题中，关于矩阵及其伴随矩阵的　
计算和证明的题目都会经常遇到，所以熟练掌握矩阵　及其伴随矩阵的性质是很有必要的．本文将文［１］中　的关于矩阵及其伴随矩阵的性质推广到更一般的情　况，将文［１］条件中的所有行（列）弱化为部分行　（列），并证明当矩阵Ａ的秩为　一１，且满足弱化后的　条件时，对应的伴随矩阵每行（列）和都为零．　以下设有７＂／阶方阵　Ａ一（。　）　×　，　它的伴随矩阵　Ａ　一（Ａ　）　，　其中Ａ　是方阵Ａ中元素ａ　的代数余子式．　引理ｉ　ｃ。　方阵Ａ的行列式之值等于它的任一　行（列）元素与它对应的代数余子式乘积之和，即　ｌ　Ａ　Ｉ—ａ　１Ａ　１＋ａ　２Ａ　２＋…＋ａ　Ａ　—　ａｌ　Ａ１　＋ａ２　Ａ　２　＋…＋ａ　Ａ　（ｉ一１，２，…，　）．　引理２＿２　行列式中任一行（列）中元素与另一　行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即　∑ａ￣Ａｊｋ一０（　≠　），　ｋ－－１　∑口　Ａ旬一０（　≠Ｊ）．　定理１　设，ｚ阶方阵Ａ满秩，若对于Ａ指定ｍ列　（行），该ｍ列（行）中每行（列）元素的和等于常数Ｃ，　则Ａ的伴随矩阵Ａ　对应的ｍ行（列）元素的和也为　常数．　证明　设对于Ａ中所指定的第Ｊ　，Ｊ　，…，Ｊ　列　中的每一行元素的和为ｃ，即　。　ｌ＋ａｉ）ｚ＋…＋ａｉ）　一ｃ　（　一１，２，…，　），　那么，把第Ｊ　，Ｊ　，…，Ｊ　列的元素都加于第Ｊ　列，之　收稿日期：２Ｏ１Ｏ一０５—１７；修改日期：２０１２—０３—０５　基金项目：南京理工大学教研项目（２０１１８９）　作者简介：白路锋（１９７８－－），男，河北隆尧人，硕士，讲师，从事应用数　学研究．Ｅｍａｉｌ：ｂａｉｌｕｆｅｎｇ：＠１６３．ｃｏｒｎ　后按第Ｊ　列展开行列式，可得　ｌ　Ａ　ｌ—ｃ（Ａ　＋Ａ２，　＋…＋Ａ　）．　
由于矩阵Ａ满秩，故其行列式不等于零，从而ｃ不为　
零，故有　
Ａ　＋Ａ　＋…＋Ａ　一ｊ＿＿　
，　

即伴随矩阵Ａ　的第　，Ｊ　ｚ，…，Ｊ　行的各行所有元素　
的和也为常数．　
定理２　设方阵Ａ可逆，若Ａ中指定的ｍ列　
（行）每行（列）元素的和等于常数Ｃ，则逆矩阵Ａ　
中相应的ｍ行（列）元素的和也为常数．　
证明　设对于Ａ中所指定的第Ｊ　，Ｊ　ｚ，…，Ｊ　列　
中的每一行元素的和为ｃ．因Ａ可逆，故Ａ满秩，由　
定理１知伴随矩阵Ａ　的第Ｊ　，Ｊ　，…，Ｊ　行的各行所　

有元素的和为常数　，５ＺＮ　
１　
Ａ－ｔ一　，　

故Ａ＿　的第Ｊ　，Ｊ　，…，Ｊ　行的所有元素之和为常数　．　
定理３　设　阶方阵Ａ的秩为，ｚ一１，若Ａ中指　
定的ｍ列（行）每行（列）元素之和等于非零常数ｃ，　
则伴随矩阵Ａ　对应的ｍ行（列）元素之和为常数０．　
证明　因为Ａ的秩为Ｔｌ一１，所以Ａ　的秩为１，　
且Ａ有特征根　
一
０，　
从而方程　
（２Ｉ——Ａ、Ｘ一０　
即为　
ＡＸ一０，　（１）　
该方程组解空间的维数为１，故所有解可表示成　
（其中是为任意常数，考是方程（１）的一个解）的形　
式，即所有解向量只差一个比例系数．把Ａ中所指定　
的ｍ行都加于其中某一行，可使该行元素都变为ｃ，　
从而由引理２以及Ａ的行列式为零可知　
ＡＬｌ　一０。　（下转第１９页）　
第１５卷第３期　李宗涛，袁宏：单位圆在三角函数不等式证明中的作用　１９　
同样划分，曲边△ＡＧＤ与曲边△ＣＦＤ分割出的二　
角形面积和　
ｓ　一２（ｔａｎ专）　．ｔａｎ署＞　

继续划分下去，得通项　
ｓ　一２（ｔａｎ　）　．ｔａｎ参＞　万　

所以　
ｓＩＩ｝Ｉ边△ＡＥｃ一∑Ｓ　一　

２
，
２（ｔａｎ寿）　．ｔａｎ　＞　

ｚ３—
１
ｚ３

。　
一　

由式（７）（８）（９）可得　
Ｓ△Ａ（ＪＢ—Ｓ扇形　ｃ＋Ｓ△　Ｅ＋Ｓ曲边△舡ｃ＞　

（９）　

又因为　
１＋　１　
ｚ。＋去ｚ３一　１　ｚ＋百１　ｚ３．　
所以命题成立．　
１　
△　一　ｔａｎ　３２，　

参考文献　
Ｅ１］郁祖权．中国古算解趣［Ｍ］．北京：科学出版社，　
２００８：３　６．　
［２］张景中．从数学教育到教育数学ＥＭ］．北京：中国少年儿　

童出版社，２０１１：１８—６１．　
Ｅ３］张景中．数学杂谈［Ｍ］．北京：中国少年儿童出版社，　

２０１１：２４８—２６６．　
［４］同济大学应用数学系．高等数学：上册［Ｍ］．５版．北京：　

高等教育出版社，２００２：５０—５１．　

Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｕｎｉｔ　Ｃｉｒｃｌｅ　ａｎｄ　Ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　

ＬＩ　Ｚｏｎｇｔａｏ　，　ＹＵＡＮ　Ｈｏｎｇ　
（１．Ｆｏｕｎｄｉｔｉｏｎ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｃｉｖｉｌ　Ａｖｉａｔｉｏｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０４０３，ＰＲＣ；　
２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｇｕａｎｇｙａ　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０４３０，　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｂｖ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｕｎｉｔ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，　
ｃｏｌｌｅｃｔｓ　ｓｏｍｅ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｐｒｏｏｆｓ．　
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｒｅａ，ｕｎｉｔ　ｃｉｒｃｌｅ　

ＰＲＣ）　
ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　

ｏ●。●ｏ●ｏ．（）●（）●。●（）●◇●。●。●（）●ｏ●ｏ●。●ｏ－‘）．。．（）．　．（）．　．（）．。．（）．。●（）●（）●（）●（）‘。。（）。９‘（）‘（）。。。（）。（）‘。●（）●（）●（）‘。　。　（）．（）‘　
（上接第９页）　

所以　
ｆ（Ａｎ＋Ａ　２＋…＋Ａ　）一０．　
由于Ｃ≠０，从而只能有　
Ａ　＋Ａ　＋…十Ａ　一０．　
结合方程（１）的所有解向量只差一个比例系数得伴　
随矩阵的每一列所有元素的和都是零．　
另外，显然当，ｚ阶方阵Ａ的秩小于ｎ一１时，Ａ的　

Ｏｎ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｓｑｕａｒｅ　Ｍ　

伴随矩阵都为零矩阵．　
参考文献　
［１］李剑秋，浅谈　阶方阵与它的伴随矩阵［Ｊ］．高等数学研　
究，２００９，１２（１），９３—９５．　
Ｅ２］北京大学数学系几何与代数教研室，高等代数［Ｍ］．３　
版．北京：高等教育出版社，２００３：７８　

ａｔｒｉｃｅｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅｉｒ　Ａｄｊ　ｏｉｎｔ　
ＢＡＩ　Ｌｕｆｅｎｇ　
（Ｔａｉｚｈｏｕ　ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｚｈｏｕ　２２５３００，ＰＲＣ）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｓｑｕａｒｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｄｊｏｉｎｔｓ．　
Ｆｏｒ　ｇｉｖｅｎ　ｍ　ｃｏｌｕｍｎｓ（ｒｏｗｓ）ｏｆ　ａ　ｓｑｕａｒｅ　ｍａｔｒｉｘ，ｉｆ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｍ　ｃｏｌｕｍｎｓ（ｒｏｗｓ）ｉｓ　ａ　
ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｃｏｌｕｍｎ（ｒｏｗ），ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｒｏｗｓ（ｃｏｌｕｍｎ）ｏｆ　ｔｈｅ　ａｄｊ　ｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　
ａｌｓｏ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｒｏｗ（ｃｏｌｕｍｎ）．　
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　ａｄｊ　ｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ，ｒａｎｋ，ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ　

∑