高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷(有详细问题详解)

[考情分析]在高考立体几何的解答题中，常常出现翻折问题与探索性问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力．翻折问题是空间几何与平面几何转化的集中体现，处理这类题的关键是抓住两图的特征关系；探索性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．预计2025年高考可能会考查以下几点：(1)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与翻折问题结合；(2)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与探索性问题结合；(3)翻折问题与探索性问题的综合．考点一立体几何中的翻折问题例1(2024·山东泰安模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE，△DCE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如图2所示．(1)求证：AD∥平面BCE；(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．解(1)证明：在题图2中，分别取BE，CE的中点M，N，连接AM，DN，MN，由题图1知，BC＝2AB，且E为AD的中点，则AE＝AB，所以AM⊥BE，又因为平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，AM⊂平面ABE，所以AM⊥平面BCE，同理可得，DN⊥平面BCE，所以AM∥DN.又因为AM＝DN，所以四边形AMND为平行四边形，所以AD∥MN，又AD⊄平面BCE，MN⊂平面BCE，所以AD∥平面BCE.(2)在题图1中，因为∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，所以BE⊥CE.以E为原点，EB，EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则E (0，0，0)，A 22，0，22，D 0，22，2222，22，0所以EA →＝22，0，22，ED →＝0，22，22设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·EA →＝0，n ·ED →＝0，x ＋z ＝0，y ＋z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－1，－1，1)，又FA →＝0，－22，22，设直线FA 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|FA →·n ||FA →||n |＝21×3＝63，所以直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值为63.翻折问题的解题关键点1.(2024·湖北宜昌模拟)如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝DC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，连接AB ，AC ，得到如图2的几何体，在图2的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：AC ⊥DE ；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D －AE －C 的余弦值．①四棱锥A －BCDE 的体积为2；②直线AC 与EB 所成角的余弦值为64.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)证明：如图，在题图1中，连接CE ，因为DC ∥AB ，DC ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以DC ∥AE ，DC ＝AE ，所以四边形ADCE 为平行四边形，所以AD ＝CE ＝DC ＝AE ＝2，同理可证DE ＝2，在题图2中，取DE 的中点O ，连接OA ，OC ，CE ，则OA ＝OC ＝3，因为AD ＝AE ＝CE ＝DC ，所以DE ⊥OA ，DE ⊥OC ，又因为OA ∩OC ＝O ，所以DE ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥DE .(2)若选择①：因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE 且交线为OC ，所以过点A 作AH ⊥OC 于H ，则AH ⊥平面BCDE ，因为S 四边形BCDE ＝23，所以V A －BCDE ＝2＝13×23×AH ，所以AH ＝3＝OA ，所以AO 与AH 重合，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，平面DAE 的一个法向量为CO →＝(3，0，0)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为CE →＝(3，1，0)，CA →＝(3，0，3)，·CE →＝0，·CA →＝0，＋y ＝0，＋3z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，－1)，设二面角D －AE －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|CO →·n ||CO →||n |＝33×5＝55，易知二面角D －AE －C 的平面角为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为55.若选择②：因为DC ∥EB ，所以∠ACD 即为异面直线AC 与EB 所成的角，在△ADC 中，cos ∠ACD ＝AC 2＋4－44AC ＝64，所以AC ＝6，所以OA 2＋OC 2＝AC 2，所以OA ⊥OC ，因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE ，且交线为OC ，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，下同选①.考点二立体几何中的探索性问题例2(2024·湖北武汉期末)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且ED ＝FB ＝1.(1)求证：EC ⊥平面ADF ；(2)在线段EC 上是否存在点G (不含端点)，使得平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°？若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)证明：以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E (0，0，1)，F (1，1，1)，∴EC →＝(0，1，－1)，DA →＝(1，0，0)，DF →＝(1，1，1)EC ·DA →＝0，EC ·DF →＝1－1＝0，∴EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，又DA ∩DF ＝D ，DA ，DF ⊂平面ADF ，∴EC ⊥平面ADF .(2)设EG →＝λEC →(0<λ<1)，则点G 的坐标为(0，λ，1－λ)，DG →＝(0，λ，1－λ)，易知B (1，1，0)，则DB →＝(1，1，0)．设平面GBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DG →＝λy ＋（1－λ）z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取y ＝1－λ，则x ＝λ－1，z ＝－λ，则n ＝(λ－1，1－λ，－λ)，∵平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°，且平面ADF 的一个法向量为EC →＝(0，1，－1)，∴cos45°＝|n ·EC →||n ||EC →|＝12（1－λ）2＋λ2×2，又0<λ<1，解得λ＝1 3，∴G为线段EC上靠近点E的三等分点．探索性问题的解题策略(1)条件探索性问题①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性．③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．2.(2024·四川成都树德中学模拟)如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．(1)判断线段EH上是否存在点P，使得平面PAF∥平面BGH.若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由；(2)若AH＝22，求平面ABH与平面BGH所成角的正弦值．解(1)当P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH.证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF，因为P为线段EH的中点，所以HP＝GF＝1，HP∥GF，所以四边形HPFG是平行四边形，所以HG∥PF，因为PF⊂平面PAF，HG⊄平面PAF，所以HG∥平面PAF.连接PG，因为PE∥GF，PE＝GF＝1，所以四边形PEFG 是平行四边形，所以PG ∥EF ，且PG ＝EF ，又EF ∥AB ，EF ＝AB ，所以PG ∥AB ，PG ＝AB ，所以四边形ABGP 是平行四边形，所以PA ∥BG ，因为PA ⊂平面PAF ，BG ⊄平面PAF ，所以BG ∥平面PAF .因为HG ∩BG ＝G ，HG ，BG ⊂平面BGH ，所以平面PAF ∥平面BGH .(2)因为AH ＝22，AE ＝EH ＝2，所以AE 2＋EH 2＝AH 2，所以AE ⊥EH ，又EF ⊥EA ，EF ⊥EH ，所以EA ，EF ，EH 两两垂直．故以E 为原点，EA ，EF ，EH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，H (0，0，2)，G (0，2，1)，所以AB →＝(0，2，0)，BH →＝(－2，－2，2)，BG →＝(－2，0，1)．设平面ABH 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝0，·BH →＝0，y 1＝0，2x 1－2y 1＋2z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(1，0，1)．设平面BGH 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·BH →＝0，·BG →＝0，2x 2－2y 2＋2z 2＝0，2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1，1，2)．设平面ABH 与平面BGH 所成的角为θ，则|cos θ|＝|m ·n ||m ||n |＝32×6＝32，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－34＝12，所以平面ABH 与平面BGH 所成角的正弦值为12.课时作业1．如图，在Rt △ABC 和Rt △DBC 中，AB ＝AC ，BC ＝2BD ＝2，∠A ＝90°，∠D ＝90°，将△ABC 翻折到△A ′BC 的位置，使二面角A ′－BC －D 的大小为30°，E 为边CD 上的点，且CE ＝2ED .(1)证明：BC ⊥A ′E ；(2)求直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值．解(1)证明：取BC 的中点F ，连接A ′F ，EF ，如图，由A ′B ＝A ′C ，得A ′F ⊥BC .又BC ＝2BD ＝2，则CD ＝3，CE ＝233，∠BCD ＝30°，CF ＝1，∴EF 2＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos30°＝13，∴EF 2＋CF 2＝13＋1＝43＝CE 2，∴EF ⊥CF ，即EF ⊥BC ，又EF ∩A ′F ＝F ，EF ，A ′F ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥平面A ′EF ，∵A ′E ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥A ′E .(2)∵A ′F ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴∠A ′FE 为二面角A ′－BC －D 的平面角，∴∠A ′FE ＝30°.以F 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则A ，32，B (1，0，0)，C (－1，0，0)，，32，故BC →＝(－2，0，0)，A ′B→，－32，A ′D→0，设平面A ′BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·BC →＝0，·A ′B →＝0，2x ＝0，－32y －12z ＝0，取y ＝1，则x ＝0，z ＝－3，即n ＝(0，1，－3)，设直线A ′D 与平面A ′BC 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n ，A ′D →〉|＝|n ·A ′D →||n ||A ′D →|＝322×22＝64，∴直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为64.2.(2024·福建厦门模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在线段PD 上，且满足PE →＝2ED →.(1)求平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得BQ ∥平面EAC ？若存在，请指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝1，∴PA 2＋AB 2＝PB 2，由勾股定理逆定理知，PA ⊥AB ，同理可得，PA ⊥AD ，∵AB ，AD⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，AD ，AP 所在直线分别为y ，z 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，，12，P (0，0，1)，D (0，1，0)，∵PE →＝2ED →，∴，23，∴AE →，23，AC →，12，设平面EAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⊥AE →，⊥AC →，·AE →＝23y ＋13z ＝0，·AC →＝32x ＋12y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，23)，易知平面DAC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝32，∴平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值是32.(2)设PQ →＝tPC →，12t ，≤t ≤1)，∴，12t ，1又－12，则BQ →，t ＋12，1由(1)，知平面EAC 的一个法向量为n ＝(1，－3，23)，当BQ ∥平面EAC 时，n ⊥BQ →，∴n ·BQ →＝0，∴3t －32－3t ＋32＋23(1－t )＝0，∴t ＝12，即Q 为PC 的中点时，BQ →⊥n ，且BQ ⊄平面EAC ，满足BQ ∥平面EAC .3．(2024·黑龙江大庆期中)如图1，在直角梯形EFBC 中，BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3.现沿平行于EF 的AD 折叠，使得ED ⊥DC 且BC ⊥平面BDE ，如图2所示．(1)求AB 的长；(2)求二面角F －EB －C 的大小．解(1)由BC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，得BC ⊥BD ，在直角梯形EFBC 中，由BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3，知BC ＝2，设AB ＝x (0<x <2)，则AF ＝DE ＝2－x ，CD ＝x ＋1，故BD 2＝AB 2＋AD 2＝x 2＋1，CD 2＝(x ＋1)2，由BD 2＋BC 2＝CD 2，得x 2＋1＋(2)2＝(x ＋1)2，解得x ＝1，即AB 的长为1.(2)因为ED ⊥AD ，ED ⊥DC ，AD ∩DC ＝D ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ，结合DA ⊥DC 知，DA ，DC ，DE 两两相互垂直，故以D 为原点，DA →，DC →，DE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，所以BF →＝(0，－1，1)，EF →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，1，0)，EC →＝(0，2，－1)，设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 1·BC →＝－x 1＋y 1＋0＝0，n 1·EC →＝2y 1－z 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，1，2)，设平面BEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·EF →＝x 2＝0，2·BF →＝－y 2＋z 2＝0，取y 2＝－1，则n 2＝(0，－1，－1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－36×2＝－32，又所求二面角为钝角，所以二面角F －EB －C 的大小为5π6.4.(2024·广东高三校联考阶段练习)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝12BC ＝2，点E 在平面PBC 上运动．(1)试确定一点E ，使得CD ∥平面PAE ，并说明点E 的位置；(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得二面角F －AB －C 的余弦值为23417若存在，求PF 的长；若不存在，请说明理由．解(1)取BC 的中点G ，连接AG ，PG ，如图，由AD ＝12BC ，AD ∥BC ，得AD ∥GC ，AD ＝GC ，即四边形AGCD 为平行四边形，于是AG ∥CD ，而AG ⊂平面PAG ，CD ⊄平面PAG ，则CD ∥平面PAG ，所以当点E 在△PBC 的边BC 的中线PG 上运动时(E 与P 不重合)，CD ∥平面PAE .(2)由于PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥CD ，则四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×（2＋4）×22×PA ＝6，解得PA ＝3，由(1)知，AG ⊥BC ，AG ＝BG ＝2，则有AB ＝22，AC ＝22，有AB 2＋AC 2＝BC 2，AB ⊥AC ，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，22，0)，P (0，0，3)，假定棱PC 上存在一点F 满足条件，令PF →＝λPC →，λ∈(0，1)，则F (0，22λ，3－3λ)，AB →＝(22，0，0)，AF →＝(0，22λ，3－3λ)，设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·n ＝22x ＝0，·n ＝22λy ＋（3－3λ）z ＝0，取z ＝22λ，得n ＝(0，3(λ－1)，22λ)，又平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，于是二面角F －AB －C 的余弦值为|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|22λ|9（λ－1）2＋（22λ）2＝23417，解得λ＝12，即F 为PC 的中点，此时PC ＝（22）2＋32＝17，PF ＝12PC ＝172.即当PF ＝172时，二面角F －AB －C 的余弦值为23417.5．(2023·北京昌平三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解(1)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE ∥BC ，则有CD ⊥DE ，AD ⊥DE ，折起后，有CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，又CD ∩A 1D ＝D ，CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE ，又A 1C ⊥CD ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，CD ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)由CD ，CB ，CA 1两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，D (－2，0，0)，A 1(0，0，23)，B (0，3，0)，E (－2，2，0)，∴A 1B →＝(0，3，－23)，A 1E →＝(－2，2，－23)，设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1B ·n ＝0，1E ·n ＝0，y －23z ＝0，2x ＋2y －23z ＝0，取x ＝－1，则y ＝2，z ＝3，∴n ＝(－1，2，3)，又M (－1，0，3)，∴CM →＝(－1，0，3)，设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈CM →，n 〉|＝|CM →·n ||CM →||n |＝1＋31＋3×1＋4＋3＝42×22＝22，∵0°≤θ≤90°，∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为45°.(3)设线段BC 上存在点P ，且点P 的坐标为(0，a ，0)，则a ∈[0，3]，∴A 1P →＝(0，a ，－23)，DP →＝(2，a ，0)，设平面A 1DP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1－23z 1＝0，x 1＋ay 1＝0，1＝36ay 1，1＝－12ay 1，∴n 1＝(－3a ，6，3a )，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，∴3a＋12＋3a＝0，解得a＝－2，∵0≤a≤3，∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．6．(2024·山西太原小店区月考)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O，AC∩MN＝G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND.(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P－MNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG.证明如下：∵M，N分别是边BC，CD的中点，又∠DAB＝60°，∴BD∥MN，且△PMN是等边三角形，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴MN⊥AG，MN⊥PG，∵AG∩PG＝G，AG⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG.(2)由折叠性质得四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，OG＝ 3.∴S等腰梯形MNDB ＝（2＋4）×32＝33，要使得四棱锥P－MNDB的体积最大，只需点P到平面MNDB的距离最大即可，∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为PG＝3，假设符合题意的点Q存在，以G为原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，则A (33，0，0)，M (0，1，0)，N (0，－1，0)，P (0，0，3)，平面PMN 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，设AQ →＝λAP →(0≤λ≤1)，又AP →＝(－33，0，3)，则AQ →＝(－33λ，0，3λ)，∴Q (33(1－λ)，0，3λ)，∴NM →＝(0，2，0)，QM →＝(33(λ－1)，1，－3λ)，设平面QMN 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，m ·NM →＝0，m ·QM →＝0，2y ＝0，33（λ－1）x ＋y －3λz ＝0，取x ＝λ，则y ＝0，z ＝3(λ－1)，∴m ＝(λ，0，3(λ－1))，设二面角Q －MN －P 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝|λ|λ2＋9（λ－1）2＝1010，解得λ＝12，故符合题意的点Q 存在，且Q 为线段PA 的中点．。

微专题: 立体几何中的动态问题题型一立体几何中动态问题中的距离、角度问题例题1.如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。

求两点间的距离或其最值。

一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。

例题2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。

设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【答案】，当时取等号.所以，当时，取得最大值.【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。

当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。

题型二 立体几何中动态问题中的轨迹问题例题3.设P 是正方体1111ABCD A B C D 的对角面11BDD B （含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面1ABA 、平面1ADA 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在 【答案】A【解析】解：与平面1,ABC ABA 距离相等的点位于平面1111A B C D 上； 与平面1,ABC ADA 距离相等的点位于平面11AB C D 上； 与平面11,ABA ADA 距离相等的点位于平面111ACC A 上；据此可知，满足题意的点位于上述平面1111A B C D ，平面11AB C D ,平面111ACC A 的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个. 本题选择A 选项.点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.例题4.如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线【答案】B【解析】由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面a 的交线 ．例题6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ． 【答案】π6【解析】由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ．题型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题例题5.在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. 36B.C. 24D.【答案】B例题6.如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1B C 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为MN ==.巩固练习： 1.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故．2、如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：∵，，，，∴，同理：．∴为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，∴，又，∴，∴．在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，（）∴，整理得．∴点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆．∵平面平面，，，∴为二面角的平面角．∴当与圆相切时，最大，取得最小值．此时，，，∴．．故选：C．3.在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )【答案】A【解析】如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．4.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线【答案】B【解析】简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+-故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．5.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AB C B C B C B C A B C DDDA ．B ．C ．D ． A【答案】D【解析】动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ．6.已知在矩形ABCD 中，AB=3，BC=a ，若PA ⊥面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，若满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是多少？解析：连结AE ，由三垂线逆定理可知DE AE ⊥，要使满足条件的E 点有两个则须使以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以半径长3,62aa >∴>。

∴三棱锥A1－EFD的三条侧棱A1D，A1E，A1F两两相互垂直，把三棱锥
A1－EFD放置在长方体中， 可得长方体的体对角线长为 22＋22＋42＝2 6，
则三棱锥 A1－EFD 的外接球半径为 6，
体积为43πR3＝43π×( 6)3＝8 6π，故②错误； 对于③，当 BE＝BF＝14BC＝1 时， A1E＝A1F＝3，EF＝ 2， 在△A1EF 中，cos∠EA1F＝A1E22＋A1AE1·FA21－F EF2＝32＋2×32－ 3× 322＝89， ∴sin∠EA1F＝ 917，
方法二 对于④，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF， 则当 μ＝12时，点 P 在线段 EF 上运动， 以点C1为原点建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz，
则B(0,1,1)，ห้องสมุดไป่ตู้1(0,1,0)，A1
23，21，0，P0，1－λ，21，
所以—A1→B ＝－
23，12，1，—B1→P ＝0，－λ，12，
①当λ＝1时，△AB1P的周长为定值；
②当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值；
③当λ＝
1 2
时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP；
④当μ＝
1 2
时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P.
B→P＝λB→C＋μB→B1(0≤λ≤1,0≤μ≤1). 对于①，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示， 此时△AB1P 的周长为 AB1＋AP＋PB1＝ 2＋ 1＋μ2＋ 1＋1－μ2 ＝ 2＋ 1＋μ2＋ 2－2μ＋μ2，不是定值，故①错误；
又 PB＝2，BC＝ 2，PC＝ 2∈( 3－1， 3＋1)，故 DP 与 BC 可能垂直，
故 B 正确；
对于C，当平面PBD⊥平面BCD时，PM⊥平面BCD，

一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证. 二．解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例1.（2016·四川高考）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为（ ）A ．15B ．35C ．25D ．45【举一反三】1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．专题4.3 立体几何的动态问题A ．,33⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2020·广东高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13 B C ．12 D 3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，R OP Q --的平面角为,,αβγ，则（ ）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βαγ<<类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】（2020·山西高三）设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ） AB．2C ．1 D【举一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是（ ） ABCD2.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．253（2020广西柳州市模考）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，点P 为线段A 1C 上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）A ．当A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3A 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 时，D 1P ∥平面BDC 1B ．当P 为A 1C 中点时，四棱锥P −AA 1D 1D 的外接球表面为94π C ．AP +PD 1的最小值为√61111ABCD A B C D -H 1AA 11HA =11BCC B 1EFGC P 11BCC B P 11CDD C PF P 2||HPD ．当A 1P =√33时，A 1P ⊥平面D 1AP类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设1PD ，PE 与底面ABCD 所成的角分别为12θθ，（12θθ，均不为0），若12θθ=，则三棱锥11P BB C -体积的最小值是（ ） A ．92B ．52C ．32D ．54【举一反三】1.（2020·四川高三期末）长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该正方体侧面11CC D D 内（含边界）的动点，且满足tan tan PAD PBC ∠+∠=则四棱锥P ABCD -体积的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．233⎤⎥⎣⎦C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,33⎤⎥⎣⎦2.在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. 36B.C. 24D.3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线【举一反三】1.如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，点D 在11A B 上，且1AA BD ∥，点M 是111A B C △内（含边界）的一个动点，且有平面BDM ∥平面1A C ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．平面B ．直线C ．线段，但只含1个端点D ．圆2、（2020贵阳高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为平面11AA D D 中的一个动点，且点P 满足：直线1PC 与平面11AA D D 所成的角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成锐二面角的大小，则点P 的轨迹为（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 3、已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( ) A. B.C.D.三．强化训练 一、选择题1．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段1A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．①异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ ②11DC D M ⊥③三棱锥1M DCC -的体积为定值 ④1AM MD +的最小值为2． A ．①②③B ．①②④C ．③④D ．②③④2.（2020河南省焦作市高三）在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AA 1和AB 上，且C 1E ⊥EF ，则|AF|的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．23．（2020·重庆巴蜀中学高三（理））棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，1D P 与平面ABCD 所成角为1θ，NP 与平面ABCD 所成角为2θ，若12θθ=，则AP 的最小值为（ ） A ．2B ．83C ．4D ．14.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是边AA 1，CC 1上的中点，点M 是BB 1上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱DD 1交于点N ，设BM ＝x ，平行四边形EMFN 的面积为S ，设y ＝S 2，则y 关于x 的函数y ＝f (x )的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AP =√2,AB =2，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为√3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是（ ） A ．9π2B ．9√2πC ．18πD ．40π6．（2020九江高三一模）在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =DD 1=1，AB =√3，E,F,G 分别是棱AB,BC,CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则三角形PBB 1面积的最小值为（ ） A ．√32B ．1C ．√34D ．127．（2020·浙江高三期末）在三棱锥P ABC -中，PA PB PC AB AC BC =====，点Q 为ABC ∆ 所在平面内的动点，若PQ 与PA 所成角为定值θ，π(0,)4θ∈，则动点Q 的轨迹是 A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．（2020·上海格致中学高三月考）在正方体''''ABCD A B C D -中,若点P (异于点B )是棱上一点,则满足BP 与AC '所成的角为45︒的点P 的个数为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．69.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥P −ABC ，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．α>βB ．α=βC ．α<βD ．不能确定10．（2020·湖南长郡中学高三（理））在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57πC ．63πD ．84π二、填空题11．（2020·浙江高三期末）在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB u u u v u u u v λ=，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当1233λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________．12．（2020·江苏高三（理））如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．13.如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 为AA 1，AB 的中点，M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M//平面CD 1E ，则M 点的轨迹长度为______．14．（2020·上海复旦附中高三期中）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长等于1，60ABC ∠=o ，O 和1O 分别是上下底面对角线的交点，H 在线段1OB 上，13OH HB =，点M 在线段BD 上移动，则三棱锥11M C O H -的体积最小值为______.15．（2020·湖北高考模拟（理））如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，1AB BC AD 12===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P-ABCEF 的体积的取值范围为______．。