实验10 傅里叶变换光学系统
实验时间：2014年3月20日 星期四
一、 实验目的
1. 了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2. 加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3. 观察透镜的傅氏变换力图像，观察4f 系统的反傅氏变换的图像，并进行比较。
4. 在4f 系统的变换平面插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、 实验原理
1. 透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析
透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制后变为(,)L U x y '：
(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= (1)
若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0(,)D D x y -，透镜折射率为n ，则该点的位相延迟因子(,)t x y 为：
0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- (2)
由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，并引入焦距f ，有： 22012
111(,)()()2D x y D x y R R =-+- (3) 12
111(1)()n f R R =-- (4) 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f
=-+ (5) 第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f
=-+ (6)
其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：
1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内 其 它
(7)
2． 透镜的傅立叶变换性质
图1 透镜的傅立叶变换性质
如图1所示，入射的光波通过透镜前面的衍射屏后产生一个衍射光场，这个光场中包含很多不同的频率成分。由于凸透镜的会聚作用，衍射光场中拥有相同空间频率的光波成分将会聚集到透镜的像方焦平面上（如图2中的光线1和2，光线3和4的空间频率相同，它们经过透镜后分别会聚到A 、B 两点）。于是，在透镜的像方焦平面上安放一个观察屏，屏上显现的是衍射波场的空间频率分布，这种变换就是从空间域到频率域的变换，即衍射光场的傅立叶变换。透镜像方焦平面上的光波复振幅分布()
,f f E x y 表达式如下（其中(),T u v 是t(x,y)的傅里叶变换）： ()()
()2212,,,f f x y z ik z f ik f f f f f f x y e E x y e T u v u v i f f f λλλ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭
(8)
3． 透镜孔径的衍射与滤波特性
实际上透镜总有一定大小的孔径。这个孔径在光学系统中扮演着两种重要角色：衍射与滤波。
从波动光学角度来说，由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅禾费衍射图样的中央亮斑——艾里斑。此结论对于有限远处物点的成像情况同样适用。
其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。这可以从图2可以看出：
图2 透镜孔径引起渐晕效应
因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。这种现象称为衍射的渐晕效应。由此可见，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在着一个分辨极限。
4． 相干光学图象处理系统（4f 系统）
如图4所示：
图3 4f 系统光路图
当第一个透镜的像方焦平面和第二个透镜的物方焦平面重合时，在第一个透镜的物方焦平面上放置衍射屏，在它的像方焦平面上（变换频谱面T ）的频谱分布图象再一次通过第二个透镜进行第二次傅立叶变换，于是在第二个透镜的像方焦平面上放置的显示屏P 出现了衍射屏的倒像。我们可以通过在变换频谱面T 上放置各种滤波器来改变原来图象，并将修改后的图象在P 上显示出来。
5． 空间滤波实验
如果从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面。经第二次衍射合成后，即可达到预期的效果。
光学信息处理的原理概念大体就是如此。
三、 实验用具与装置图
用具：激光器、准直透镜、傅立叶透镜、傅立叶变换试件、频谱处理器、CCD 。
实验装置图如下面所示：
图4 傅里叶变换光路图
图5 反傅里叶变换光路装置简图
四、 实验过程与结果分析
1、开启电脑，运行csylaser 软件。
2、 将除了样品以外的各个光学元件粗略按照图4光路固定在实验平台上。
3、 打开激光器，用激光束作为参考，调整好光路，并调整好各个元件距离。
此过程中用白纸在准直系统后来回移动，发现光斑并不能维持在一定大小，说明准直系统出射光并非平行光。我们重新调整了准直系统的两个透镜位置，利用准直立尺确认了不同出射距离光线的高度一致、直径相近，才继续后续操作。
4、 在傅里叶透镜焦面位置附近放置CCD ，调整前后位置直到显示屏上可看到的光斑
最小，说明CCD 正好位于透镜焦面上。
5、 在准直系统后面放置样品，在显示屏上得到傅里叶频谱的图像如图6：
图6 实验所得傅里叶频谱图
分析：
由图可见，样品图案的傅里叶频谱为大致成一个“米”字，其中十字最为清
晰，横线为纵向图案透射光场的衍射，纵线为横向图案投射光场的衍射。
中心最大的光斑为光的直流与低频分量，向两边扩散的是高频分量，而部分
高频渐渐隐去的原因是渐晕效应。
若用matlab 模拟出样品图像的傅里叶变换，可得到理论频谱图，如图7：
图7 源图像和理论频谱图
对比图6，可见频谱成像的质量并不是很好，尤其是斜线十分模糊，原因可能有： a. 激光器出射激光不是完全水平或者准直系统透镜间距没有调节准确，导致透过
样品的光不是水平平行光，没有形成标准的夫琅和费衍射；
b. 光学元件没有严格共轴，导致部分光场无法在观察屏上形成清晰的衍射图样；
c. 调CCD 位置时，肉眼分辨最小光斑有误差，使得CCD 没有准确处在透镜焦平面
位置；
源图
像图像的频谱图
