高等数学11-2答案A200906

2．
z r 3 (2 s i n2 c o s s i n3 c o s 3 2 s i n c o s 2 ) 。
4．
dz 3 12t 2 。 dt 1 9t 2 24t 4 16t 6
5． 6．
dz e x (1 x) 。 dx 1 x 2 e 2 x
答案与提示
第七章 多元函数微分学
§ 1 多元函数的极限与连续 1． （1）0； （2）2； （3）0； （4）不存在； （5）0； （6）不存在； （7）0； （8）不存在。 8 2． （1） ln 2 ； （2）0； （3） ； （4）0。 5 3． （1）不连续； （2）不连续； （3）连续。 4． （1）当 x m 且 y n （ m, n Z ）时连续； （2）当 x 2 y 2 1 时连续； （3）除点 (a, b) 外都连续。 5． （1）当 | x || y | 时连续； （2）除点 (0, 0) 外都连续。 § 2 全微分与偏导数
（3）
2z ， cos xf1 sin 2 xf11 2 x
2z ， sin x sin yf12 xy
2z ； cos yf 2 sin 2 yf 22 2 y
（4）
2z 4 xy 3 f12 y 4 f 22 ， 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 x 2
x 2 x y2 （2） J y x2 y2 y x y2 x 2 x y2
2
xdx ydy du x 2 y 2 ， 。 dv ydx xdy x2 y2
（3）
（4）
z z x xy y (ln x 1) ， x xy 1 ln x 。 x x

2011－2012学年第二学期期末考试《高等数学（下）》试卷(B)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班.评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）。

【 】1.设有直线L :111123x y z -+-==及平面π:231x y z ++=,则直线L (A)平行于π (B)在π内 (C)垂直于π (D)与π斜交 【 】2.锥面z =与柱面22z x =的交线在xoy 面的投影为(A)22(1)1x y -+= (B)22(1)1x y -+≤ (C)220,(1)1z x y =-+= (D)220,(1)1z x y =-+≤【 】3.设函数),(y x z z =由方程334z xyz +=确定,则(1,1,1)zx ∂∂的值为(A)2- (B)12-(C)12(D)2 【 】4.函数),(y x f z =在点(,)x y 处偏导数,z zx y∂∂∂∂存在是函数在该点可微的 (A)必要条件 （B)充要条件(C)充分条件 (D)既非充分也非必要条件 【】5.将二次积分10(,)xdx f x y dy ⎰⎰转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)⎰⎰110),(ydx y x f dy (B)⎰⎰xdx y x f dy 010),(__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2(C)⎰⎰ydx y x f dy 010),( (D)⎰⎰110),(dx y x f dy【 】6.设L 为圆224x y +=(逆时针方向),则(2)(3)Lx y dx y x dy +++=⎰(A)3π (B)2π (C)2π- (D)4π【 】7.下列级数中,发散的级数是(A)n ∞= (B)1(1)2n nn ∞=-∑ (C)2111n n ∞=+∑ (D)1(1)1nn n ∞=-+∑ 【 】8.幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛域为(A)(3,3)- (B)[3,3)- (C)[3,3]- (D)(3,3]-【 】9.若二阶齐次线性微分0)()(=+'+''y x q y x p y 有特解:x e y =1,x e y -=2,13+=x e y ,x e y -=24,21,C C 是两个任意常数, 则该方程的通解可表为(A)121++x x e C e C (B)x x e C e C --+221 (C)x x e C e C -+21 (D)x x xe C e C -+21 【 】10.微分方程x xe y y y -=+'-''23的一个特解应具有形式(,a b 为常数) (A)xe b ax -+)( (B)xe bx ax -+)(2(C)x ae - (D)axe-二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分）1.设点)2,1,1(A 及点)3,2,0(B ,则=||AB _______;向量AB 与x 轴的夹角为α,则方向余弦=αcos ___________.2.设yz x =,则dz =_______________________________.3.函数22(,)f x y x xy =+在点(1,1)P 处方向导数的最大值为________________. 4.设L 是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则(2)Lx y ds +=⎰_____________.5.函数1()2f x x=-展开成x 的幂级数为 .《高等数学(下)》试卷 (B) 第 3 页 共6页三、计算题(共7小题,每小题6分,共42分)1.已知曲线2,21y x z x ==+上一点(1,1,3)M ,(1)求曲线在M 点处的一个切向量;(2)求曲线在M 点处的切线及法平面方程.2.求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值.43.平面薄片的面密度为22(,)x y x y μ=+,所占的闭区域D由上半圆周y =及x 轴所围成,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydxdz zdxdy ∑++⎰⎰ ,其中∑为平面0z =和3z =及圆柱面221x y +=所围立体的整个表面的外侧.《高等数学(下)》试卷 (B) 第 5 页 共6页5.设曲线通过(0,2)点,且曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率等于2xy ,求该曲线的方程.6.求微分方程x e y y y 22=+'-''的通解.7.判断级数211(1)3n n n n ∞-=-∑是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？6四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)要造一个体积为定数K 的长方体集装箱,应如何选择其尺寸,方可使它的表面积最小?2.(7分)设在xoy 平面有一变力(,)()()F x y x y i x y j →→→=++-构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点(1,1)A 移动到点(2,3)B 时场力所作的功.《高等数学（下）》试卷(B)参考答案及评分标准一. 选择题(每小题3分,共30分).二.填空题(每小题3分,共15分).(1)||AB = ;cos 3γ= (2)1ln y ydz yx dx x xdy -=+ (3)《高等数学(下)》试卷 (B) 第 7 页 共6页(5)101,222nn n x x ∞+=-<<∑ 三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6分)(1)2,2x x y x z ==, 曲线在点(1,1,3)M 处的一个法向量(1,2,2)T =,……………（2分）(2)在点(1M 的切线方程为113122x y z ---== …………………………………（2分） 法平面方程为 (1)2(1)2(3)0x y z -+-+-= 即2290x y z ++-= …………………………………………………………………（2分） 2.(6分)262,3120x y f x f y =-=-=,令0,0,x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩,得驻点(3,2),(3,2)- …………………（2分）2,0,6xx xy yy f f f y =-==,有(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xx xy yy A f B f C f ==-====2240,AC B -=-< 所以(不是极值点 ……………………………………………………………………………（2分） 而(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xx xy yy A f B f C f =-=-=-==-=-2240,AC B -=> 所以(3-为极大值点,极大值为(3,f -= ……………………………………………………（2分）83.(6分)平面薄片的质量22(,)(1)DDM x y dxdy x y dxdy μ==++⎰⎰⎰⎰ ……………………（2分）220d d πθρρρ=⋅⎰⎰ ……………………………………（2分）4201[]44πρπ== …………………………………（2分）4.(6分)空间区域Ω由220,3,1z z x y ==+=所围成,由高斯公式,有 原式⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dv zR y Q x P )((111)dv Ω=++⎰⎰⎰ …………………………（3分） 3dv Ω=⎰⎰⎰23139ππ=⋅⋅⋅= ……………………（3分）5.(6分)设所求曲线为)(x y y =,由题意得,2y xy '=,(0)2y =, ………………（2分）分离变量,12dy xdx y=,积分,21ln y x C =+, 所以通解为 2x y Ce = ………………………………………………………………（2分）由(0)2y =,得2C =,从而所求曲线为22x y e = ……………………………………（2分）6.(6分) 对应的齐次方程02=+'-''y y y 的特征方程为0122=+-r r , 得特征根121==r r ,则对应的齐次方程的通解为x e x C C y )(21+= …………………………………………………（2分）对于非齐次方程xe y y y 22=+'-'',1=λ为0122=+-r r 的二重根,2)(=x P ,设其特解为x e x Q y )(*=,其中2)(ax x Q =,a 为待定系《高等数学(下)》试卷 (B) 第 9 页 共6页数, ……………………………………（2分）)(x Q 满足)()(x P x Q ='',即22=a ,所以1=a , 从而2)(x x Q =,特解x e x y 2*=,故原方程的通解为x x e x e x C C y 221)(++=.………………………………………………………（2分）7.(6分) 由于22111(1)33n n nn n n n ∞∞-==-=∑∑， 而212(1)1lim lim 33n n n nu n u n +→∞→∞+==，则211(1)3n n n n ∞-=-∑收敛，………………………………………………（3分） 从而211(1)3n n n n ∞-=-∑也收敛，且为绝对收敛. ……………………………………………………（3分）四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)设该集装箱的长,宽,高为z y x ,,,由题意知xyz K =,则Kz xy=,容器的表面积2222222()2K K K A xy yz xz xy x y xy xy x y=++=++=++,0,0>>y x ……………（3分）令22220220x y K A y x K A x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩, 解得驻点x K==……………………………………………………（2分） 因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当x y z ===,容器的表面积最小,从而用料最省. ……………………………………………………………………………………………（1分）2.(7分)证明: (1)(,)P x y x y =+,(,)Q x y x y =-,10由于在xoy 面内,1P Q y x ∂∂==∂∂恒成立,且,P Qy x∂∂∂∂连续, 故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ………………………………………………（4分）(2)质点从点(1,1)A 移动到点(2,3)B 时场力所作的功(与路径无关) ,路径L 可取折线段B C C A →→,,其中点(2,1)C ,从而(2,3)(2,3)(1,1)(1,1)W F dr Pdx Qdy =⋅=+⎰⎰(2,1)(1,1)()()x y dx x y dy =++-⎰+(2,3)(2,1)()()x y dx x y dy ++-⎰23115(1)(2)2x dx y dy =++-=⎰⎰ …………………………………（3分）。

2009级高等数学（下）试卷（A 卷2009.6）校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、曲面z x y =+22是（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面答：（）2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001sin1cos ),(xy xy xy y x y x f ，则极限lim (,)x y f x y →→00= 。

(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2答（）3、设u x x y =+arcsin22则∂∂u x= (A)x x y 22+(B)-+y x y 22(C) y x y22+ (D) -+x x y22答（ ）4、用格林公式计算，其中C 为圆周x 2+y 2=R 2,其方向为逆时针方向。

则得答( )二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n则此级数的通项=n u 。

2、设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是 。

3、已知向量 a 与{} c =-474,,方向相反，且 a =27，则a = ______ 。

4、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=++2323222在点(,,)πππ646-处的切平面方程是______。

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。