高中数学直线与圆的方程知识点总结
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__________________________________________________ 高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；
②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）；
②垂直：斜率k不存在；
③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tanxxyyxxyyk
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:bxkylbxkyl
①相交：斜率21kk（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：<1> 0211kkxl不存在，则轴，即；
<2> 斜率都存在时：121•kk 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,bbkk；
<2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,bbkk；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00xxkyy 将已知点kyx与斜率),(00直接带入即可；
②斜截式：bkxy 将已知截距kb与斜率),0(直接带入即可； __________________________________________________
__________________________________________________ ③两点式：),(2121121121yyxxxxxxyyyy其中， 将已知两点),(),,(2211yxyx直接带入即可；
④截距式：1byax 将已知截距坐标),0(),0,(ba直接带入即可；
⑤一般式：0CByAx ，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式：
①两点间距离：22122121)()(yyxxPP
②点到直线距离：2200BACByAxd
③平行直线间距离：2221BACCd
4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211yxByxA
①AB中点),(00yx：)2,2(2121yyxx
②AB三分点),(),,(2211tsts：)32,32(2121yyxx 靠近A的三分点坐标
)32,32(2121yyxx 靠近B的三分点坐标
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①PBPA的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：
②PBPA的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；
③22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 y
x o __________________________________________________
__________________________________________________ 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)
4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1> 直线与两定点所在直线平行；
<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法：
第一种：圆的一般方程——022FEyDxyx 其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.
当0422FED时，方程表示一个圆，
当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.
当0422FED时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——222)()(rbyax.其中点),(baC为圆心，r为半径的圆
第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）
注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA
3. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.
①M在圆C内22020)()(rbyax
②M在圆C上22020)()rbyax（
③M在圆C外22020)()(rbyax
4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：)0()()(222rrbyax； 直线l：)0(022BACByAx； __________________________________________________
__________________________________________________ 圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.
①rd时，l与C相切；
②rd时，l与C相交；，
③rd时，l与C相离.
5、圆的切线方程：
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）
6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
弦长的计算：AB=2*√R2-d2 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标 __________________________________________________
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圆锥曲线
椭圆
椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合
1、定义：12122(2)PFPFaaFF
第二定义：(01)PFceeda
2、标准方程：22221(0)xyabab 或 22221(0)yxabab；
3、参数方程cossinxayb （为参数）几何意义：离心角
4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）
①、顶点(,0),(0,)ab
②、焦点(,0)c
③、离心率(01)ceea
④准线：2axc（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）
5、焦点三角形面积：122tan2PFFSb（设12FPF）(推导过程必须会)
6、椭圆面积：Sab椭（了解即可）
7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0）
判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数
