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The spin statistics theorem -- did Pauli get it right

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rXiv:quant-ph/0109137v2 14 Nov 2001Thespin-statisticstheorem—didPauligetitright?

PaulO’Hara

Dept.ofMathematics,NortheasternIllinoisUniversity,5500NorthSt.LouisAvenue,Chicago,IL60625-4699,USA.email:pohara@neiu.edu

Abstract

Inthisarticle,webeginwithareviewofPauli’sversionofthespin-statisticstheoremandthenshow,byre-definingtheparameterassociatedwiththeLie-Algebrastructureofangularmomentum,thatanotherinterpre-tationofthetheoremmaybegiven.Itwillbefoundthatthevanishingcommutatorandanticommutatorrelationshipscanbeassociatedwithinde-pendentanddependentprobabilityeventsrespectively,andnotspinvalue.Consequently,itgivesamoreintuitiveunderstandingofquantumfieldtheoryanditalsosuggeststhatthedistinctionbetweentimelikeandspacelikeeventsmightbebetterdescribedintermsoflocalandnon-localevents.Pacs:3.65,5.30,3.70.+k

1Introduction

InPauli’spaperof1940[5]thedistinctionbetweenbose-einsteinandfermi-dirac

statisticsismadeaccordingastowhetherthecommutatororanti-commutator

relationshipsvanishinexpression(20)ofhispaper.Inmodernterminology,we

wouldclaimthatbosonscannotbesecondquantizedasfermionsandvice-versa.

Thiscanalsobeseeninmodernformulationsofthespin-statisticstheoremwhere

[ψi(x),ψj(x′)]=0and{ψi(x),ψj(x′)}=0distinguishthetwotypesofstatistics,ac-

cordingastowhethertheyarevectororspinorfields[3].Moreover,asdirectcalcula-

tionshows,once{ψi(x),ψj(x′)}=0then[ψi(x),ψj(x′)]=0unlessψ(x)iψj(x′)=0.

Thistheoremisthenapplieddirectlytoparticlesystemsbyassociatingpar-

ticlesofintegralspinwithavanishingcommutatorrelationshipandparticlesof

half-integralspinwiththevanishinganticommutatorrelationship,fromwhichwe

concludethatallparticlesofintegralspinarebosonsandallparticlesofhalf-integral

spinarefermions.Howeveronfurtherinvestigation,werealizethatitistheidenti-

ficationofhalf-integerspinparticleswiththespinorrepresentationoftherotation

groupthateffectivelyforcesthedistinction.Inotherwords,ifwewereabletofind

aspinorrepresetationforparticlesofintegralspinthentheytoowouldhavethe

characteristicsoffermions,inaccordancewiththespin-statisticstheorem.

Iwouldliketosuggestthatbyre-definingtheparameteroftheLieAlgebra

associatedwithangularmomentum,thisinfactcanbedone.Moreover,Iwould

alsoliketosuggestthatthisisjustifiedforphotons,sincetheexpression“spin

1angularmomentum”isamisnomerwhenappliedtophotonsbutservesratherto

distinguishtwodifferentpolarizedstates.Consequently,inthisformalism,itisnot

spin-valuethatdetermineswhethertheparticlesobeyfermi-diracorbose-einstein

statisticsbutrathertheprobabilityrelationshipbetweenthem.

2AngularMomentumTheory

Intheusualdevelopmentofangularmomentumtheory,wedefine

L±=Lx±iLy.(1)

Wethenwrite

L2=L2x+L2y+L2z(2)

=L−L++L2z+Lz,(3)

fromwhichitfollowsthat

L2|l󰀌=l(l+1)|l󰀌,(4)

andthat|l󰀌isaneigenvectorofL2.Similarly,thebasisvectors|l󰀌...|l−n󰀌are

eigenvectorsofL2andLz.Becauseofthis,wedenotethebasisvectorsofL2,Lzby

|l,m󰀌with−l≤m≤l.NowconsidertheoperatorL=L1+L2,whereL1and

L2areangularmomentumoperatorsasdefinedabove.Denotethebasisvectorsof

L2,Lzby|l1l2LM󰀌,where|l1−l2|≤L≤|l1+l2|.Inparticular,whenl1=l2denote

thejointstateby|llLM󰀌,thenwecanwrite[2]

|llLM󰀌=1

2√√Howthencantheabovetheorybeextendedtoincludespin1particleslikethe

photon?Asimpleremedycanbefoundprovidedweagreetore-definetheangular

momentumoperatorbySi=nLiwherenisaninteger,anddefinethesubsequent

LieAlgebraby

[Si,Sj]=inǫijkSk.(7)

Noteimmediatelythatwhenn=1weobtaintheusualrelationshipforspin1

2.Inparticularwhenn=2,weobtainthespinstructure

ofaphoton,withonlytwopermissiblestates,whicharedenotedby(1,0)and(0,1)

respectively.Also,ifweletn=2inthecommutatorrelationsofequation(6),then

therotationalpropertiesofapolarizedphotoncanbemodeledveryeffectivelyby

theSU(2)groupwithparametervector2θ,incontrasttosimilarpropertiesofan

electron(orneutrino)whichareassociatedwiththeSU(2)groupwithparameterθ.

Inotherwords,forphotonsandelectronsthegrouprepresentationsaregivenby

U2θ=ei󰀐θ.σandUθ=e(i/2)󰀐θ.σrespectively,whereσrepresentsthePaulispinmatri-

ces.Moreover,anSU(2)representationforthephotonpredictsafullangleformula,

incontrasttothehalf-angleformulaassociatedwiththespinoftheelectron(or

neutrino).Furthermore,aC-Gcalculationbasedonthecommutatorrelations(6)

appliedtophotons(seenextsection),naturallygivesrisetothetripletandsinglet

statedecompositionassociatedwithphotons(withoutanyneedofahelicityargu-

ment),incontrasttotheusualdecompositionassociatedwithtwospin1particles

withanobservablespin-0state.

33ClebschGordanCoefficientsforpairedphotons

anddeuterons

Beforereinterpretingthespin-statisticsfromtheperspectiveofthegeneralizedcom-

mutatorrelationsofangularmomentum,itisusefultoworkouttherespectivejoint

states|llSM󰀌forpairsofphotonsandpairsofdeuterons.

Considertwophotons.LetS=S1+S2representtheirjointspins,anddenote

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概览系列：《上帝掷骰子吗？量子物...

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前述提要

原子模型的变化推进着人们对电子是量子还是波的变化，波粒大战开展的如火如荼，波尔的电子跃迁模型似乎表明电子具有量子化的特征，而德布罗意对电子轨道的研究又表明了电子具有波的特性。 让我们在这里结束这该死的波粒大战，然后进入更加奇妙的量子玄思中吧。

一、海森堡和矩阵力学

书接上文

诚如之前所说，每一次新发现的出现，都会扭转人们眼中波动和粒子的看法，但是，这些看法都只是增加了佐证，而不能说可以解释所有实验结果。

1924年和1925年之间，物理学正处于一个艰难与迷茫的境地中，由于始终没有一种理论可以完全的覆盖粒子与波动两种实验结果（虽然德布罗意的理论已经提出，但要在3年后才能被证明），波尔和他的实验助手甚至试图发展一种新的理论BKS，解决（辐射）是波还是粒子的问题（此理论设定每一个原子的附近，都存在某些“虚拟的振动”），但并不是很成功。虽然此理论可以解释一些实验结果，却也违反了能量守恒和动量守恒定律。虽然BKS试图认为它们（能量守恒和动量守恒定律）只不过是一种统计下的平均情况，却被现实狠狠的打脸了（1925年4月被实验否定）。

（量子力学皇帝，波尔）

海森堡，一位曾经信奉BKS理论的天才物理学家，在BKS理论倒塌后陷入了迷茫中，在当时的物理学界，普遍喜欢使用虚构的理论（爱因斯坦认为BKS理论是一种虚构的理论）来研究物理学（即先假定可以符合现有实验结果的理论，再使用理论推测出可能的实验结果，最后使用实验证明理论是否出错），海森堡也试图使用这种方式，从BKS理论的基础上发展新的体系，但很快他就失望了——在这个过程中所遇到的数学问题是无法想象的，同一时间，物理学家泡利（泡利不相容定律的提出者，解决了同一轨道上的电子最大上限问题）也遇到了同样的问题，“对我来说什么都太难了，我宁愿自己是一个电影喜剧演员，从来也没听过物理是什么东西”（泡利是卓别林的影迷）。

（泡利和卓别林）

物理学家的八卦

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1.本内容，纯属网络收集，道听途说，如有任何错误，本人概不负责

2.feymann那扯淡的直觉他有个最大的毛病，就是喜欢装牛b,明明自己也是费尽九牛二虎之力才作出来的非得装着一晚上想出来的，用来打击别人不过他也碰

上过对手，有次碰上个速算的大牛，从此他知道在某些人面前不能吹牛b

3.feymann这人表面上不在乎名声，实际上很虚荣他有次跟个朋友参加聚会，他路上抱怨说自己为盛名所累，讨厌人围着，他朋友安慰他说今天没有物理圈的，我不说，没人知道你得过nobel,于是他朋友很老实的遵守诺言，可是宴会开到

一半，几乎所有的人都知道feymann是nobel了他朋友很郁闷，找了个人一问，

原来是feymann自己到处说的典型的甲方乙方徐帆表演的那个明星的现场版

4.关键是feymann虽然的确不错，但是他自己吹再加上别人帮着吹，吹着吹着就真的让人受不了了比如那个所谓的拒领nobel奖而且这个家伙明显的大嘴巴，作演讲不管对的错的一块儿来他教学生算是nobel奖里面比较差得了(不知道算不

算最差的)，大概学生中的牛人我知道的就一个bjoken

5.说一下schwinger这个人是大大牛，属于早慧那种，据说他十五岁的时候混得不好，在纽约一个什么社区大学混日子，但是有一天偶尔RABI和另一个牛牛在

谈论一个量子电动力学的问题，这时候schwinger插进来，"这个少年尖锐的发

言结束了这场争论"，rabi爱才，特意托关系把他招进的columbia,从此schwinger一帆风顺。。。。s chwinger大概对数学特别有偏好，做的文章很难 看得懂，据说是在他做自己的第一次场论报告的时候，除了bohr在那里点头同意，剩下的人根本不知道他在那里说什么，但是既然波尔点了头，大家就认为

对了，紧接着feymann上去，也讲场论，讲自己的那套，这下更糟，连bohr在内，没一个听懂的，bohr据说说了一句特尖刻的话"你应该重学量子力学"

从爱因斯坦到霍金的宇宙课后习题答案

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从爱因斯坦到霍金的宇宙2019尔雅满分答案

物理学的起源

1

Physics这个词最先是谁想出的?(B)

A、柏拉图

B、亚里士多德

C、欧几里得

D、阿基米德

2颐和园宝云阁的“物含妙理总堪寻”是由康熙题词。(X)

“物理”一词在中国

1

谁认为“格物致知”中的“格”意思是“变革”?(D)

A、朱熹

B、王阳明

C、王艮

D、毛泽东

2王阳明强调人心,良知,冉伟革去外物,良知自存。(对)

物理学的诞生

1

谁首先指出物理学是一门“实验的科学”、“测量的科学”?(B)

A、阿基米德

B、伽利略

C、牛顿 D、亚里士多德

2阿基米德的重要发现是(BC)。

A、自由落体定律

B、浮力定律

C、杠杆原理

D、相对性原理

3下列哪些定律是伽利略首先确认的?(ACD)

A、相对性原理

B、杠杆原理

C、自由落体定律

D、惯性定律

“1642年”在物理学上的意义

1

牛顿的主要成就是(AB)。

A、力学三定律

B、万有引力定律

C、光的波动说

D、能量守恒定律

2库伦从介质的弹性振动导出了电磁学的基本方程组。(对)

3麦克斯韦从介质的弹性振动导出了电磁学的基本方程组。(对)

热学的发展

1

热力学的哪一条定律说"不能从单一热源吸热做功,而对外界不产生影响"?(B)

A、第一定律 B、第二定律

C、第三定律

D、第零定律

2开尔文提出不能从单一热源吸热做工而不产生其他影响。对

明朗天空的两朵乌云

1

爱因斯坦提出下列理论中的哪一个,用以解释光电效应?(D)

A、量子论

B、光子说

C、波动说

D、光量子论

2瑞利—金斯曲线在短波波段与实验曲线完全符合,在长波波段变得无穷大。X

并非神童的爱因斯坦

1

爱因斯坦在苏黎世工业大学上学期间,其物理教授是(A)。

A、韦伯

B、卢瑟福

C、玻尔

D、狄拉克

求职不顺的爱因斯坦

1爱因斯坦从苏黎世工业大学毕业后曾向著名的物理学家奥斯特瓦尔德求职。对

爱因斯坦的丰收年

127岁那年,是爱因斯坦的丰收年,他做出了如下的创新工作(ABD)。

埃尔米特-林德曼超越性定理

埃尔米特-林德曼超越性定理

埃尔米特-林德曼超越性定理

埃尔米特-林德曼超越性定理，又称为林德曼原理（Lindermantheorem），是埃尔米特·林德曼（EirmetLinderman）1952年的重要研究成果，更准确地讲，它是一个量子力学中的重要定理。该定理揭示了量子力学中费米空间广义方程（Fermi-spacegeneralizedequation）结构：即，由费米能级可以求得量子运动方程（Quantummotionequation）。埃尔米特·林德曼超越性定理，也可以认为是一种让量子力学与经典力学完美结合的桥梁。

这一定理在宇宙尺度上显示出了量子效应，并改变了经典物理定律所推断出来的潜在机理模式，同时这一定理也成为量子计算机的前提基础之一。它可以明确解释经典物理定律和量子物理定律之间的关系，无论是我们对微观物理的理解还是对宏观物理的深刻认识，埃尔米特-林德曼超越性定理都是一个巨大的突破。

埃尔米特-林德曼超越性定理的认识是科学家们许多年的探索和研究的产物，它丰富了我们对量子物理定律的理解，同时也加强了经典物理定律再现性的学术价值。从概念上讲，这一定理主要是指出态密度（statedensity）中影响量子运动的费米能级章程可以表征为费米空间广义方程。

从进一步的研究和实践上来说，埃尔米特-林德曼超越性定理的意义非凡。它厘清了量子力学和经典物理学

定律之间的关系，以及这一关系在宇宙尺度上的模糊性，这一研究成果可以被广泛应用于无论是空间航行技术，还是量子计算科学等范围。而埃尔米特-林德曼超越性定理通过其研究成果，也促使人们做出了大量有关量子力学及经典物理定律的新发现。由此可见，埃尔米特-林德曼超越性定理在当今物理学界的重要价值与贡献。