3.1.2空间向量及其数乘运算2

8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。

3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算A 组 基础巩固练一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－233．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±14．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝3OA →－2OB →－OC → B ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＝14OB →－OA →＋12OC →5．已知在长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( ) A ．AA 1→＋12AB →＋12AD →B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD →D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →二、填空题6．在四面体O ­ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________．(用a ，b ，c 表示)7．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________．8．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝________． 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 素养提升练1．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．如图是一平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →＝( )A ．AB →＋AD →＋AA 1→ B ．AB →＋12AD →－AA 1→C ．AB →＋AD →－AA 1→D ．AB →＋13AD →－AA 1→3．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．4．如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG →＝λAM →与OG →＝12OA →＋14OB →＋14OC →同时成立，则实数λ的值为_________________________．5．如图所示，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题 1．【答案】B【解析】因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B ．2．【答案】A【解析】∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23．3．【答案】D【解析】若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1． 4．【答案】C【解析】∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 5．【答案】D【解析】如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D ．二、填空题6．【答案】12a ＋14b ＋14c【解析】OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c ． 7．【答案】215【解析】根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215．8．【答案】76【解析】如图所示，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →．又∵AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，∴xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76．三、解答题9．解：如图所示，(1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12．(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →． 又∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →．从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO →－2PQ →＋PD →． ∴x ＝2，y ＝－2．10．证明：∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 素养提升练1．【答案】C【解析】显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C ． 2．【答案】B【解析】取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1綊FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1F 綊D 1E ，所以A 1F →＝D 1E →．又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB→＋12AD →－AA 1→，故选B ．3．【答案】0【解析】由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0．4．【答案】12【解析】OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λAM →＝OA →＋λ2(AB →＋AC →)＝OA →＋λ2(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝125． (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝()AB →＋BE →＋()AD →＋DF→＝AE →＋AF →，所以A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13．。

3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量D ．不共面向量考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 C解析 因为D 1C →－D 1A →＝AC →，且AC →＝A 1C 1→， 所以D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→， 即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→. 又D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面．2.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知空间四边形ABCD ，连接BD ，设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则MN →－AB →＋AD →等于( ) A.32DB → B ．3MN →C ．3NM →D ．2MN →考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B解析 ∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点， ∴MN ∥BD ，且MN ＝12BD ，∴MN →＝12BD →，∴MN →－AB →＋AD →＝MN →＋(AD →－AB →)＝MN →＋BD →＝MN →＋2MN →＝3MN →，故选B.4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．5．(2018·太原高二检测)已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 A解析 P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32－x －16＝1，解得x ＝13. 6．(2018·山西大同高二期中)已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，则A ，B ，C ，D 四点( ) A ．一定共线B ．恰是空间四边形的四个顶点C ．一定共面D ．一定不共面考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 C解析 因为非零向量e 1，e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，所以5AB →－AD →＝5e 1＋5e 2－3e 1＋3e 2＝2e 1＋8e 2＝AC →，所以AC →＝5AB →－AD →.由向量共面的充要条件可知，A ，B ，C ，D 四点共面．7.在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.34D.56 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 D解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.8．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误． 二、填空题9．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算 答案 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.11．设棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点所构成的集合为S .向量的集合P ＝{m |m ＝P 1P 2→，P 1，P 2∈S }，则P 中长度为3a 的向量有________个． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 8解析 每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线． 三、解答题12．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p ，q ，r 是否共面？ 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用解 假设存在实数λ，μ，使p ＝λq ＋μr ，则 a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c . ∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－7μ＝1，－3λ＋18μ＝1，－5λ＋22μ＝－1，解得⎩⎨⎧λ＝53，μ＝13，即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，∴p ，q ，r 共面．13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算解 因为AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝－32.14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 C解析 PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→ ＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→ ＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→) ＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→， 于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．15.如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用证明 ∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →.又∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →，∴EH →＝34FG →， ∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又∵点F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．。

3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A -→，D 1C -→，A 1C 1--→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 C解析 因为D 1C -→－D 1A -→＝AC →，且AC →＝A 1C 1--→，所以D 1C -→－D 1A -→＝A 1C 1--→，即D 1C -→＝D 1A -→＋A 1C 1--→.又D 1A -→与A 1C 1--→不共线，所以D 1C -→，D 1A -→，A 1C 1--→三向量共面．2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1--→＝a ，A 1D 1--→＝b ，A 1A -→＝c ，则下列向量中与B 1M -→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 A解析 B 1M -→＝B 1B -→＋BM →＝A 1A -→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 3．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE→等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 B解析 连接AE ，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ，∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .4．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM -→等于() A.b －c2 B.c －b2C.b －c3 D.c －b3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 D解析 设D 是BC 边的中点，∵M 是△ABC 的重心，∴AM -→＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AM -→＝13(c －b )． 5．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.6．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 D解析 ∵OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13，故选D. 7．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．二、填空题8．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，知②④正确．9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 215解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝215. 10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1-→表示MN -→，则MN -→＝__________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 12AB →＋12AD →＋12AA 1-→ 解析 MN -→＝MB -→＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1-→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1-→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1-→. 11．设棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点所成的集合为S .向量的集合P ＝{m |m ＝P 1P 2--→，P 1，P 2∈S }，则P 中长度为3a 的向量有________个．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 8解析 每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线．三、解答题12．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，试求λ，μ的值．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0， 解得λ＝－1，μ＝3.13.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)． 因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，所以由共面向量定理知FH →，EB →，ED →共面．因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB .四、探究与拓展14.如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP →的为________．①OA →＋2AB →＋2AC →；②OA →－3AB →－2AC →；③OA →＋3AB →－2AC →；④OA →＋2AB →－3AC →.考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 ③解析 因为A ，B ，C ，P 四点共面，所以可设AP →＝xAB →＋yAC →，即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.15.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB -→＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN -→＝13AD →＋13DE →. 所以MN -→＝MB -→＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN -→，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .。