正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册优质课件

上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x

2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ]的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1)
2
最低点：(32 , 1)
与x轴的交点：(0,0) ( ,0) (2 ,0)
2 正弦函数、余弦函数的性质
先观察区间[0, 2π]上的函数图象：
y
y cos x x [0, 2 ]
1-
-
-1
o
6
2 正弦函数、余弦函数的性质
周期函数定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定
义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫 做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期.
2 正弦函数、余弦函数的性质
思考：周期函数的周期是否是唯一的？ 正弦函数的周期可以是哪些？
课堂小结
一、本节课学习的新知识
二、本节课提升的核心素养
正弦函数图象
数据分析
余弦函数图象
直观想象 逻辑推理
五点作图法
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
数形结合 转化与化归 类比思想
01 基础作业：
.
02 能力提升：
.
03 拓展延伸：
.
2 正弦函数、余弦函数的性质
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -π
π
3π 5π x
-5π -3π
O
2π
Байду номын сангаас
4π
6π
-1
思考：观察上图, 正弦曲线每相隔 2 个单位重复出现. 其理论依据是什么？
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现. 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始” 的变化规律.

(1) f ( x a) f ( x a)
1
(2) f ( x a)
f ( x)
(3) f ( x a) f ( x)
T=2a
T=2a
T=2a
？ 回顾
奇函数和偶函数的定义是什么?
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
7
2
PART 1 周期函数
周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个
非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零
常数T叫做这个函数的周期。
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
PART 4 正余弦函数的奇偶性
• 正弦函数y=sinx满足x∈R, sin(-x)=-sinx，所以
正弦函数是奇函数.
• 余弦函数y=cosx满足x∈R, cos(-x)=cosx，所以
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
例题探究 P201
例 求下列函数的周期
(1) y=3sinx，x∈R；
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
？ 思考
回顾例题的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中

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三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
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[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
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(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数， 就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于 原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
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【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )