未知驱动探索，专注成就专业
1
排列组合和二项式定理
一、排列组合
1.1 排列
排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。在排列中，每个元素只能使用一次。例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r个进行排列。排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n -
r)!
其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合
组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。 未知驱动探索，专注成就专业
2
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r个进行组合。组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! ×
(n - r)!)
二、二项式定理
二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) ×
a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2
+ … + C(n, n) × a^0 × b^n
其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
三、总结
排列组合和二项式定理是代数学中常见的两个重要概念。排列组合用于计算从一组元素中选取一部分进行排列或组合的未知驱动探索，专注成就专业
1
课题 §排列组合二项式定理复习 2课时
教学目标 熟练掌握排列，组合数公式，巩固排列，组合数问题，熟练运用二项式定理并能运用它来解决问题
一、知识点：
1．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）
2．组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm
或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且
3 组合数的性质1：mnnmnCC．规定：10nC； 性质2：mnC1＝mnC+1mnC
4. 二项式定理及其特例：
（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，
（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx
二、解题思路：
特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.
科学分类法 例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.
插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.
捆绑法例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.
排除法例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
三、讲解范例：
例1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数
(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数
例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？
2
例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？
1 / 22 20.1.1 排列的概念
【教学目标】
1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；
2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。
3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。
【教学重难点】
教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用
教学难点：排列数公式的推导
【教学课时】
二课时
【教学过程】
合作探究一： 排列的定义
我们看下面的问题
（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里
（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；
（3）从10名学生中选2名学生干部；
上述问题中哪个是排列问题？为什么？
概念形成
1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2、排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
合作探究二 排列数的定义及公式
3、排列数：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示
议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
4、排列数公式推导 2 / 22 探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数2nA是多少？3nA呢？mAn呢？
)1()2)(1(mnnnnAmn（,,mnNmn）
说明：公式特征：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个
因数是1nm，共有m个因数；
（2）,,mnNmn
即学即练:
1.计算 (1）410A；(2）25A；(3)3355AA
排列组合和二项式定理
一、 排列数
1. 全排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。特别地，时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。
2. 排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A𝑛𝑚(m,n都是正整数)表示。所谓排成一列是指与顺序有关。
3. 排列数公式:𝐴𝑛𝑚=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)⋯(𝑛−(𝑚−1))𝑚个数=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)⋯(𝑛−𝑚+1).
(应用公式时，要注意最后一项)
4. 阶乘:𝑛!=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1.规定：0!=1.
因此，排列数公式可改写为：𝐴𝑛𝑚=𝑛!(𝑛−𝑚)!.
5. 公式：𝐴𝑛𝑚+𝑚𝐴𝑛𝑚−1=𝐴𝑛+1𝑚,
证明如下：𝐴𝑛𝑚+𝑚𝐴𝑛𝑚−1=𝑛!(𝑛−𝑚)!+𝑚𝑛!(𝑛−𝑚+1)!
=𝑛!(𝑛−𝑚)!×[1+𝑚𝑛−(𝑚−1)]
=𝑛!(𝑛−𝑚)!×𝑛+1𝑛−(𝑚−1)
=(𝑛+1)![(𝑛+1)−𝑚]!
=𝐴𝑛+1𝑚.
二、 组合数
1. 组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.
2. 组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C𝑛𝑚(m,n都是正整数)表示.所谓并成一组是指与顺序无关。
3. 组合数公式：𝐶𝑛𝑚=(𝑛−1)(𝑛−2)⋯(𝑛−𝑚+1)𝑚×(𝑚−1)×⋯×2×1=𝑛!(𝑛−𝑚)!𝑚!.
4. 公式1:𝐶𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑛−𝑚.
5. 公式2:𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚.
