2020年天津市南开区学业水平考试(6月份)数学试题(附解析)

2020年天津市南开区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣5）﹣3的结果等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．sin45°的值等于（）A．B．C．D．13．下列表示天气的图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．据国家统计局全国农村贫困监测调查，按现行国家农村贫困标准测算，2018年末，全国农村贫困人口1660万人，比上年末减少13860000人．将13860000用科学记数法表示为（）A．0.1386×108B．1.386×107C．13.86×106D．1386×1045．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．估计2的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．计算+1的结果为（）A．B．C．D．8．若关于x，y的方程组的解是，则mn的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知在反比例函数y＝上有两个点A（x A，y A），B（x B，y B），若x A＜0＜x B，则下列结论正确的是（）A．y A+y B＜0 B．y A+y B＞0 C．y A＜y B D．y A＞y B10．某同学记录了一个秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系，如图所示，则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为（）A．0.7s B．1.4s C．2.8s D．5.4s11．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一个动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝2，BC＝5，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．不确定，随点E位置的变化而变化12．如图，一段抛物线y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象．垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），且x1，x2，x3均为正数，设t＝x1+x2+x3，则t的最大值是（）A．15 B．18 C．21 D．24二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：（﹣3a）2a3＝．14．（3分）化简：（）÷的结果是．15．（3分）已知直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是．16．（3分）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC＝30°，则射击到靶中阴影部分的概率是．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．（3分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．（Ⅰ）线段CD的长等于；（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在某中学举行的一次知识竞赛活动中，每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为；（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝；（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数；（Ⅳ）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．21．已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（Ⅰ）如图①，点P在线段OA上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小．22．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的85%收费；在乙商场累计购物金额超过400元后，超出400元的部分按75%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞400．（Ⅰ）根据题意，填写如表（单位：元）：累计购物实际花费500 700 (x)在甲商场425 …在乙商场625 …（Ⅱ）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（Ⅲ）“五一”节期间，小红如何选择这两家商场去购物更省钱？24．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）25．如图所示，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，4），抛物线y＝+bx+c经过点B，且顶点在直线x＝3上．（Ⅰ）求抛物线对应的函数关系式；（Ⅱ）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别是D、C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接BD．已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O，B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM，PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．2020年天津市南开区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】将减法转化为加法，再根据加法法则计算可得．【解答】解：（﹣5）﹣3＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．2．【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．3．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将13 860 000用科学记数法表示为：1.386×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得：有3列小正方形第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时不但要具有丰富的数学知识，而且还应有一定的生活经验．6．【分析】根据的取值范围进行估计解答．【解答】解：∵2.6＜＜2.7，∴5＜＜6，故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．7．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式＝＝，故选：B．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8．【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把未知数的值代入方程组求出m、n的值，根据有理数的乘法法则进行计算即可．【解答】解：把代入方程组中，可得：，解得：m＝﹣1，n＝2，所以mn＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和有理数的乘方，掌握能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解是解题的关键，注意有理数的乘法法则的正确运用．9．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中的k＝﹣1＜0，∴反比例函数y＝﹣的图象经过第二、四象限．∵x A＜0＜x B，∴点A（x A，y A）在第二象限，则y A＞0，点B（x B，y B）在第四象限，则y B＜0，∴y A＞y B，故选：D．【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．10．【分析】结合荡秋千的经验，秋千先从一端的最高点下落到最低点，再荡到另一端的最高点，再返回到最低点，最后回到开始的一端，符合这一过程的即是0～2.8s，由此即可得出结论．【解答】解：观察函数图象，可知：秋千摆动第一个来回需2.8s．故选：C．【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．【分析】由△AEH∽△ACD，找到EH和AH关系，从而得到FG和AG关系，根据tan∠AFE ＝tan∠FAG求解．【解答】解：∵EH∥CD，∴△AEH∽△ACD．∴．设EH＝2x，则AH＝5x，∴HG＝GF＝2x．∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质、解直角三角形，解题的关键是转化角进行求解．12．【分析】先求出旋转后函数的顶点和对称轴，再由垂直于y轴的直线l与新图象相交，所以交点的横坐标关于对称抽对称，得到x1+x2＝12，再结合0≤x3≤6即可求t的最大值．【解答】解：由已知可得：A1（3，0），D1（0，9），将C1绕点A1旋转180°后，得到：D2（6，﹣9），新函数的对称轴为x＝6，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点关于对称轴x＝6对称，∴x1+x2＝12，∵垂直于y轴的直线l与线段D1D2交于点P3（x3，y3），∴0≤x3≤6，∴t＝x1+x2+x3＝12+x3，当x3＝6时，t有最大值18．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象的旋转．解题中找到旋转后的对称轴和顶点坐标是解题的关键，能够根据点的对称性将三个变量的关系转化为一个变量是解题的突破点．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．【解答】解：（﹣3a）2a3＝9a2•a3＝9a5．故答案为：9a5．【点评】此题主要考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．14．【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【解答】解：原式＝＝×＝．【点评】此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算．15．【分析】根据一次函数y＝kx+b的系数与图象的关系解答．【解答】解：∵直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，∴k＜0．∴该直线解析式可以是y＝﹣x+1．故答案是：y＝﹣x+1（答案不唯一）【点评】考查了一次函数的性质．k＞0，该函数图象经过第一、三象限；k＜0，该函数图象经过第二、四象限．16．【分析】先利用圆周角定理证四边形ABCD是矩形，据此可得阴影部分面积＝S扇形AOD+S，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是，从而得出答案．扇形BOC【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，则S△COD＝S△AOD，S△AOB＝S△BOC，∴阴影部分面积＝S扇形AOD+S扇形BOC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝∠AOD＝60°，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了几何概率；本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D ＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF ＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．18．【分析】（Ⅰ）由勾股定理求解可得．（Ⅱ）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝2．故答案为：2；（Ⅱ）如图，1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握勾股定理、圆周角定理、矩形的判定与性质等知识点．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】（I）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；（II）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；（III）在数轴上表示出来即可；（IV）根据数轴得出即可．【解答】解：（I）解不等式①得：x＜3，故答案为：x＜3；（II）解不等式②得：x≥1，故答案为：x≥1；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：；（IV）原不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．20．【分析】（Ⅰ）根据一班的成绩，利用条形统计图的信息解决问题即可．（Ⅱ）根据百分比之和为100%，计算即可．（Ⅲ）根据平均数的定义计算即可．（Ⅳ）根据众数，中位数的定义判断即可．【解答】解：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为5+10+2+3＝20（人）；故答案为20人．（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝100﹣25﹣35﹣30＝10；故答案为10．（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数＝＝88.5．（Ⅳ）二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为100分，80分．【点评】本题考查众数，加权平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（Ⅰ）连接OQ，根据圆周角定理求出∠BQA，根据切线的性质得到∠OQE＝90°，结合图形计算，得到答案；（Ⅱ）连接OQ，根据切线的性质得到∠OQE＝90°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OQ，∵OA⊥OB，∴∠BOA＝90°，由圆周角定理得，∠BQA＝∠BOA＝45°，∵QE为⊙O的切线，∴∠OQE＝90°，∴∠OQB＝90°﹣∠BQA﹣∠AQE＝17°，∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB＝17°；（Ⅱ）如图②，连接OQ，∵QE为⊙O的切线，∴∠OQE＝90°，∴∠OQA＝90°﹣∠AQE＝62°，∵OA＝OQ，∴∠OAQ＝∠OQA＝62°，∴∠AOQ＝180°﹣62°×2＝56°，∵OA⊥OB，∴∠BOA＝90°，∴∠BOQ＝90°﹣56°＝34°，∴∠OBQ＝（180°﹣34°）÷2＝73°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．【分析】（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（Ⅱ）分别求出PA、PB的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间，即可作出判断．【解答】解：（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠BPE＝36.8°，∠EPA＝45°，设PE为x海里，则AE＝PE＝x海里，∵AB＝150海里，∴BE＝（150﹣x）海里，在Rt△PBE中，，即：解得：x≈64，∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为64海里；（Ⅱ）在Rt△PBE中，PE＝64海里，∠EPA＝45°，则AP＝PE＝64≈110.5海里，A船需要的时间为：110.5÷40≈2.76小时，在Rt△BAE中，，∴BP＝PE÷cos∠BPE＝64÷0.8＝80海里，∴B船需要的时间为：80÷30≈2.67小时，∵2.76＞2.67，∴B船先到达．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．23．【分析】（Ⅰ）根据两种购买方案即可求解；（Ⅱ）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解；（Ⅲ）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解．【解答】解：（Ⅰ）700×85%＝595（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.85x （元）；400+（500﹣400）×75%＝475（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是400+（x ﹣400）×75%＝0.75x+100．故答案是：595；0.85x；475；0.75x+100；（Ⅱ）根据题意，有0.85x＝0.75x+100，解得x＝1000，∴当x＝1000时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．（Ⅲ）由0.85x＜0.75x+100，解得x＜1000．由0.85x＞0.75x+100，解得x＞1000．∴当小红累计购物的金额超过1000时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物的金额不超过1000元时，在甲商场购物更省钱．【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出方程或不等式，进行求解．24．【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；【解答】解：（1）∵CD＝6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y＝x﹣1上，∴2a+2＝a﹣1，解得a＝﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y＝x﹣1上时，∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，解得a＝﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y＝x﹣1上，∴4＝a﹣1，解得a＝5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y＝x﹣1上，∴﹣4＝﹣a﹣1，解得a＝3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，∴NM′＝＝2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2＝GM′2，∴22+（2+m）2＝m2，解得m＝﹣，∴P（﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG＝∠M′GR，推出M′R＝M′G＝GM，设M′R＝M′G＝GM＝x．∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2＝22+（x﹣1）2，解得x＝，∴P（﹣，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，可求出b，c的值，进而可得出抛物线对应的函数关系式；（II）由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，结合菱形的性质可得出点D，C的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出：点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上；（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，由点B的坐标结合抛物线的对称性可得出点B′的坐标，由点B′，D的坐标利用待定系数法可求出直线B′D的函数关系式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，由MN∥BD可得出ON＝t，利用三角形的面积公式结合S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，可得出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（I）∵抛物线y＝+bx+c经过点B（0，4），且顶点在直线x＝3上，∴，解得：，∴抛物线对应的函数关系式为y＝x2﹣3x+4．（II）点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上，理由如下：∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．∵四边形ABCD是菱形，∴点D的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，4）．当x＝2时，y＝x2﹣3x+4＝0，∴点D在该抛物线上；当x＝5时，y＝x2﹣3x+4＝≠4，∴点C不在该抛物线上．（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，如图2所示．∵点B的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点B′的坐标为（6，4）．设直线B′D的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），将B′（6，4），D（2，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线B′D的函数关系式为y＝x﹣2．当x＝3时，y＝x﹣2＝1，∴点P的坐标为（3，1）．∵MN∥BD，∴＝＝，∴ON＝OM＝t．∴S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，＝（OM+PQ）•OQ﹣OM•ON﹣PQ•NQ，＝（t+1）×3﹣•t•t﹣×1×（3﹣t），＝﹣t2+t，∴S＝﹣t2+t（0＜t＜4）．∵S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，﹣＜0，∴当t＝时，S取得最大值，最大值为，此时点M的坐标为（0，）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理、菱形的性质、平行线分线段成比例以及三角形的面积，解题的关键是：（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出b，c的值；（II）利用菱形的性质，求出点C，D的坐标；（III）利用分割图形求面积法，找出S关于t的函数关系式．。

2023-2024学年天津市南开区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列x的取值中，可以使有意义的是（）A．13B．10C．7D．42．（3分）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）A．5，12，13B．6，8，12C．3，4，6D．8，15，163．（3分）直线y＝﹣x﹣2不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）的倒数是（）A．B．C．D．5．（3分）一个四边形的四边长依次为a，b，c，d，且（a﹣c）2+|b﹣d|＝0，则这个四边形一定（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．（3分）骑行某共享单车前a公里1元，超过a公里的，按每公里2元收费，若要使骑行该共享单车的50%的人只花1元钱，那么a应该取所收集数据的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数7．（3分）将直线向上平移3个单位长度，得到新的直线解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列判断正确的是（）A．乙的最好成绩比甲高B．甲的成绩的平均数比乙大C．乙的成绩比甲稳定D．甲的成绩的中位数比乙大9．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24．则图中阴影部分的面积为（）A．14B．C．7D．10．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若，BC＝2，则DE的长为（）A．B．1C．D．211．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴负半轴于点C，连接BC；②分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D；③连接DA并延长，交y轴于点E．则下列结论中错误的是（）A．点A的坐标为（﹣6，0）B．点B的坐标为（0，8）C．点C的坐标为（﹣16，0）D．点E的坐标为（0，﹣8）12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B在x轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，直线AB，BC的解析式分别为y1＝﹣2x+a和y2＝kx+b（其中a，k，b均为常数）．有下列结论：①点B的坐标为（2，0）；②方程组的解为；③不等式﹣2x+a≥kx+b的解集为x≥2；④若点P（4，m），点Q（4，n）分别在直线y1＝﹣2x+a和y2＝kx+b上，则n﹣m+b＝4．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）13．（3分）直线y＝kx（k≠0）过点（﹣4，2），则k的值为．14．（3分）计算的结果为．15．（3分）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝200°，则∠B为（度）．16．（3分）如图，边长为1的正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径画弧与数轴交于点D，则点D表示的数为．17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，点F在边AD的延长线上，且BE＝DF＝．点M，N分别在边AD，BC上，MN与EF交于点P，且∠MPF＝45°，则MN的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形ABCD 的顶点A，D均在格点上，B，C均在网格线上．（Ⅰ）线段AD的长为；（Ⅱ）在直线CD上找一点P，连接BP，使得BP平分∠ABC．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）．20．（8分）某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填空：a的值为，图①中的m值为；（Ⅱ）求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数．21．（6分）如图，正方形ABCD中，点F为CD的中点，点E为BC上一点，且，设CE的长为a（a＞0）．（Ⅰ）用含有a的式子表示AF和EF；（Ⅱ）求∠AFE的大小．22．（8分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得BF＝FE，连接CE，DE．（Ⅰ）如图1，求证：四边形OCED为矩形；（Ⅱ）如图2，若∠EBD＝15°，BE＝16，连接DF．求：△BED的面积和菱形ABCD的面积．23．（8分）已知甲、乙、丙三地依次在一条直线上，丙地距离甲地480km，乙地距离甲地300km．张师傅驾车从甲地出发匀速行驶了5h到达乙地，在乙地休整了1h，然后继续以原来的速度匀速行驶到达丙地．当张师傅从甲地出发时，王师傅驾车从丙地出发匀速行驶到达甲地后，立即以原速返回丙地，结果他比张师傅提前1h到达丙地．给出的图象反映了这个过程中两位师傅离甲地的距离y（单位：km）与他们行驶的时间x（单位：h）之间的对应关系．请结合相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：张师傅行驶的时间（单位：h）156a＝张师傅离甲地的距离（单位：km）300300480（Ⅱ）请直接写出王师傅离甲地的距离y（单位：km）与他行驶的时间x（单位：h）之间的函数解析式；（Ⅲ）填空：①在王师傅返回丙地的过程中，他与张师傅相遇时距离乙地km；②两位师傅从出发到张师傅到达丙地的整个过程中，他们相距100km时，x为（h）．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的顶点A（6，0），B（10，0），D（0，6），矩形OBEF的顶点．（Ⅰ）如图1，EF与AD，BC交于点G，H．①直接写出直线BC的解析式和点H的坐标；②求证：四边形ABHG为菱形；（Ⅱ）如图2，将矩形OBEF沿水平方向向右平移，得到矩形O′B′E′F′，点O，B，E，F的对应点分别为O′，B′，E′，F′．设OO′＝t（t＞0），矩形O′B′E′F′与平行四边形ABCD重合部分图形的周长为L．①在平移过程中，当矩形O′B′E′F′与平行四边形ABCD重合部分为四边形时，直接用含有t的式子表示L，并直接写出t的取值范围；②如图3，若F′O′的中点为M，矩形O′B′E′F′对角线的交点为N，连接MA，NB．在平移过程中，当MA+NB最小时，直接写出此时L的值．2023-2024学年天津市南开区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．【解答】解：∵要使根式有意义，∴6﹣x≥0，解得：x≤6，故它的值可以为：4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2．【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．【解答】解：A、52+122＝132，故选项A符合题意；B、62+82≠122，故选项B不符合题意；C、32+42≠62，故选项C不符合题意；D、82+152≠162，故选项D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．【分析】直接根据一次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣2中，k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，∴此函数的图象在二、三、四象限．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b ＜0时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键．4．【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣的倒数是﹣；故选：D．【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．5．【分析】根据（a﹣c）2+|b﹣d|＝0这个方程可求出四边的关系，即对边相等，从而判断四边形形状．【解答】解：∵（a﹣c）2+|b﹣d|＝0，∴a＝c，b＝d．∴这个四边形是平行四边形．故选：A．【点评】本题考查绝对值和偶次幂，掌握平行四边形的判定是解题的关键．6．【分析】由于要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：要使骑行该共享单车的50%的人只花1元钱，即要一半的人骑行该共享单车只花1元钱，只要知道骑行该共享单车的人骑行路程的中位数即可．故选：D．【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．7．【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．【解答】解：将直线向上向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为：将直线y＝x+1．故选：B．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．8．【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．【解答】解：甲同学的成绩依次为：8、9、8、7、8，从小到大依次排列为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、10、8、9，从小到大依次排列为：6、7、8、9、10，乙的最好成绩比甲高，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A．【点评】本题考查了折线统计图，方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数，平均数．9．【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3﹣S1＝S2求出S2＝14，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，S2＝S3﹣S1＝24﹣10＝14，∴S2＝14，由图形可知，阴影部分的面积＝S2，∴阴影部分的面积＝7，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键．10．【分析】由翻转变换的性质得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠CBD，得到EB＝ED，设DE＝x，根据勾股定理列方程，解方程即可．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠EBD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，设DE＝x，则BE＝x，AE＝2﹣x，在Rt△ABE中，x2＝（）2+（2﹣x）2，解得x＝，故选：C．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解答本题的关键要明确翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．【分析】如图，设AD交CB于点K．根据直线AB的解析式，求出A，B两点坐标，再根据AB＝AC＝5，判断出点C的坐标，再利用相似三角形的性质求出BE可得结论．【解答】解：如图，设AD交CB于点K．∵直线与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（﹣6，0），B（0，8），故选项A，B正确．∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，由作图可知DE垂直平分线段BC，∴AC＝AB＝10，∴OC＝10+6＝16，∴C（﹣16，0），故选项C正确．∴BC＝＝＝8，∴CK＝DK＝4，∵∠COB＝∠EKB＝90°，∠CBO＝∠EBK，∴△COB∽△EKB，∴＝，∴＝，∴BE＝20，∴OB＝BE﹣OB＝20﹣8＝12，∴E（0，﹣12）．故选项D错误．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，一次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12．【分析】把点A（0，4）代入y1＝﹣2x+a得a＝4，求得y1＝﹣2x+4，当y＝0时，得到B（2，0），故①正确；根据两直线的交点坐标即为方程组的解得到，故②错误；根据函数的图象得到不等式﹣2x+a≥kx+b的解集为x≤2，故③错误；把B（2，0）代入y2＝kx+b得2k+b＝0，求得y2＝﹣x+b，把点P（4，m），点Q（4，n）分别代入y1＝﹣2x+4和y2＝﹣x+b，得到m＝﹣4，n＝﹣b，于是得到n﹣m+b＝﹣b+4+b＝4，故④正确．【解答】解：（1）把点A（0，4）代入y1＝﹣2x+a得a＝4，∴y1＝﹣2x+4，当y＝0时，0＝﹣2x+4，∴x＝2，∴B（2，0），故①正确；∵直线AB，BC的解析式分别为y1＝﹣2x+a和y2＝kx+b交于B，∴方程组的解为，故②错误；∵当x≤2时，y1＝﹣2x+a的图象在y2＝kx+b的上面，∴不等式﹣2x+a≥kx+b的解集为x≤2，故③错误；把B（2，0）代入y2＝kx+b得2k+b＝0，∴k＝﹣，∴y2＝﹣x+b，∵点P（4，m），点Q（4，n）分别在直线y1＝﹣2x+4和y2＝﹣x+b上，∴m＝﹣4，n＝﹣b，∴n﹣m+b＝﹣b+4+b＝4，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，正确地理解题意是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）13．【分析】将点（﹣4，2）代入直线y＝kx中，即可求出答案．【解答】解：将点（﹣4，2）代入直线y＝kx中，即2＝﹣4k，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，理解点在直线上的定义是解题的关键．14．【分析】应用平方差公式计算即可．【解答】解：，故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式等知识，解题的关键是掌握平方差公式的应用．15．【分析】根据平行四边形的对角相等即可得出∠B的度数．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠B+∠D＝200°，∴∠B＝∠D＝100°，故答案为：100．【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．16．【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．【解答】解：由勾股定理知：PB＝＝＝，∴PD＝，∴点D表示的数为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理和实数与数轴，得出PD的长是解题的关键．17．【分析】连接CF、CE，先求出CF的长度，再判定四边形CFMN是平行四边形，得出．【解答】解：如图，连接CF、CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠ADC＝90°，FM∥CN，∴∠CDF＝90°，∵AE＝AB﹣BE＝，AF＝AD+DF＝，∴＝＝，同理可求：，EF2＝AF2+AE2＝＝36，∴CE＝CF，CF2+CE2＝EF2，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝∠MPF＝45°，∴CF∥MN，∴四边形CFMN是平行四边形，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握勾股定理是解题的关键．18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；构造等腰三角形CBP即可；（Ⅱ）构造等腰三角形CBP即可．【解答】解：（Ⅰ）AD＝＝5．故答案为：5；（Ⅱ）如图，连接AC，BD交于点O，在AB的延长线上取一点T，使得AT＝5，连接TO，延长TO交直线CD于点P，点P即为所求．由△AOT≌△COP，得到CP＝AT＝5，∵BC＝＝5，CP＝5，∴BC＝CP，∴∠P＝∠CBP，∵AB∥CP，∴∠P＝∠ABP，∴∠ABP＝∠CBP，即BP平分∠ABC．故答案为：如图，连接AC，BD交于点O，在AB的延长线上取一点T，使得AT＝5，连接TO，延长TO交直线CD于点P，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】（Ⅰ）先去括号，再把各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；（Ⅱ）先算乘方，除法，再算加减即可．【解答】解：（Ⅰ）＝++﹣＝2+2+﹣＝3+；（Ⅱ）＝4﹣（6+3+2）＝4﹣（9+6）＝4﹣9﹣6＝﹣9﹣2．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．20．【分析】（Ⅰ）根据生产120个零件的人数是4人，占调查人数的20%，即可求出a的值，进而求出生产130个零件的工人所占的百分比，确定m的值；（Ⅱ）根据加权平均数、中位数、众数的计算方法进行计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝4÷20%＝20，∵m%＝5÷20×100%＝25%，∴m＝25；故答案为：20，25；（Ⅱ）由条形统计图中的数据可得，平均数为＝124，车间工人生产零件数量出现次数最多的是130个，共有5人，因此众数是130，将这20名工人生产零件数从小到大排列，第10个和第11个数分别是120和130，因此中位数是＝125，答：这组工人加工零件数据的平均数是124、众数是130和中位数是125．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．21．【分析】（1）由正方形的性质得AD＝CD＝BC＝4a，∠C＝∠D＝90°，由勾股定理得EF＝，AF＝，即可求解；（2）连接AE，由勾股定理得AE2＝AB2+CE2＝25a2，可得EF2+AF2＝AE2，即可求解．【解答】解：（1）∵CE＝BC，CE＝a∴BC＝4a，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝4a，∠C＝∠D＝90°，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝2a，∴EF＝＝＝a，AF＝＝＝2a，∴EF＝a，AF＝2a；（2）如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由（1）得AB＝4a，∴BE＝BC−CE＝3a，∴AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，由（1）得：EF2＝5a2，AF2＝20a2，∴EF2+AF2＝AE2，∴△AFE是直角三角形，∴∠AFE＝90°．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．22．【分析】（Ⅰ）由菱形的性质得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，再证明OF是△BDE的中位线，得OF ∥DE，OF＝DE，则OC＝DE，然后证明△OCED是平行四边形，即可得出结论；（Ⅱ）过点D作DG⊥BE于点G，由矩形的性质得OC＝DE，∠ODE＝90°，再由三角形的外角性质得∠DFG＝∠FDB+∠EBD＝30°，则DG＝DF＝4，进而由勾股定理得FG＝4，DE＝4﹣4，BD＝4+4，然后由三角形面积公式和菱形面积公式列式计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵F是OC的中点，∴OF是△BDE的中位线，OF＝CF＝OC，∴OF∥DE，OF＝DE，∴OC＝DE，∴△OCED是平行四边形，又∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED为矩形；（Ⅱ）解：如图2，过点D作DG⊥BE于点G，则∠DGF＝∠DGE＝90°，∵BF＝FE，BE＝16，∴BF＝FE＝8，由（1）可知，四边形OCED是矩形，∴OC＝DE，∠ODE＝90°，∴DF＝BE＝BF＝8，∴∠FDB＝∠EBD＝15°，∴∠DFG＝∠FDB+∠EBD＝30°，∴DG＝DF＝4，∴FG＝＝＝4，∴EG＝FE﹣FG＝8﹣4，∴DE＝＝＝4﹣4，∴OC＝DE＝4﹣4，∴AC＝2OC＝8﹣8，BD＝＝＝4+4，∴△BED的面积＝BD•DE＝×（4+4）（4﹣4）＝32，菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×（4+4）（8﹣8）＝64．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】（Ⅰ）由图象可得张师傅驾车的速度为300÷5＝60（km/h），即可求解；（Ⅱ）设王师傅驾车的速度为bkm/h，由等量关系式：张师傅所用的时间﹣王师傅所用的时间＝1h，可求出王师傅的速度，分段当0≤x＜4时，当4≤x≤8时，列出函数关系式，即可求解；（Ⅲ）①由待定系数法可求王师傅回来时的直线关系式为y＝120x﹣480，张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为y＝60x﹣60，联立即可求解；②分阶段讨论当0≤x≤时，当＜x≤4时，当4＜x≤6时，当6＜x≤9时，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：由题意得张师傅驾车的速度为300÷5＝60（km/h），当x＝1时，60×1＝60（km），∴a ＝+1＝9（h ）；故答案为：60，9．（Ⅱ）设王师傅驾车的速度为b km /h ，则有+1﹣×2＝1，解得：b ＝120，经检验：b ＝120是所列方程的解，且符合实际意义，∴＝4（h ），∴×2＝8（h ），当0≤x ＜4时，y ＝480﹣120x ，当4≤x ≤8时，y ＝120（x ﹣4）＝120x ﹣480，＝120x ﹣480，∴y ＝．（Ⅲ）①设王师傅回来时的直线关系式为y ＝kx +b ，经过（4，0），（8，480），则有，解得：，∴y ＝120x ﹣480，同理可求，张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为y ＝60x ﹣60，∴联立得，解得：，360﹣300＝60（km ）．故答案为：60．②60x +120x ＝480，解得：x ＝，当0≤x ≤时，60x +120x +100＝480，解得：x ＝，当＜x≤4时，120x+60x＝480+100，解得：x＝，当4＜x≤6时，300﹣（120x﹣480）＝100，解得：x＝，当6＜x≤9时，480﹣60（x﹣1）＝100，解得：x＝，此时王师傅还没有到达丙地，故舍弃，综上所述：x为或或．故答案为：或或．【点评】本题考查了一次函数的应用，找得等量关系是解题的关键．24．【分析】（1）①B（10，0），C（4，6），利用待定系数法求出BC解析式，将y＝代入函数中，求出点H的坐标；②先证明四边形ABHG是平行四边形，再根据AB＝BH得出四边形ABHG是菱形；（2）①时，重叠部分是菱形ABHG，当＜t≤10﹣时，重叠部分是四边形，分类讨论即可；②当E，N，Q三点共线时，AM+BN取得最小值，此时L的值为：．【解答】解：（1）①∵A（6，0），B（10，0），∴AB＝10﹣6＝4，∵平行四边形ABCD，D（0，6）∴得到AB＝CD＝4，AB∥CD，∴点C与点D的纵坐标相同即C（4，6），设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，故BC的解析式为y＝﹣x+10，∵矩形OBEF的顶点，设点，代入解析式y＝﹣x+10，得，解得，∴点；②过点H作HQ⊥BA于点Q，∵平行四边形ABCD，∴AG∥BH，∵矩形OBEF，∴HG∥AB，∴四边形ABHG为平行四边形，∵，∴，根据勾股定理，得，∵AB＝4，∴AB＝BH，∴四边形ABHG为菱形；（2）①∵A（6，0），D（0，6），设直线AD的解析式为y＝mx+n，，解得，故AD的解析式为y＝﹣x+6，∵矩形OBEF的顶点，设点，代入解析式y＝﹣x+6，得，解得，故点，过点G作GP⊥BA于点P，则，时，重叠部分是菱形ABHG，此时L＝4AB＝16；过点H作HN⊥BA于点N，∵A（6，0），，当＜t≤10﹣时，重叠部分是四边形，此时BO′＝10﹣t，，，BH＝4；此时，∴L＝；②根据题意，得F′O′的中点为M，矩形O′B′E′F′对角线的交点为N，则直线MN是矩形O′B′E′F′的对称轴，∴BN＝EN，∵B（10，0），∴OB＝10，∴O′B′＝10，∴MN＝5，MN∥O′B′，过点N作QN∥MA，交O′B′于点Q，则四边形QNMA是平行四边形，∴AQ＝MN＝5，AM＝NQ，∴BQ＝AQ﹣AB＝1，∴AM+BN＝NQ+NE，∵NQ+NE≥EQ，∴当E，N，Q三点共线时，AM+BN取得最小值，设MN与BE的交点为R，根据题意，得CN＝BN＝NQ，ER＝BR，∴，∴MR＝4.5，∵四边形MO′BR是矩形，∴O′B＝4.5，O′A＝0.5，OO′＝5.5，过点H作HP⊥OB于点P，则四边形F′O′PH是矩形，∴FH＝O′P＝4.5﹣，AB＝BH＝4，∵A（6，0），D（0，6），∴OA＝OD，∴∠OAD＝45°，∴，，此时L 的值为：．【点评】本题考查了一次函数的性质，菱形的性质等，掌握一次函数的性质是解题的关键。

2020年天津市南开区中考数学模拟试卷(三)一、选择题-÷-的结果是（）1.计算62A. 3-B. 3C. 12D. 8【答案】A【解析】【分析】根据有理数的除法法则和求绝对值的法则，即可解答．-÷-【详解】62-÷=62=3-，故选A．【点睛】本题主要考查有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．2.2sin45︒的值为（）D. 1A.2【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：把sin45°.故选C.【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．3.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”即可得．【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意B、是轴对称图形，此项符合题意C、不是轴对称图形，此项不符题意D、不是轴对称图形，此项不符题意故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．4.某市去年完成了城市绿化面积8210000m2，将“8210000m2”用科学计数法可表示（）A. 821×104B. 82.1×105C. 8.21×107D. 8.21×106【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将8210000用科学记数法表示应为8.21×106．故选D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C错误；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确；故选D．【点睛】本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键6.256）A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间【答案】C【解析】【分析】6的取值范围进而得出答案．【详解】解：∵4＜6＜9-＜-2，∴26＜3，∴-3＜62566，∴2＜6＜3，256的值在2和3之间，故选C ．的取值范围是解题关键． 7.分式方程1232x x =-的解为（ ） A. 1x = B. 1x =-C. 25x =D. 25x =-【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】解：去分母得：x-2=6x ，解得：x=-25， 经检验x=-25是分式方程的解．∴原方程的解是：x=-25故选D ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛.如果全队有x 名队员，根据题意下列方程正确的是（ ） A. (1)36x x -= B. (1)36x x +=C.(1)362x x -= D.(1)362x x += 【答案】C 【解析】 【分析】两名队员间进行一场比赛，x 名队员比赛总场数=1(1)2x x -，即可列方程求解． 【详解】解：设有x 名队员，每个队员都要赛（x-1）场，但两人之间只有一场比赛， 故1(1)362x x -=， 故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系为：比赛场数=人数×（人数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．9.反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 312y y y >>D. 231y y y >>【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论. 【详解】解：∵反比例函数ky x=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∵-2<4<5，∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限， ∴23y y <<0，10y > ， ∴132y y y ＞＞.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.10.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C 【解析】 【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n 个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.【详解】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；……∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，故选C.【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.11.一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（）①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答．【详解】解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误．②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．③快车4个小时走了276km，可求出速度为69km/h，错误．④慢车6个小时走了276km，可求出速度为46km/h，正确．⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h ，可得A,B 距离为828km ，正确． ⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误． 故答案选B ．【点睛】本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键． 12.如图是二次函数2y ax bx c=++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误； ∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确． 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．二、填空题13.已知62m a a a ÷=，m 的值为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法的运算法则进行计算，得出关于m 的方程即可详解】∵62m a a a ÷=，∴6m 2a a -= ∴6-m=2，∴m=4 故答案为4【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．14.已知的值为0，则x =____________.【答案】-1． 【解析】【分析】利用分式值为0的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵211x x x-+- 值0∴x 2(x 1-+（））=0且1-x ＞0， 解得：x=2或x=-1，且x ＜1， ∴x=-1， 故答案为-1．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，和二次根式的意义及分式的意义，注意分母不为0是解答此题的关键．15.投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是__. 【答案】536【解析】 【分析】依据题意先用列表法列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：通过列表可知共有6×6=36种可能，每次的可能性都相同，两次朝上的数字的和为6的有5种，所以两次朝上的数字的和为6的概率是536故答案为536【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.已知一次函数1y kx =+（k 为常数，0k ≠），点()11,A y -和点()22,By 是其图象上的两个点，且满足12y y >，写出一个符合条件的k 的值为____________.【答案】-2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性判断出k 的符号，然后写出一个符合要求的k 值即可 【详解】∵点()11,A y -和点()22,B y 是其图象上的两个点，且满足12y y >， ∵-1<2，∴y 随x 的增大而减小， ∴k 0<， ∴k=-2故答案为-2（答案不唯一）【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．这是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合要求即可．17.如图，在ABC V 中，,AB AC D E =、是ABC V 内两点，AD 平分,∠BAC 60︒∠=∠=EBC E ，若9BE cm =，3DE cm =，则BC =____________cm .【答案】12 【解析】 【分析】首先延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，过点D 作DF ∥BC ，交BE 于F ，易得：△EFD ∽△EBM ，又由AB=AC ，AD 平分∠BAC ，根据等腰三角形的性质，即可得AN ⊥BC ，BN=CN ，又由∠EBC=∠E=60°，可得△BEM 与△EFD 为等边三角形，又由直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求得MN 与BM 的值，继而求得答案．【详解】解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，过点D 作DF ∥BC ，交BE 于F ， ∴△EFD ∽△EBM ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AN ⊥BC ，BN=CN ， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEM 为等边三角形， ∴△EFD 为等边三角形， ∵BE=9cm ，DE=3cm ， ∴DM=6cm ，∵∠DNM=90°，∠DMN=60°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=12DM=3cm ， ∴BN=BM-MN=9-3=6（cm ）， ∴BC=2BN=12（cm ）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，求得△BEM 与△EFD 为等边三角形，然后由等边三角形的性质求线段的长．18.在矩形ABCD 中，3,4AB AD ==，将其沿对角线BD 折叠，顶点C 的对应点C '，BC '交AD 于点E 如图1，再折叠，使点D 落在A 处，折痕MN 交C D '于M ，交BD 于N ，交AD 于F ，得到图2，则折痕MN 的长为____________.【答案】25 12【解析】【分析】由折叠的性质可知△DFM为直角三角形，且DF=12AD=2，可证△ABE≌△C DE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得对应边的比相等可求MF，继而求出MN的长．【详解】解：如图，由已知可得MN垂直平分AD，DF=12AD=2，FN=12AB=32，∵AB=CD=C D，∠A=∠C=90°，∠AEB=∠C ED，∴△ABE≌△C DE，∴BE=ED, ∠ABE=∠C DE设AE=x，则BE=ED=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=78，∴AE=78∵∠ABE=∠C DE, ∠BAE=∠C=90°，∴△ABE∽△FDM，∴AEAB=MFFD，即7832MF，解得MF=7 12．∴MN=NF+FM=712+32=2512．故答案25 12．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的运用．关键是由性质将有关线段进行转化．三、解答题19.解不等式组()126223x x x +>-⎧⎪⎨≤+⎪⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得____________； （Ⅱ）解不等式②，得____________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为_______．【答案】（Ⅰ）3x >-；（Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）图见解析；（Ⅳ）33x -<≤． 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过移项、合并同类项的步骤解不等式即可；（Ⅱ）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （Ⅲ）根据数轴的定义即可得； （Ⅳ）由（Ⅲ）的结论即可得． 【详解】（Ⅰ）不等式12x +>- 移项，得21x >-- 合并同类项，得3x >- 故答案为：3x >-； （Ⅱ）不等式62(23)x x ≤+ 去括号，得646x x ≤+ 移项，得646x x -≤ 合并同类项，得26x ≤ 系数化为1，得3x ≤ 故答案为：3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（Ⅳ）由（Ⅲ）画出的数轴可知，原不等式组的解集为33x -<≤故答案为：33x -<≤．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题关键．20.我校八年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次抽取到的学生人数为________，图2中m 的值为_________．（2）本次调查获取的样本数据的平均数是__________，众数是________，中位数是_________． （3）根据样本数据，估计我校八年级模拟体测中得12分的学生约有多少人？【答案】（1）①50；②28；（2）①10.66；②12；③11；（3）我校八年级模拟体测中得12分的学生约有256人； 【解析】 【分析】（1）求直方图中各组人数和即可求得跳绳得学生人数，利用百分比的意义求得m 即可； （2）利用平均数、众数、中位数的定义求解即可； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得；【详解】（1）本次抽取到的学生人数为：4+5+11+14+16=50(人)； m%=14÷50x100%=28%， ∴m =28；故答案为：①50；②28； （2）观察条形统计图得，本次调查获取的样本数据的平均数849510111114121610.6650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，∴本次调查获取的样本数据的平均数为10.66， ∵在这组样本数据中，12出现了16次， ∴众数为12，∵将这组数据按从小到大排列后，其中处于中间位置的两个数都为11，∴中位数为：11+11=112， （3）800×32%=256人；答：我校八年级模拟体测中得12分的学生约有256人；【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数的定义，条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，掌握中位数、众数、平均数的定义，条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图是解题的关键. 21.已知A B 、在半径为1的O e 上，直线AC 与O e 相切，OC OB ^，连接AB 交OC 于点D .（Ⅰ）如图①，若60OCA ︒=∠，求OD 的长；（Ⅱ）如图②，OC 与O e 交于点E ，若BE OA ∥，求OD 的长. 【答案】（Ⅰ）33；（Ⅱ2-1． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可知∠OAC=90°，由三角形的内角和定理可知∠AOC=30°，由∠AOB=∠AOC+∠BOC 可得出∠AOB 的度数，结合OA=OB 可得出∠OAB=∠OBA=30°，由此可得出OD=AD ，由∠OAB 与∠DAC 互余可知∠DAC=60°=∠DCA ，由此得出△DAC 为等边三角形，从而得出OD=AC ，由特殊角的三角函数值即可得出结论；（2）由OC ⊥OB 且OC=OB 可知∠OBE=∠OEB=45°，再由BE ∥OA 可得出∠AOC=45°，结合切线性质可得出OA=AC ，根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD=∠CDA=67.5°，由此可得出AC=CD ，结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）∵AC 与⊙O 相切， ∴∠OAC=90°． ∵∠OCA=60°， ∴∠AOC=30°． ∵OC ⊥OB ，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴OD=AD ，∠DAC=60° ∴AD=CD=AC ． ∵OA=1，∴OD=AC=OA•tan ∠AOC=3． （2）∵OC ⊥OB ， ∴∠OBE=∠OEB=45°． ∵BE ∥OA ，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB ， ∴OA=AC ，∠OAB=∠OBA=22.5°， ∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°． ∵∠DAC=90°-∠OAB=67.5°=∠ADC ， ∴AC=CD ． ∵OC=AOCACsin =2，∴OD=OC-CD=2-1．【点睛】本题考查了切线的性质、角的计算、等腰三角形的判定及性质、勾股定理以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）通过边角关系找出OD=AC ；（2）通过边角关系找出AC=CD ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角的计算找出相等的角，再由相等的角得出相等的边．22.“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB ∥CD ，AM ∥BN ∥ED ，AE ⊥DE ，请根据图中数据，求出线段BE 和CD 的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【答案】线段BE 的长约等于18.8cm ，线段CD 的长约等于10.8cm ． 【解析】试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF 的长，即可求得CD的长．试题解析：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=35.75（cm），∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.23.某校为改善办学条件，计划购进A B、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种方式，具有情况如下表：线下线上规格单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A 240 0 210 20B 300 0 250 30（Ⅰ）如果在线下购买A B、两种书架20个，共花费5520元，求A B、两种书架各购买了多少个；（Ⅱ）如果在线上购买A B、两种书架20个，共花费w元，设其中A种书架购买m个，求W关于m的函数关系式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照该购买方案线上比线下节约多少钱.【答案】（Ⅰ）购买A种书架8个，B种书架12个；（Ⅱ）W=-50m+5600，（Ⅲ）线上比线下节约340元．【解析】【分析】（Ⅰ）设购买A种书架x个，则购买B种书架（20-x）个，根据买两种书架共花费5520元，列方程求解即可；（Ⅱ）W=买A种书架的花费+买B种书架的花费+运费，列式即可；（Ⅲ）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出m的取值范围，再根据第（Ⅱ）小题的函数关系式，求出v的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．【详解】解：（Ⅰ）设购买A种书架x个，则购买B种书架（20-x）个，根据题意，得：240x+300（20-x）=5520，解得：x=8，∴20-8=12，答：购买A种书架8个，B种书架12个；（Ⅱ）根据题意，得：W=210m+250（20-m）+20m+30（20-m）=-50m+5600，（Ⅲ）根据题意，得：20-m≥2m，解得：m≤203，∵-50＜0，∴v随m的增大而减小，∴当m=6时，W最小为-300+5600=5300，线下购买时的花费为：240×6+300×14=5640，5640-5300=340（元），∴线上比线下节约340元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是能根据函数的增减性，求出W的最小值．。

天津市南开区第二十五中学2024-2025学年上学期第二次月考七年级数学试题一、单选题1．下列说法中，正确的是（ ）A ．22x y -的系数是2-B ．23xy 的次数是4C ．2235x x -+的一次项系数是3D ．32325x y x --+是一个四次三项式2．代数式1x ，32x y -，213a b ，12，πx y -，-1中，整式的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．下列式子属于一元一次方程的是（ ）A ．511x x -=B ．35x y -=C ．240x -=D ．15x >4．下面计算正确的是（ ）A ．22321a a -=B ．3332a a a -=C ．22256xy xy xy -=-D ．527a b ab +=5．下列各式中，去括号正确的是（ ）A ．()2222a b c a b c --+=-+B ．()()22x y a b x y a b-+-+=---+C ．()3232a x y a x y+--=-+D ．()53515ab a ab a --+=+-6．下列等式变形中，一定正确的是（ ）A ．若1xy =，则1x y =B ．若22x x =，则2x =C ．若24a b -=，则24b a =-+D ．若163x -=，则2x =-7．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：222221131542222x xy y x xy y x ⎛⎫⎛⎫-+---+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2y +，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（ ）A ．xy +B ．xy -C ．9xy +D ．7xy-8．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则2024a b --=（ ）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20229．设22P y =-，23Q y =+，有21P Q -=，则y 的值是（ ）A ．－4B ．4C ．－1D ．110．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km ，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为xkm ，则所列方程为（ ）A ．323x x +=B ．923x x =+C ．3323x x -=+D ．3323x x +=-11．按如图所示的程序进行计算，若输入x 的值是3，则输出y 的值为1．若输出y 的值为3，则输入x 的值是（ ）A ．7B ．13-C ．7或13-D ．-7或1312．有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A 级工人可装修5个房间，结果还剩23m 未能装修，每天6名B 级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修25m ，若一名A 级工人每天比一名B 级工人多装修23m ，设每个房间的地面为2m x ，一名B 级工人每天装修2m y ，下列方程中正确的是（ ）①5375346x x +-=+；②5375346x x -+-=；③()4336557y y ++-=；④()4336557y y +-+=A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③二、填空题13．若单项式3354n x y --与2325m x y -是同类项，则m n += ．14．若()2326m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 等于 ．三、15．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，设需要有x名工人生产茶壶，则可列方程为：．四、填空题16．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，+--+-=．化简：a b a c c b17．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了道题．参赛者答对题数答错题数得分A200100B1919418．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上----填入如图2的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现1,2,2,4,5,5,6,8所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中a b c d-++的值为．五、解答题19．化简：(1)94352a a b a b -+--；(2)()()222537547a ab ab a -+--+．20．解方程：(1)()()32252-=-+x x ；(2)2123225x x x ---=-．21．（1）先化简再求值：()()2222352xy x x xy x xy ⎡⎤-----+⎢⎥⎣⎦，其中1x =，2y =-．（2）已知代数式22573A x xy y =+--，22B x xy -=+．①求()323A A B -+．②若2A B -的值与y 的取值无关，求x 的值．22．整理一批数据，由一个人做需80小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，然后再增加5人与他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？23．某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件80元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出100件，则超出的部分打八折．”(1)设该商场准备订购x 件服衬衫(100)x >，请用含x 的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）．(2)当x 的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？(3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了125件补衫，每件加价50%进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的4.8倍，并比第一次销售价格高12元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多1580元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售．24．如图1，在数轴上点M 表示的数为m ，点N 表示的数为n ，点M 到点N 的距离记为MN ．我们规定：MN 的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN n m =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，b 是最大的负整数．且a ，c 满足2a +与()24c -互为相反数．(1)a =________，b =________，c =________；(2)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数________表示的点重合；(3)点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，请问46AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；(4)探究：在数轴上，若点A 表示数26-，点B 表示数12-，点C 表示数12．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C 移动，同时点Q 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，点Q 到达点C 后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ．问P ，Q 运动多少秒时，P ，Q 两点之间的距离为6个单位长度？直接写出答案．。