必修410：正余弦函数的性质周期性、奇偶性

第6讲 正余弦函数图像及其性质

知识梳理

1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数xysin，]2,0[x的图象中，五个关键点是：

)0,0( )1,2( )0,( )1,23( )0,2(

2、正弦函数Rxxy,sin的图像：

把xysin，]2,0[x的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到Rxxy,sin的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：R

（2）值域：1,1 ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin|x，

即 1sin1x，也就是说，正弦函数的值域是]1,1[亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数

由xxsin)sin(可知：xysin为奇函数，正弦曲线关于原点O对称

（4）单调递增区间：zkkk,22,22； （5）单调递减区间：zkkk,232,22；

（6）对称中心：（0,k）；

（7）对称轴：2kx

（8）最值：当且仅当,22kxy取最大值1maxy；

当且仅当,232kxy取最小值1miny。

（9）最小正周期：2T

一般地，对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知)0(2,,4,2,2,4,kzkk且都是这两个函数的周期

对于一个周期函数)(xf，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2kzkk且都是它的周期，最小正周期是2

1

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质

知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性

1、(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2、Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，Asinωx＋2πω＋φ＝Asin(ωx＋φ)，即fx＋2πω＝f(x)，

所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．

3、由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知，y＝sinx与y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.

知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)对于y＝sinx，x∈R，恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．

(2)对于y＝cosx，x∈R，恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．

知识点三 正弦、余弦函数的单调性

解析式 y＝sinx y＝cosx

图象

值域 [－1,1] [－1,1]

单调性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，

在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减

最值 当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

类型一 三角函数的周期性

对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝2π|ω|来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解．

高中数学

高中数学第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性

课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．

识记强化

1．周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(2)y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y＝Asin(wx＋φ)，x∈R及y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数且

A≠0，ω>0)的周期为T＝.2πω3．y＝sinx，x∈R是奇函数，y＝cosx，x∈R是偶函数；sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx.4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．

课时作业

一、选择题1．下列说法中正确的是( )

A．当x＝时，sin≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期π2(x＋π6)π6

B．当x＝时，sin＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期5π12(x＋π6)π6C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期

D．因为cos＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期(π2－x)π2答案：A解析：T是f(x)的周期，对应f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立．2．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )

A. B．3ππ3C. D.2π33π2答案：C

解析：该函数的最小正周期T＝＝.2πω2π3

3．函数y＝cos的最小正周期是( )(π4－x3)

A．π B．6πC．4π D．8π答案：B高中数学

高中数学解析：最小正周期公式T＝＝＝6π.2π|ω|2π

正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)。

【要点梳理】

要点 一：周期函数的定义

函数)(xfy，定义域为I，当Ix时，都有)()(xfTxf，其中T是一个非零的常数，则)(xfy是周期函数，T是它的一个周期.

要点诠释：

1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足)()(xfTxf或只差个别的x值不满足)()(xfTxf都不能说T是)(xfy的一个周期.

2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.

要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx

定义域 R R

值域 [-1，1] [-1，1]

奇偶性 奇函数 偶函数

周期性 最小正周期2 最小正周期2

单调区间

k∈Z 增区间

]2222[kk，

减区间

]23222[kk， 增区间22kk，

减区间22kk，

最值点

k∈Z 最大值点(2,1)2k

最小值点(2,1)2k 最大值点21k，

最小值点

2,1k

对称中心

k∈Z 0k， (,0)2k

对称轴

k∈Z 2xk xk

要点诠释：

（1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()yx的单调递增区间时，应先将sin()yx变换为sinyx再求解，相当于求sinyx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。