2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析） 一、选择题1．已知全集R U =,{|A y y ==,则U C A =( )A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞2．已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等3．向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos()2πα+=( )A.13 B. 13-C. 3-D. 3-4．在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )6．定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7．已知,x y 满足10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值是( )A ．72B ．4-C ．7-D ．8- 8．已知函数()sin f x x ω=在304π［，］恰有4个零点，则正整数ω的值为( ) A ．2或3 B ．3或4 C ．4或5 D ．5或6 9．函数()4230y x x x=-->的最大值是( )A.2-2- C.2+ D.2+10．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是( ) A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形11．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ） A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12．已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-===＜＜且，现给出如下结论：①(0)(1)0f f ＞；②(0)(1)0f f ＜；③(0)(2)0f f ＞；④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题13．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 .14．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A ，则直线l 的方程为 . 15．已知函数()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16．若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①22(,)f x y x y =+；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =④(,)sin()f x y x y =-.能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题17．已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．求()y g x =在区间[0,10]π上零点的个数．18．在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222cos ()bc A a b c =-+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ．19．已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k a k M ∈的和.20．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.21．某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;（2）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．已知函数()()()221ln 1x a x x f +-+=在()1,2--上是增函数，()2,-∞-上是减函数．（1）求函数()x f 的解析式； （2）若]1,11[--∈e ex 时，()m x f <恒成立，求实数m 的取值范围； （3）是否存在实数b ，使得方程()b x x x f ++=2在区间]2,0[上恰有两个相异实数根，若存在，求出b 的范围，若不存在说明理由．2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析）参考答案1．B 【解析】试题分析：因为，R U =，{|{|0}A y y y y ===≥，所以，U C A ={|0}y y <，故选B.考点：集合的运算 2．D 【解析】试题分析：A ：m ．n 可以都和平面垂直，不必要 ； B ：m ．n 可以都和平面平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面内，不必要 ；D ：平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分考点：充要条件，平行关系，垂直关系. 3．B 【解析】试题分析：因为，向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，所以，11cos tan 03αα⨯-=，11sin ,cos()sin 323πααα=+=-=-，故选B.考点：共线向量，三角函数诱导公式.4．A 【解析】试题分析：因为，正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，由对数运算法则及等比数列的性质，有6363693696lg 6,10,10a a a a a a a ===，6100a =，22111610010000a a a ===，故选A. 考点：等比数列的性质，对数运算. 5．C 【解析】试题分析：a 是直线y x a =+的纵截距.根据指数函数、对数函数的性质，1a >时，函数log ,,x a y x y a y x a===+的图象同时上升；01a <<时 图象同时下降.对照选项可知，A,B,D 均矛盾，C中01a <<，选C.考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 6．D 【解析】试题分析：由新定义，2()(1)(3)2()43f x x x x x x =-+--=+-，图象的对称轴为2x =-.为使其在(,)m -∞上单调递减，须2m ≤-，选D.考点：新定义，二次函数的性质. 7．C 【解析】试题分析：根据10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线30x y -=（如图），平移直线30x y -=，当直线经过点A （2,3）时，3z x y =-的最小值为-7，故选C.考点：简单线性规划的应用 8．C 【解析】考点：正弦函数的图象和性质 9．B 【解析】试题分析：因为 0x >，所以，43x x +≥=43x x--≤-， 因此，函数()4230y x x x=-->的最大值是2-，故选B. 考点：基本不等式的应用 10．B 【解析】试题分析：由正弦定理、余弦定理，sin sin cos cos sin A A C A C -=可化为222222(1)22a b c b c a a c ab bc+-+--=⋅，整理得，a b =，所以，ABC ∆的形状是等腰三角形，选B.考点：正弦定理、余弦定理的应用 11．A 【解析】试题分析：因为，a 、b 都是非零向量,,||||a ba b分别是,a b 的单位向量，0||||a b a b += 意味着,a b 方向相反 .所以，一定能使0||||a b a b +=成立的是13a b =-，选A.考点：单位向量，共线向量，向量的线性运算.12．D 【解析】试题分析：由题意得，2f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（），∴当x 1＜或x 2＞时，f x 0'（）＞，当1x 2＜＜时，f x 0'（）＜， ∴函数f x （）的增区间是12-∞+∞（，），（，），减区间是12（，）， ∴函数的极大值是5f 12abc =-（），函数的极小值是f 22abc=-（）， ∵a b c ＜＜，且f a f b f c 0===（）（）（）， ∴a 1b 2c f 10＜＜＜＜，（）＞且f 20（）＜，解得2abc ＜＜∴f 0abc 0=-（）＜，则f 0f 10f 0f 20（）（）＜,（）（）＞， 故选D ．考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点. 13．28836π+ 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是组合体：一个长方体与一个半圆柱.根据图中数据得到其体积为2166838288362ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=+，答案为28836π+. 考点：三视图，几何体的体积. 14．90x y --= 【解析】试题分析：由已知，A 在幂函数ny x =的图象上，即=，3n =，3y x =.由导数的几何意义，切线的斜率为12|39n x nx -⨯=，所以，由直线方程的点斜式得直线l 的方程为90x y --=.考点：幂函数，导数的几何意义. 15．-1 【解析】试题分析：∵()f x 的图象关于直线1x =对称,∴f x f 2x =-（）（）， 又()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数，∴f x f x 2=--（）（）， ∴f x 4f x 2[f x ]f x +=-+=--=（）（）（）（），即4为()f x 的周期， ∴f 2013f 45031f 1f 2014f 45032f 2=⨯+==⨯+=（）（）（），（）（）（）. 由[1,0]x ∈-时，()f x x =-，得f 1f 11=--=-（）（）， 由f x f 2x =-（）（），得f 2f 00==（）（）， ∴f 2013f 2014101+=-+=-（）（）， 故答案为1-．考点：函数的奇偶性、周期性 16．① 【解析】试题分析：①对于函数22(,)f x y x y =+：满足非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号；满足对称性：(,)(,)f x y f y x =；∵222222f x z f z y x z z y x y f x y +=+++≥+=（，）（，）（，），对任意的实数z 均成立，因此满足三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+．可知(,)f x y 能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数．②2(,)()f x y x y =-0≥，但是不仅x y 0==时取等号，x y 0=≠也成立，因此不满足新定义：关于的x 、y 的广义“距离”的函数；③(,)f x y =(,)f x y =y x -=（）即不满足对称性；④同理(,)sin()f x y x y =-不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数． 故答案为①．考点：新定义，函数的概念与表示. 17．（Ⅰ）)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． （Ⅱ）()g x 在[]0,10π上有20个零点. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意得，首先化简函数.得到()2sin(2)3f x x π=-.根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈．（Ⅱ）根据“左加右减，上加下减”，得到()2sin 21g x x =+，根据()0g x =得到712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈函数在每个周期上恰有两个零点, []0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点.试题解析：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω=-=- 2分由周期为π，得1ω=.得()2sin(2)3f x x π=- 4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． 6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ 8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈ 10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点,[]0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点 12分考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质. 18．（Ⅰ）23A π=；（Ⅱ）4b c ==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理确定得到1cos 2A =-， 根据角的范围0A π<<，即得23A π=.解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力.（Ⅱ）根据三角形面积、余弦定理，建立,b c 的方程组16,8bc b c =+=，求得4b c ==. 试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 2分代入222cos ()bc A a b c =-+得4cos 2bc A bc =-， 4分∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π= 6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= 8分 222222cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+= 10.解得：4b c == 12分考点：三角形面积公式，余弦定理的应用. 19．（Ⅰ）1222n nn a -=⨯=；（Ⅱ）所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=-.【解析】试题分析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意可建立其方程组，不难求得.（Ⅱ）根据1(1)1(2)nnn n c a =--=--, 要注意分n 为偶数， n 为奇数，加以讨论，明确{}()k a k M ∈是首项为112，公比为4的等比数列,利用等比数列的求和公式，计算得到所有()k a k M ∈的和. 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 所以42911()a q a q =，解得1a q = 2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = 4分 所以1222n n n a -=⨯= 6分（Ⅱ）则1(1)1(2)nnn n c a =--=--,当n 为偶数，122014nn c =-≥，即22013n≤-，不成立 8分 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ 10分 {}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列,则所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=- 12分考点：等比数列的通项公式、求和公式20．(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.【解析】试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，得到四边形BB 1D 1D 是平行四边形，从而B 1D 1∥BD ，由直线与平面平行的判定定理即得证.(2)注意到BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，推出BB 1⊥AC.又BD ⊥AC ，即得AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，故得证.(3)分析预见当点M 为棱BB 1的中点时，符合题意.此时取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，证得BN ⊥DC.又DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，推出BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得，O 是NN 1的中点，由四边形BMON 是平行四边形，得出OM ⊥平面CC 1D 1D ，得证.试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD.而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD.(2)∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC.又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，∴MD ⊥AC.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC.又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可证得，O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM=ON ，即四边形BMON 是平行四边形，∴BN ∥OM ，∴OM ⊥平面CC 1D 1D ，因为OM ⊂面DMC 1，所以平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.考点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，四棱柱的几何特征.21．（I ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元.【解析】试题分析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. （II ）通过确定2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈，求导数得到2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，求得驻点，根据13a ≤≤，2026833a ≤+≤.讨论 ①当2367,132a a +≤≤≤时，②当2673a +>，332a <≤时，导数值的正负，求得最大值.试题解析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈， 2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，得263x a =+或10x =， 因为，13a ≤≤，所以，2026833a ≤+≤. ①当2367,132a a +≤≤≤时，[7,9]x ∈，'()0L x ≤， 2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈是单调递减函数.故max ()(7)279L x L a ==- 10分 ②当2673a +>，即332a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '< ()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减， 故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- 答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大, 最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元. 考点：生活中的优化问题举例，应用导数研究函数的单调性、最值. 22．⑴()()()221ln 1+-+=x x x f ；⑵()212-=->e e f m ；⑶3ln 232ln 32-≤<-b 【解析】试题分析：⑴求导数，求驻点，根据驻点函数值为0，得到a 的方程，进一步得到函数解析式.⑵通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使()212-=->e e f m ⑶构造函数()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1，即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ．利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间(]2,1，减区间[)1,0．从而要使方程有两个相异实根，须有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，得解.试题解析：⑴()()()()1212112222+-+=++-+='x a x x a x x x f 依题意得()0222=+-='a f ，所以1=a ，从而()()()221ln 1+-+=x x x f 2分⑵ ()()()12212122++=+-+='x x x x x x f 令()0='x f ，得0=x 或2-=x （舍去），所以()212-=->e e f m 6分 ⑶设()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1， 即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ． 7分 又()11121+-=+-='x x x x F ，令()0>'x F ，得21<<x ；令()0<'x F ，得10<<x ． 所以函数()x F 的增区间(]2,1，减区间[)1,0．要使方程有两个相异实根，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，解得3ln 232ln 32-≤<-b 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.。
