第2讲 数列求和与综合应用
[做小题——激活思维]
1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n D ．2n －1 [答案] C
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )
A ．9
B ．8
C ．17
D ．16
A [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]
3．数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n 为( )
A ．2 016
B ．2 017
C ．2 018
D ．2 019
D [a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 019
2 020，所以n ＝2 019.]
4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为
________．
2
n ＋1
＋n 2
－2 [S n ＝2(1－2n )1－2
＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2
.]
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________. (n －1)2n ＋1＋2 [S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 所以2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1
＝2×(1－2n )
1－2
－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2
－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，
所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.]
[扣要点——查缺补漏]
1．数列通项的求法 (1)利用a n 与S n 的关系
利用a n ＝⎩⎨⎧
S n ，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况．如T 1.
(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ①累加(乘)法
形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，可用累加法； 形如a n ＋1
a n ＝f (n )的数列，可用累乘法．
②构造数列法
形如a n ＋1＝na n ma n ＋n ，可转化为1a n ＋1－1a n ＝m
n ，构造等差数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ；
形如a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，且p ≠1)，可转化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋q p －1构造
等比数列⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a n ＋q p －1.
2．数列求和的常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法，如T 4；(3)错位相减法，如T 5；(4)裂项相消法，如T 3；(5)并项求和法，如T 2.
数列中a n与S n的关系(5年3考)
n n n n 1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.
切入点：S n ＝2a n ＋1，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为项的关系式或和的关系式． 关键点：利用a n 与S n 的关系，借助S n ＝2a n ＋1构造新数列．
－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32. 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1
，所以S 6＝－1×(1－26)
1－2
＝
－63.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.
切入点：a n ＋1＝S n S n ＋1.
关键点：利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 将条件转化． －1
n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.
∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1
＝1，即1S n ＋1－1
S n ＝－1.
又1
S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n
＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .]
