浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。

在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。

下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。

一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。

3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。

4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。

二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。

对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。

通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。

2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。

3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。

因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。

4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。

此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。

综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。

它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。

伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。

关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。

在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。

伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。

如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。

伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。

1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。

即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。

3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。

这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。

4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。

5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。

这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。

6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。

这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。

7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。

即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。

它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。

文献综述数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1].线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2].矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3].数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2].矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近E3227号问题[18]. 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法[19], 这有利于刚体力学的发展, 更体现伴随矩阵的物理意义.在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 所以对伴随矩阵的研究是十分必要的, 本课题将进一步探讨伴随矩阵的性质和应用, 特别在一些特殊矩阵的基础上, 以便进一步发掘伴随矩阵的作用.参考文献[1] 杨子胥. 高等代数习题集[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1982.[2] 北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.9.[3] R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[4] 许维珍. 数学模型中矩阵的应用[J]. 湖南农业大学学报, 2008, 9(5): 84~86.[5] 徐天保. 分块矩阵的应用[J]. 安庆师范学院学报, 2010, 16(2): 106~108[6] C.M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journal ofMathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[7] 徐宏武. 幂等矩阵的性质及应用[J]. 宜春学院学报, 2004, 26(6): 22.[8] 谭瑞梅等. Hankel 矩阵的性质及其应用[J]. 郑州轻工业学院学报, 2005, 20(4): 97~99.[9] 杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2003, 23(1): 20~21.[10] 王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[11] 郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3): 55~60.[12] 徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.[13] 贾美娥. 关于矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17n m [14] 韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[15] 吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[16] 刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[17] 肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3): 48~49.[18] 张明善. 伴随矩阵的一个应用[J]. 西南民族学院学报. 自然科学版, 1996, 22(1): 123.[19] 蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[20] 苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31:61.。

伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。

本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。

一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。

伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。

2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。

伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。

二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。

伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。

伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。

2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。

三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。

下面以几个例子来说明其应用。

1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。

如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。

2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。

伴随矩阵与伴随变换的定义与性质伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与伴随变换有着密切的关系。

本文将介绍伴随矩阵和伴随变换的定义与性质，并探讨它们在矩阵理论与线性变换中的应用。

一、伴随矩阵的定义给定一个n阶矩阵A=(a_ij)。

我们定义A的伴随矩阵Adj(A)为A的代数余子式矩阵的转置矩阵，即Adj(A) = (C_ij)T，其中C_ij是A的代数余子式。

二、伴随变换的定义根据伴随矩阵的定义，我们可以引入伴随变换的概念。

给定一个n 维向量空间V上的线性变换T，我们定义其伴随变换为V上的另一个线性变换T*，其中对于任意向量v∈V，有(T*v, u) = (v, T*u)，这里(u, v)表示内积。

三、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等。

证明：设A为一个n阶矩阵，rank(A)=r。

对于任意的n阶矩阵B，有rank(B)≥ rank(A)。

因此，我们只需证明rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

首先，矩阵A的伴随矩阵的任意一列都可以由A的列向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

其次，由于A的伴随矩阵的每一行都由A的行向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

综上所述，rank(Adj(A)) ≤ rank(A)，即rank(Adj(A)) = rank(A)。

2. 伴随矩阵的秩与伴随变换的秩相等。

证明：对于伴随矩阵Adj(A)，我们可以定义一个新的线性变换T_1，其矩阵表示为Adj(A)。

根据伴随矩阵的定义，我们可以得到T_1为T的伴随变换。

根据伴随变换的定义，我们知道rank(T_1) = rank(T)。

同时，根据伴随矩阵的性质1，我们知道rank(Adj(A)) = rank(A)。

因此，我们有rank(T_1) = rank(Adj(A)) = rank(A)。

3. 伴随变换的伴随变换是原变换自身。

证明：设T为V上的一个线性变换，其伴随变换为T*。

谈谈伴随矩阵的性质及其应用摘要：线性代数是高等院校理工科学生必学的一门课程，其中矩阵理论在线性代数中占有十分重要的地位，而矩阵的运算也是数值分析领域中具有极其广泛的应用。

然而，在现行的教材中都出现过方阵的伴随矩阵的概念，但是大多编者和教材并没有对伴随矩阵进行过全面的探究。

我们知道矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念．它有很多重要的性质，并且有及其广泛的应用。

所以系统的去分析伴随矩阵的性质和运算，具有十分重要的意义。

本文对于伴随矩阵常用的性质做了归纳与总结，然后介绍了矩阵的伴随矩阵一些常见的应用。

关键词：伴随矩阵；逆矩阵；矩阵的秩；线性代数在线性代数讨论矩阵的逆时，为了求可逆矩阵的逆矩阵，我们引入了矩阵的伴随矩阵的概念，用伴随矩阵的性质推得了矩阵可逆的充要条件，并由此推出了求逆矩阵的公式。

但由于用定义计算逆矩阵比较繁琐，所以，在实际计算中，通常我们一般利用矩阵的初等变换求它的逆矩阵。

然而，伴随矩阵及其性质的重要性不仅仅在讨论矩阵的逆时用到，它在讨论矩阵的行列式，矩阵的秩以及矩阵的特征值等等，都有其广泛的应用。

下面，我们首先给出矩阵的伴随矩阵的概念，然后讨论一下伴随矩阵的性质，最后，探讨伴随矩阵性质的一些应用。

1.伴随矩阵的概念定义：设是一个n阶方阵，为中元素的代数余子式，称n 阶矩阵为n阶矩阵的伴随矩阵。

1.伴随矩阵的性质性质1. ；注：这是n阶矩阵的伴随矩阵的一个非常重要的性质，一般情况下，只要涉及到有关伴随矩阵的命题，都是从这个性质作为切入点展开讨论。

至于这个性质的证明，只要利用矩阵的乘法即行列式的性质直接验证即可。

由性质1，易推得如下性质2至性质7.性质2. 如果，则；性质3. （1）；（2）；（3）性质4. 如果为对称矩阵，则也是对称矩阵；性质5. ；性质6. ，（其中为阶方阵）性质7. 如果可逆，则也可逆，且；性质8. 设为n阶方阵，则；证明：如果，则，由性质1可知，在等式两边取行列式可得，由此推得，从而；如果，则，由性质1可知，由此可知得列向量都是齐次线性方程组的解，又由于，可知，齐次线性方程组的基础解系含有个解向量，因此，；如果，则的每一个元素，也即为零矩阵，故。

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。

在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。

一、伴随矩阵的定义
伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。

对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：
adj(A)=(Cij)T
其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。

1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：
|adj(A)| = |A|n-1
2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：
3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：
adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I
其中I为n阶单位矩阵。

4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。

5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：
A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1
|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2
...
|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)
1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。

总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。

理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的原理及应用1. 伴随矩阵的定义伴随矩阵是指对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，也称为A的伴随矩阵或共轭矩阵。

伴随矩阵的大小与A的大小相同，但其中的每个元素都是A对应位置元素的代数余子式。

2. 伴随矩阵的计算方法伴随矩阵的计算方法有多种，其中比较常用的方法是利用矩阵的代数余子式进行计算。

具体的步骤如下： 1. 对于矩阵A中的每一个元素a[i][j]，计算其代数余子式M[i][j]； 2. 计算伴随矩阵中每个元素的值，即adj(A) = transpose(M)。

3. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质： - A与其伴随矩阵adj(A)相乘，得到的结果是行列式的倍数，即A * adj(A) = det(A) * I，其中I为单位矩阵； - 当矩阵A可逆时，其伴随矩阵adj(A)也可逆，并且(adj(A))^-1 = (1/det(A)) * adj(A)； - 若A为对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。

4. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：4.1 矩阵求逆伴随矩阵在矩阵求逆中起到关键的作用。

当矩阵A可逆时，可以利用伴随矩阵进行求逆运算。

具体步骤如下： 1. 计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算矩阵A 的行列式det(A)； 3. 若det(A)不等于0，则矩阵A可逆，A的逆矩阵A^-1 =(1/det(A)) * adj(A)。

4.2 线性方程组的求解伴随矩阵在求解线性方程组中也有应用。

对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量，可以利用伴随矩阵求解。

具体步骤如下： 1. 计算系数矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算系数矩阵A的行列式det(A)；3. 若det(A)不等于0，则方程组有唯一解，解为x = (1/det(A)) * adj(A) * b。

4.3 线性代数中的变换伴随矩阵在线性代数中也用于描述某些变换。

伴随矩阵的原理及应用伴随矩阵（也称为伴随矩阵、伴随方阵或对合方阵）是一个与给定矩阵相联系的矩阵，用于计算矩阵的逆矩阵、求解线性方程组以及解决其他代数和几何问题。

在本文中，我们将讨论伴随矩阵的原理和应用。

伴随矩阵的定义：给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，定义如下：伴随矩阵adj(A) = C^T （转置），其中C为矩阵C的元素c_ij的代数余子式。

即c_ij=(-1)^(i+j) M_ij，其中M_ij 为元素a_ij的代数余子式。

伴随矩阵的原理：伴随矩阵与原矩阵满足以下关系：A * adj(A) = adj(A) * A = A * I （单位矩阵），其中A 表示矩阵A的行列式。

应用一：求解线性方程组伴随矩阵在求解线性方程组中发挥重要作用。

考虑一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶矩阵，b为n维向量，x为未知向量。

我们可以通过伴随矩阵求解该线性方程组。

具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式A ，如果A =0，则方程组无解；如果A ≠0，则方程组有唯一解。

2. 计算伴随矩阵adj(A)。

3. 求解未知向量x，令x = adj(A) * b。

应用二：计算逆矩阵伴随矩阵也可以用于计算矩阵的逆。

对于一个n阶非奇异矩阵A（即矩阵A的行列式A ≠0），其逆矩阵记作A^{-1}，有以下关系：A * A^{-1} = A^{-1} * A = I （单位矩阵）。

根据这个关系，我们可以计算矩阵A的逆矩阵A^{-1}，如下所示：1. 计算矩阵A的行列式A ，如果A =0，则矩阵A没有逆矩阵；如果A ≠0，则矩阵A存在逆矩阵。

2. 计算伴随矩阵adj(A)。

3. 根据A^{-1} = (1/ A ) * adj(A)，计算矩阵A的逆矩阵A^{-1}。

应用三：计算矩阵的生成方法除了求解线性方程组和计算逆矩阵，伴随矩阵还可以用于求解矩阵的生成方法。

给定一个矩阵A，我们可以通过伴随矩阵找到其生成方法。

具体步骤如下：1. 计算伴随矩阵adj(A)。

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A =中元素的代数余子式，则矩阵A =ij A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211ij a *称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的假设干性质及应用摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵.1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA ==**可得()AAA =-1*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA ==**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310241A ，求()1*-A .解 经计算可得1=A ，所以()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-1003102411*A A AA .例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且41=A ，求()*132A A --. 解()1111*1432132132------=-=-A A A A A A A 16114141413131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--AA A . 例3、已知A 和B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，求C 的伴随矩阵*C . 解 由E C C C CC ==**得， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==------111111*B B A O OA B A B OO A B A B O O A B O O A CC C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有()()*11*--=A A证明 因为 ()E A A AE A AA 1*11*,---==故有，AA A *1=-；又因为A A 11=-从而 ()()E AE A A AA A A11*1**11===----，因0≠A ，故()E A A =-*1*, 所以()()*11*--=A A .例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2311123211A ，求伴随矩阵*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 ()A A AAA 11*--==， 而2311123211=-A =8，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==--3155131518111A A ,所以()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-3155131511*A .㈡此题用性质6可直接得()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==--315513151*11*A A ，可见简单之处. 1.3 ()*1*A k kA n -= 〔k 为常数〕证明 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111所以kA 的1-n 阶子式中每一个元素都是A 中的相对应元素的k 倍，从每一行中提取公因子k ，从而矩阵kA 中每一元素ij ka 的1-n 阶代数余子式就是ij n A k 1-.所以()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---------nn n nn n n n n n n n n n n A k A k Ak A k A k A k A k A k A k kA 121112122112111211111*=1-n k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111=*1A k n - 故证之.例5、设A 为一个3阶矩阵，且已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112211123A ，求*41⎪⎭⎫⎝⎛A .解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513555531332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛1651611631651651651651631615135555311614141*2*A A .1.4 伴随矩阵的秩的性质 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则秩()=*A ()()(),;1,1;0,1;n A n A n A n =⎧⎪=-⎨⎪<-⎩当秩时当秩时当秩时证明 ()1 当秩()n A =时 0≠A ，由于E A AA =*，两边同时取行列式，得 nA A A =* 所以0*≠A 故秩()n A =*. ()2当秩()01=-=A n A 时，，由0**==AA E A AA 得从而可知*A 的每一列都是方程组0=AX 的解向量,故由此可得()()1*=-≤A n A 秩，又因为 A 矩阵至少有一个1-n 阶子式不为零，故*A 至少有一个元素不为零， 所以 此时秩()1*=A .()3当秩()1-<n A 时，矩阵01*=-A n A 阶子式全为零，故的所有，所以秩()0*=A .性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.例6、设()2>n n 阶方阵A ，假设秩()2-=n A 时，则秩()=*A ______.A.nB.1-nC.1D.0解 因为秩()2-=n A ，由以上性质可得秩()=*A 0，故选D.例7、设A 为一四阶矩阵，且*,0000001001001000A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=是A 的伴随矩阵，求秩()()**A.解 因为秩()3=A ，而A 为4阶矩阵，所以 秩()3141*=-<=A ，由以上性质可得 秩()()0**=A .1.5 1*-=n AA证明 ()1当A 可逆时，由于两边同时取行列式，得,*E A AA =nA A A =*，因为0≠A ，两边同时乘以1-A，得1*-=n AA ；()2当A 不可逆时，()1;0*≤=A A 可得秩，则,0*=A从而此时也有 1*-=n AA .例8、已知B A 和都是n 阶方阵，=-==-1*4,2,4B A B A 则. 解 34111*1*221441444------=-⋅⋅===n n n n n n B A B A B A . 1.6()A AA n 2**-= 〔2>n 〕证明 ()1当0≠A A 可逆时，则， 因为,*E A AA = 所以,1*-=A A A 于是 ()()()()**11*111111nAA A A AA A A AA A-------=== =A A A AA A n n211--= ()2当(),1,0*≤=A A A 秩不可逆时，则由此可得 当()()所以此时有所以时，秩,0,02****==>A A n()*2*n A AA -=.例9、已知A 为n 阶可逆矩阵,且3=A ，化简()**1A A --. 解 因为E A A A AA ==**，所以 *11A AA =-，所以 ()()()AA AA A A A A A A A A A AAn n n n 3211111121**1*******1------=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1.7 ()[]5***A B AB =证明 ()1;0,00≠≠≠B A AB 时，此时有当从而有1*1*,--==B B B A A A 可得 ()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB ====-----()()(),,02E B B E A A AB λλλλ-=-==时，此时考察矩阵当 因为矩阵B A 和的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个λ，使得 ()()0,0≠≠λλB A ∆由()1得结论可得，()()()()()λλλλ***A B B A = ，令()()()()(),*n n ij h B A ⨯=λλλ ()()()()n n ij k A B ⨯=λλλ** 则由上式得()()λλij ij k h =， ()n j i ,...,2,1,= Θ因为知有无穷多个式成立，使穷多个式成立，从而也就有无使Θ∆λλ但是由于()()λλij ij k h ,都是多项式，因此Θ式对一切都成立λ；特别，当令0=λ时有 ()()()()()()******0000A B A B B A AB ===故证明之.例10、已知A 和B 为三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211212131*A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310241*B ，求()*1AB -.解 经计算可得()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10031010411*B ， 所以 ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--21142113932112121311003101041**1*1A B AB.1.8 ()()**T TA A =证明 由于 E A A A AA ==**所以 ()()()()()TTT T TT T TA A A A E A A A A A *****===又 ()()()()()()()******T T TT TT T TA A A E A A AA A A A ===因此有 ()()**T TA A A A =()1当A 可逆时，则0≠A ， 所以 ()()**T TA A =；()2当A 不可逆时，则0=A ，此时用矩阵A E A 代替矩阵λ-，得 ()()()()**T TE A E A E A E A λλλλ--=--因为矩阵A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个λ使得,0≠-E A λ从而有()()()()**T TE A E A λλ-=-令()()()()nn ijTh E A ⨯=-λλ*， ()()()()nn ijT k E A ⨯=-λλ*， ∆所以有 ()()λλij ij k h = ()n j i ,...,2,1,=由此可得存在无穷多个λ使得上式成立，而()()λλij ij k h ,都是多项式，因此上式对一切λ都成立，取0=λ代入∆式时，有 ()()**T TA A =.1.9 伴随矩阵的特征值]5[设矩阵n n A λλλ，，，个特征值有...21；()阵的特征值为为满秩矩阵时，伴随矩当A 1A A A n 11211,...,,---λλλ()2当A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为0，而且另一个不等于零的特征值假设存在，则等于nn A A A +++...2211.[5]证明 ()1因为A 为满秩矩阵，所以A 为可逆矩阵也即0≠A 1*-=A A A ，此时矩阵A 的特征值均不为零，且1-A 的n 个特征值为,...,1211--λλ,1-n λ，再由1*-=A A A 可得，伴随矩阵有n 个特征值为A A A n 11211,...,,---λλλ；()2 ①当秩()2-≤n A 时，此时，秩()0*=A ，所以0*=A因此 可推得0,0，…,0为伴随矩阵*A 的特征值 此时结论成立.②当秩()1-=n A 时，此时，秩()1*=A ，那么设*A 的特征值为''2'1,...,,n λλλ由假设尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-''1*10**n T A T λλ ， 其中''2'1,...,,n λλλ为*A 的全部特征值因为()1*=A ，不妨设,0 0'2'1===≠n λλλ而则上式为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0...0.........**'1*1λT A T从而 nn A A A trA +++==...2211*'1λ.例11、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，假设A 有特征值λ，则()E A +3*必有特征值什么?解 由性质知，A 有特征值λ，*A 必有特征值λA，从而()E A +3*必有特征值3⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA +1. 1.10 如果A 是可逆矩阵，且**~,~B A B A 则证明 因为B A ~，则存在可逆矩阵T ，使得 B AT T =-1 把上式两边同时取行列式得B T A T =-1，又由于A 可逆，故0≠A ，从而0≠B ，即B 也是可逆的， 所以，1*1*,--==B B B A A A 由B AT T =-1，则()()111111111---------===B T A T T A T ATT因此 11~--B A 因为B A ~，则B A =把111---=B T A T 两端同时乘以A 得，*1111*1B B B B A T A A T T A T ====-----所以，,**1B T A T =-**~B A .例12、设A 、B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为1，1，3，求*B .解 因为A 的特征值为1，1，3， 故3=A ，所以 *A 的特征值为131,31,31=⨯=⨯=⨯A A A ，又因为B A ~，所以**~B A ，所以 *B 的特征值为3，3，1， 所以9*=B .1.11 如果A 是可逆矩阵，且也合同与和合同，则与**B A B A证明 由题中矩阵B A 与合同，因此存在可逆矩阵C ，使[1] B AC C T =，等式两边分别取行列式，得B C A C T = 因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，从而0≠B ，而B A C =2又因为()()11111-----==B C A C ACC TT ， 令()1-=TC T则()()TT TCT 1-==()()11--=C C TT ， 从而11--=B T A T T ， 故是合同的与11--B A ， 从而()11112----==B B T C A A T C B B T A T A C TT 即所以()()**B T C A T C T=，所以**B A 与也合同.2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质[4]2.1 假设A 是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是可逆的对称矩阵a.已知数量矩阵()0≠k kE ，它的伴随矩阵也是数量矩阵；A 是可逆的，则它的伴随矩阵*A 也是对角矩阵.2.2 假设A 是上〔下〕三角矩阵，且A 是可逆的，则*A 也是上〔下〕三角矩阵例13、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100130211A ，故3=A ，所以A 是可逆的，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300110513332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以*A 是可逆的，且为上三角矩阵.2.3 ()1当n 阶实矩阵A 是半正定时，则它的伴随矩阵*A 也是半正定的证明 由于A 是半正定的，因此存在实矩阵C ，使 C C A T = 从而()()()P P C C C C C C A T TTT ====****** 其中()TC P *=即有实矩阵P ，使得P P A T =* 所以*A 也半正定的.()2当n 阶实矩阵A 是正定矩阵时，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵证明 由于矩阵A 是正定的，从而可知存在可逆矩阵T ，使 E AT T T = 所以()()()E E T A T T A T AT T TT T ====********即有 ()E T A T T=***所以 *A 也是正定矩阵.2.4 当n 阶矩阵A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵*A 也为正交矩阵[7] 证明 由于A 为正交矩阵，从而可知E A A T =，1±=A ， 而E A AA =*，所以11*--±==A A A A 而()()()E A A A A TT=±±=--11**故*A 也是正交矩阵.例14、设正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121A ，易算⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212121*A ， 从而可算的()=TA A **E,即*A 也为正交矩阵.2.5 假设A 为幂等矩阵，也就是说满足A A =2，当秩()()1-<=n A n A 或秩时，对应可得矩阵*A 也是幂等矩阵[4]证明 ()1当秩()n A =时，由于A A =2，左式两边同时取行列式，得 A A =2，所以1=A ，由A A =2，又可得12--=A A ；而E A AA =*，1*-=A A A ，从而()()()*11221212*A A A A A A A A A ======-----，即()*2*A A =所以，此时*A 也是幂等矩阵.()2当秩()1-<n A 时，可得秩()0*=A ，所以*A =0，当然有()*2*A A =，所以，此时*A 也是幂等矩阵.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003：177-203[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报，2007年第24卷第1期：98-99[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社，2002[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息，2006年第22期：322-323[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2009年10月第二版：100-218[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社，2008[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社，1981：271-296[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，1995：38-39[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995[10]张禾瑞.高等代数〔第4版〕[M].北京高等教育出版社，1999[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge XintongAbstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.Keywords matrix ;adjoint matrix; eigenvalue;。