浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高二上学期数学周测卷(11.6)含答案

浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第一学期期中考试高二数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案DACABCBDBC二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．16π．12．33．13．01=-+y x ；2)1(22=-+y x ．1415．；[)7,2-．16．14．17．554；34．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（本题满分14分）已知正方体1111D C B A ABCD -，E 为棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：C B E D 11⊥；（Ⅱ）求证：C EB AC 11//平面．18．(Ⅰ)证明：连结D A A D 11,，则C B D A 11//，∵11A ADD 是正方形，∴D A A D 11⊥．∵11A ADD AE 平面⊥，∴D A AE 1⊥．又A EA A D =⋂1，∴11AED D A 平面⊥．∵AE D E D 11平面⊂，∴D A E D 11⊥，∴C B E D 11⊥．—————————————7分（Ⅱ）证明：连结1BC ，与C B 1相交于点O ．∵O E ,分别是1,BC AB 的中点，∴EO AC //1，1D 1C 1B 1A DCBA EO又EC B AC 11平面⊄ ，EC B OE 1平面⊂，∴CEB AC 11//平面————————————————14分19．（本题满分15分）已知⊙16:22=+y x C ．（Ⅰ）设点()y x Q ,为⊙C 上的一个动点，求y x 34+的范围；（Ⅱ）直线l 过点()4,3P ，且与⊙C 交于A 、B 两点，若72=AB ，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）设t y x =+34，则直线t y x =+34与⊙C 有公共点，所以圆心到直线的距离4≤d ，即43422≤+t ，解得2020≤≤-t ．——————7分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为3=x ，l 与圆的两个交点坐标为7,3(7,3(-，这两点的距离为72，满足题意；—————————————9分当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为)3(4-=-x k y ，即043=+--k y kx ，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则216272d -=，得3=d ，从而31432=++-k k ，得247=k ，此时直线方程为075247=+-y x ，综上所述，所求直线方程为075247=+-y x 或3=x ．———————————15分20．（本题满分15分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，⊥C B 1平面ABC ，且2==AC AB ，321=AA ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面11A ABB ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥C B 1平面ABC ，AB C B ⊥∴1又AC AB ⊥，所以⊥AB 平面C AB 1，所以平面⊥C AB 1平面11A ABB ；——————7分ABC1A 1B 1C O E（Ⅱ）设O C B BC =11 ，作1AB OE ⊥于E ，连结BE ， 平面⊥C AB 1平面11A ABB 于1AB ，⊥∴OE 平面11A ABB ，∴EBO ∠为1BC 与平面11A ABB 所成角；—————————————11分由已知32,21===BB AC AB ，得22211==A B C B ，，322=+=∴OC BC BO ，在等腰直角C AB 1∆中，22=OE ，所以62sin ==∠OB OE EBO ，即1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为62．————15分21．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点)0,3(-A ，直线4:+=x y l ，设⊙C 的半径为2，圆心在直线l 上．（Ⅰ）若⊙C 与直线28y x =--相交于,E F 两点，且AE AF =，求⊙C 的方程；（Ⅱ）若⊙C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解:（Ⅰ）设EF 的中点为G ，连结,,,,AE AF CE CF AG CG ，，由已知得AG EF ⊥，又CE CF =，所以CG EF ⊥，则可得AC EF ⊥，则直线AC 的方程为()132y x =+，圆心C 满足()4132y x y x =+⎧⎪⇒⎨=+⎪⎩()5,1C --，则圆C 的方程为()()22514x y +++=.—————————————7分（Ⅱ）∵⊙C 的圆心在在直线4:+=x y l 上，所以，设圆心C 为)4,(+a a 则⊙C 的方程为[]4)4()(22=+-+-a y a x 又∵MO MA 2=，设),(y x M 22222)3(y x y x +=++整理得:4)1(22=+-y x设此为⊙D∴点M 应该既在⊙C 上又在⊙D 上即:⊙C 和⊙D 有交点，∴22)4()1(2222+≤++-≤-a a 由017622≥++a a 得R a ∈由01622≤++a a 得273273+-≤≤--a 终上所述，a 的取值范围为:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---273,273．————————————15分22．(本题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中， 60,4=∠=DAB AB ．点H G ,分别在边CB CD ,上，点G 与点D C ,不重合，GH AC GH ,⊥与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH ∆翻折到EGH ∆的位置，使二面角B GH E --为 90，F 是AE 的中点．（Ⅰ）请在下面两个条件：①AD AB =，②BD AB ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若，则EOA BD 平面⊥成立，并证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）命题:P 若AD AB =，则EOA BD 平面⊥． AC GH ⊥，∴,AO GH EO GH ⊥⊥，又二面角B GH E --的大小为 90，∴90AOG ∠= ，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又BC AB =，∴AO BD ⊥，AO EO O = ，∴BD ⊥平面EOA .—————————————6分（Ⅱ）设AC 与BD 交于点M ， 60,4=∠=DAB AB，则AC =，设,CO x OM x ==，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，ABC DEG HO F M当x =min EB ，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB ∆中，2,EB BM EM AE ====由()()2222222QB AE AB BE QB +=+⇒=,QF =∴sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .—————15分。

2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。

2023-2024学年浙江省杭州市八区县高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}2|230B x x x =+->，则A B = （）A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x <D ．{|1}x x >【正确答案】B【详解】解：因为集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{}{22301B x x x x x =+-=或}3x <-，所以A B = {|12}x x <<，故选：B 2．已知复数2i1iz =-，则以下判断正确的是（）A ．复数z的模为1B ．复数z C ．复数z 的虚部为i D ．复数z 的虚部为1-【正确答案】B【分析】根据复数除法运算即可求得1i z =-+，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由2i1i z =-可得()()()222i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1i z ++===-+-+-；即复数z 的虚部为1，所以CD 错误；则复数z A 错误，B 正确；故选：B3．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A ．12B C D ．3【正确答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点，所以FG //AD ，所以EAD ∠或其补角为异面直线AE ，FG所成角，设正四面体的边长为a ，则AE DE ==，AD a =，由余弦定理得：2222223344cos 23a a a AE AD DE EAD AE AD +-+-∠==⋅，所以异面直线AE ，FG所成角的余弦值为3.故选：C4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（）A ．π2x =B ．π4x =C ．π6x =-D ．π3x =【正确答案】B【分析】根据三角函数图象变换可得平移后的解析式为()sin 2g x x =，利用整体代换即可求得对称轴方程.【详解】将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度可得()()sin π2sin 2g x x x =-=；令π22π,Z 2x k k =+∈，即其对称轴方程为ππ,Z 4x k k =+∈，当0k =时，π4x =.ACD 均不符合要求.故选：B5．2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数0R 与代间隔T 是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为（备注：ln20.69≈）（）A ．1.8天B ．2.9天C ．3.6天D ．4.5天【正确答案】C【分析】先由数据求出0.38r =，故()0.38e tI t =，设病例数翻两番需要的时间约为1t ，列出方程，求出答案.【详解】由题意得：3.2816r =+，解得：0.38r =，故()0.38etI t =，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为1t ，则()()14I t t I t +=，即()10.380.38e 4e t t t +=，所以10.384e t =，两边取对数得：10.38ln 42ln 220.69 1.38t ==≈⨯=，解得：1 1.380.38 3.6t =÷≈（天），故选：C6．圆221:4O x y +=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为210x y -+=B ．公共弦AB 的长为645C ．线段AB 中垂线方程为20x y -=D ．290AO B ∠>【正确答案】D【分析】对于A ，联立两圆方程即可得公共弦AB 所在直线方程；对于B ，由弦长公式计算即可；对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ，求出直线12O O 的方程即可判断；对于D ，求出,A B 坐标，计算出22O A O B ⋅u u u u r u u u u r的值，即可判断.【详解】解：对于A ，联立两圆方程得22224240x y x y x y ⎧+=⎨++-=⎩，可得220x y -+=，即公共弦AB 所在直线方程为220x y -+=，故错误；对于B ，设1(0,0)O 到直线AB ：220x y -+=的距离为d ，则有d =则弦长公式得：||5AB ==，故错误；对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ，又因为1(0,0)O ，2(1,2)O -，所以直线12O O 的方程为20x y +=，故错误；对于D ，由22240220x y x y x y ⎧++-=⎨-+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取68(2,0),(,)55A B -，所以22112(1,2),(,),55O A O B -=--=u u u u r u u u u r 所以22705O A O B ⋅=-<u u u u r u u u u r ，所以290AO B ∠>︒，故正确.故选：D.7．已知抛物线C 1：220y pxp =>（）与椭圆C 2：22221(0)x y a b a b+=>>共焦点，C 1与C 2在第一象限内交于P 点，椭圆的左右焦点分别为12,F F ，且212PF F F ⊥，则椭圆的离心率为（）A1B1C．4-D．3-【正确答案】B【分析】根据212PF F F ⊥得到2(,)b P c a ，然后将点P 代入抛物线方程得到222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据共焦点得到2p c =，最后联立求离心率即可.【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得2(,)b P c a 在抛物线上，故222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2p c =，∴42222224222101b b c c a c ac e e e a a=⇒=⇒-=⇒+-=⇒=.故选：B.8．已知()2f x x a =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=，若函数()(),2n y f x x n n *=-∈≥N 不．存在．．零点，则实数a 可以取（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】利用反证法证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠，从而可知方程()f x x =无实解，可得出Δ0<，求出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】首先证明：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.利用反证法，假设存在0x ∈R ，使得()00f x x =，即()100f x x =，则()()()()201000f x f f x f x x ===，猜想，对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，假设当()2,n k k k *=≥∈N 成立，即()00k f x x =，则当1n k =+时，()()()()10000k k f x f f x f x x +===，这说明当1n k =+时，猜想也成立，所以，若()00f x x =，则对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，这与题设条件不符，假设不成立，故对任意的x ∈R ，()f x x ≠，即2x a x -+≠，即方程20x x a +-=无实解，则140a ∆=+<，解得14a <-，故选：A.关键点点睛：本题考查利用复合函数零点的存在性求参数，解题的关键在于证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.从而将问题转化为方程()f x x =无实解，转化为Δ0<求解.二、多选题9．若方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（）A ．若14t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >C ．曲线C 不可能是圆D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<【正确答案】BD【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A,当52t =时，41,t t -=-此时曲线C 为圆，故A 错，对于B,若曲线C 为双曲线，则(4)(1)0t t -⋅-<，即1t <或4t >，故B 对，对于C,若曲线C 为圆，则41,t t -=-即52t =，故曲线C 可能是圆，故C 错，对于D,曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则410t t ->->，解得512t <<，故D 对.故选：BD.10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A ．事件A 发生的概率为14B ．事件A B ⋃发生的概率为56C ．事件,A B 是互斥事件D ．事件,A B 相互独立【正确答案】ABC【分析】A 选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到()P A ；B 选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到A B ⋃中共有情况数，得到()P A B ；C 选项，计算出()0P A B = ，得到C 正确；D 选项，()()()P A B P A P B ≠⋅ ，D 错误.【详解】A 选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有4312⨯=种情况，其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：()()()3,3,4,2,4,3，共3种情况，故()31124P A ==，A 正确；B 选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：()()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1,4,1，共7种情况，故A B ⋃中共有3710+=种情况，故()105126P A B == ，B 正确；C 选项，由于事件,A B 中无相同情况，故()0P A B = ，所以件,A B 是互斥事件，C 正确；D 选项，因为()()()P A B P A P B ≠⋅ ，事件,A B 不互相独立，D 错误.故选：ABC11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列关系式中正确的是（）A ．()()22sin b c b c ab C a+-=-B ．()()22cos b c b c ab C a+-=-C ．()()22sin sin sin sin A B A B A B +-=-D ．()()22cos cos cos cos A B A B A B+-=-【正确答案】BC【分析】利用余弦定理可判断出选项AB ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C 正确，D 错误.【详解】根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2222cos b c ab C a -=-；即()()22cos b c b c ab C a +-=-，所以B 正确，A 错误；根据两角和与差的正弦公式可得：()()()()()()2222222222sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1sin sin 1sin sin sin A B A B A B B A A B B A A B B A A B B A A B+-=+-=-=---=-即C 正确；对于D ：()()2222cos cos cos cos sin sin A B A B A B A B+-=-()()222222cos cos 1cos 1cos cos cos 1A B A B A B =---=+-22cos sin A B =-，所以D 错误.故选：BC12．对于定义在R 上的函数()f x ，若()1f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，且在[]1,2上单调递减，则（）A ．()30f =B ．()()04f f =C ．1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在[]3,4上单调递减【正确答案】AB【分析】由题有：()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+.即()f x 图像关于()1,0对称，且关于直线2x =对称.A 选项，令0x =可得()1f ，1x =可得()3f ；B 选项，令2x =即可判断选项；C选项，令12x =结合()f x 单调性可判断选项；D 选项，由图像的对称性可判断()f x 在[]3,4上的单调性.【详解】令()()1g x f x =+，由()1f x +是奇函数，则()()()()11g x f x g x f x -=-+=-=-+，即()()11f x f x -+=-+，()f x 图像关于()1,0对称.令()()2h x f x =+，由()2f x +是偶函数，则()()()()22h x f x h x f x -=-+==+，即()()22f x f x -+=+，()f x 图像关于直线2x =对称.A 选项，令0x =，可得()()()1110f f f =-⇒=，又令1x =，可得()()130f f ==.故A 正确；B 选项，令2x =，可得()()04f f =，故B 正确；C 选项，令12x =，可得131302222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因()f x 在[]1,2上单调递减，由图像关于()1,0对称，则()f x 在[)0,1上单调递减，即()f x 在[]0,2上单调递减，故1322f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 错误.D 选项，由()f x 在[]0,2上单调递减，结合()f x 图像关于直线2x =对称，则()f x 在(]2,4上单调递增.故D 错误.故选：AB结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.()f x 为定义在R 上函数，若()f x a +为奇函数，则()()f x a f x a -+=-+，()f x 图像关于(),0a 对称；若()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，()f x 图像关于x a =对称.三、填空题13．写出使不等式()3R ax x x++≥∈恒成立的一个实数a 的值__________．【正确答案】不少于94的任意一个实数【分析】对不等式()3R a x x x++≥∈全分离,即()23R a x x x +≥-∈恒成立,只需()2max3a x x ≥-,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.【详解】解:因为()3R ax x x++≥∈恒成立,所以()23R a x xx +≥-∈,即只需()2max3a x x ≥-,因为()22393R 24x x x x +⎛⎫-=--+∈ ⎪⎝⎭,所以()2max934x x -=,故只需94a ≥即可.故答案为:不少于94的任意一个实数14．已知a ，b 为单位向量．若1a = ，则a 在b 上的投影向量的模为______．【正确答案】2【分析】根据模与向量的关系求出a b ⋅ 的值，再根据a 在b上的投影向量的模的公式a b b⋅求出答案即可.【详解】由题可知：1a =即a b ⋅ a 在b 上的投影向量的模为2a b b ⋅=故答案为:215．已知,,A B C 三点都在体积为500π3的球O 的表面上，若AB =60ACB ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为__________．【分析】由球的体积公式计算出球O 的半径R ，由正弦定理求出ABC 的外接圆半径r ，从而得到球心O 到平面ABC 的距离.【详解】设球O 的半径为R ，则34π500π33R =，解得：5R =，设ABC 的外接圆半径为r ，在ABC 中，由正弦定理得：24sin sin 60AB r ACB ===∠︒，故2r =，则球心O 到平面ABC的距离为d ===.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作直线交两条渐近线于点A ，B ，且1132AF BF =．若A 点在x 轴上的射影为M ，则112AF M BF F S S =△△__________．【正确答案】1516【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由11211112132142AAF MBF F B F M y S F S F F F y A C ⋅==⋅⋅ 求解即可.【详解】如图所示：则1121111111211211121333212442AAF M BF F B F M y S F M AF F M F M F S F F BF F F F O F F F A C y ⋅⋅==⋅⋅=⋅=⋅ ，双曲线C 的渐近线为b y x a=±，32A A B B x y x y ∴==，32A B AC x BC x ∴==，不妨设12BF =，13AF =，1AB =，则35AC =，25BC =，1125FC =，13F A =，1154F A F C∴=，11211315416AF MBF F S F A S F C∴=⋅= .故答案为.1516关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得32AC BC=，从而求得1154F A F C=，由此结合1121134AF M BF F A C S F S F =⋅ 求解即可.四、解答题17．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1m n ∈-，0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+．(1)证明：()f x 在[]1,1-上是增函数；(2)解不等式()()2110f x f x -+-<；(3)若存在实数x 使得()253f x t t ≤-+成立，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2){|01}x x <<(3)1t ≤或4t ≥【分析】（1）结合条件，利用单调性定义证明函数单调性.（2）将不等式等价转化，利用函数奇偶性和单调性，建立不等式组，求得解集.（3）双变量问题，求出()f x 的最小值小于等于253t t -+，解不等式即可.【详解】（1）对任意的[]12,1,1x x ∈-，由题意得：()()()12120f x f x x x +->+-当1211x x -£<£,120x x -<时，()()()()12120f x f x f x f x +-=-<，则()()12f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数．（2）()()()2111f x f x f x -<--=-因为()f x 为奇函数，且在[]1,1-上是增函数，则2211111111x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩则不等式的解集为{|01}x x <<（3）存在实数x ，使得()253f x t t ≤-+，等价于2min ()53f x t t ≤-+()min ()11f x f =-=-，则2531t t -+≥-，所以实数t 的取值范围是1t ≤或4t ≥18．已知函数()2cos 24)2f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭(1)求()0f 的值；(2)若()023f x =，且052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再从下面①②③中选取一个作为条件，求012f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．①函数的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭；②函数图象过点,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭；③两条相邻对称轴间的距离为2π．【正确答案】(1)(2)3【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后直接求值可得；(2)根据所选条件，利用相应性质可求得ω，然后由()023f x =，结合和差公式可得.【详解】（1）())2sin22cos 1sin22f x x x x xωωωω=--=-2sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）选①：263k ππωπ⋅-=，则()13Z k k ω=+∈，因为04ω<<，则1ω=选②：sin 163ππω⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为04ω<<，则,633πππωπ⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭故632πππω--=-，1ω=选③：22T π=，故22T ππω==，则1ω=因为()0022sin 233f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以01sin 233x π⎛⎫-=⎪⎝⎭因为052,123x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以02,32x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故0cos 233x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭0002sin 22sin 212636f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232323⎛⎫=⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭19．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（），根据得分将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,...,80,90，绘制出如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；(2)先从得分在[)60,80的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.【正确答案】(1)众数为75分；中位数为72.5分(2)25【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题.【详解】（1）由频率分布直方图可知：[)70,80的频率最大，则众数为75分；∵[)[)[]60,70,70,80,80,90的频率分别为0.2,0.4,0.2，设中位数为x ，则[)70,80x ∈，由题意可得：()0.04800.20.5x -+=，解得72.5x =，故中位数为72.5分.（2）因为[)[)60,70,70,80人数之比为1：2，所以[)60,70应抽取2人，设为A ，B ，[)70,80应抽取4人，设为C ，D ，E ，F ，这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种，故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率62155P ==.20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DA DB ===．(1)求点B 到平面PAC 的距离；(2)求二面角B PC D --的余弦值．【正确答案】【分析】(1)根据题意可得DAB 为正三角形，求出PCD S ，利用等体积法即可求解；(2)取AB 中点E ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出平面PCD 和平面BPC 的法向量法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为1DA DB ==，底面为菱形，则DAB 为正三角形，AC 12PCA S ==13B PAC V h -=，因为PD ⊥平面ABCD ，所以11132P ABC V -=⨯=B PAC P ABC V V --=，得1212h =，则5h =故点B 到平面PAC （2）取AB 中点E ，则DE DC ⊥，因为PD ⊥底面ABCD ，,DC DE ⊂底面ABCD ，所以,PD DC PD DE ⊥⊥，所以,,DP DE DC 两两互相垂直，则分别以DE ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.DE ⊥ 平面PDC ，则平面PCD 的法向量为()1,0,0n =,1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0C ，设平面BPC 的法向量(),,m x y z =，则·0·0BC m PC m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即10220x y y z ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =，则(m = ．设二面角B PC D --的平面角为θ，则由空间向量的夹角公式可得：cos 7n m n m θ===.故二面角B PC D --.21．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价()P x （元）与时间x （元）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正实数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：第x 天10202530()Q x 个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.(1)求k 的值；(2)给出以下两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入()()030,N f x x x +≤≤∈（元）的最小值．【正确答案】(1)1k =(2)选②，()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈(3)min ()121f x =【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出1k =；（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入()10110Q =，()20120Q =，待定系数法求出解析式；（3）求出()()()100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩，当125x ≤≤时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当2530x <≤时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到()f x 的最小值.【详解】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为(10)(10)(111012110Q kP ⋅=+⨯=，解得：1k =，（2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，∵()25Q x a x b =-+，()10110Q =，()20120Q =，∴151105120a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1,125a b =-=，∴()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈；（3）由（2）可知：()100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x +++≤≤∈⎧=--=⎨-<≤∈⎩，所以()()()100101,125,N 150149,2530,Nx x x xf x P x Q x x x x x++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩当125x ≤≤时，由对勾函数知100y x x=+在[]1,10上递减，在[]10,25上递增，所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =，当2530x <≤时，150y x x=-在(]25,30上递减，所以当30x =时，()f x 取最小值，min ()124f x =，综上：所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =.22．已知点,A F 分别为双曲线222:(0)C x y a a -=>的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B ，ABF △的面积为)21+．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线112y kx k ⎛⎫=-≠- ⎪⎝⎭与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，记MON △，APQ △的面积分别为1S ，2S （O 为坐标原点）．若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)22144x y -=(2)1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据双曲线方程即可写出,,a b c 之间的关系，再根据三角形面积公式解得2a =，即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出MON △的表达式，同理可得APQ △的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数λ的取值范围．【详解】（1）由题意可知2222:1x y C a a-=，所以(),0A a -，(),0F c ，由已知c ==，可得(),B c a ，则()))2111121222F B AB S AF y c a a a =⋅=+⋅== ，解得2a =，所以双曲线C 的方程为22144x y -=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y 联立221144y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得()221250k x kx -+-=所以()22212210Δ42010501k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪=+->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩，解得11k -<<，由12221kx x k -+=-，12251x x k -=-可得，1221MN x k =-==-，原点到直线1y kx =-的距离1d ，所以122112211MONS MN d k k ===-- 设()33,P x y ，()44,Q x y ，易知渐近线方程为y x =±，不妨设()33,P x y 在渐近线y x =上，由1y kx y x=-⎧⎨=⎩得311x k =-，同理，411x k =+所以3411PQ x k =-==+，()2,0A -到直线1y kx =-的距离2d =所以222111221APQk S PQ d k +==-=所以MON APQ S S λ= ，()()211,00,3t k =+∈-⋃，则λ=令()11,1,3u t ⎛⎫=∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则13λ=>故λ的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

2021年高二上学期10月月考数学试卷 Word 版含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( B )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( D )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( B )A ．－22B.22C.32D ．14．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( C )A ．1.80B ．1.65C ． 1.45D ．1.305. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么＝( D )A.12 －13 B.14 ＋12 C.13 ＋12D.12 －236. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,537. 如图关于星星的图案中，第n 个图案中星星的个数为a n ，则数列{a n }的一个通项公式是(C )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)28．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( C )A.245B.285C ．5D ．69．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( D )A ．23πB.8π3 C ．4 3D.16π310. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( A )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)11．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( B ) A ．[－2,2]B ．[－3， 3 ]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是(B )A.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，32B.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞二、填空题（每小题5分，共20分）13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a ＜b 的概率为_____15___．14. 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝ 1015. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为_2x －y －1＝0_____________． 16 已知数列满足则的前项和为= 。