2.1 数列的概念与简单表示法1学案

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然 规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列 与函数之间的关系．
-3 -
教学过程
-4 -
教学过程
-5 -
-6 -
-7 -
(9) 10, 100, 1000, 10000; (10) 9, 99, 999, 9999; (11) 1, 11, 111, 1111 ; (12) 7, 77, 777, 7777.
2.1 数列的概念与简单表示法 （第1课时）
-2 -
教学任务
(1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的 概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的 数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之 间的变量依赖关系．
教学重点与难点
-8 -
小结：
通过本节课的学习，你有何收获？
-9 -

书面作业
课本习题 2.1 A组第 1，3 题；B组 第1 题
预习作业
预习课本第 30和 31 页，思考下列问题 : (1)数列的表示方法有哪些? (2)递推公式与通项公式有什么区别?
-10-
• 有关的数学名言
• ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明

2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第1节等差数列第1课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而2．1数列的概念与简单表示法（一）是学习数列的有关概念, 在通过实际问题引入数列概念后，对数列的函数背景进行了分析，指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。

人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是一种函数，是刻画离散过程的一种重要数学模型。

二、学生学习情况分析经过半年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、教学目标理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.四、教学重点与难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.五、教学过程“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。

”，见教科书第26面（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材28面问题1：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1.新课引入（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

第二章数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

§2.1 数列的概念与简单表示法设计思想：1．教学背景分析“数列”是高中数学重要的内容之一，其作用和地位，可从以下三个方面来看：①数列有着广泛的实际应用.例如：堆放物品总数的计算，要用到数列的前n项公式；产品规格设计的某些问题，要用到等比数列的原理；储蓄、分期付款的有关计算等也要用到数列的相关知识.②数列起着承上启下的作用.一方面，初中数学的许多内容，在解决数列的某些问题中，得到了充分的运用；数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；学习数列，又为今后学习数列的极限等知识作好了准备.③数列是培养学生数学能力的良好教材.学习数列需要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高.2．教学目标的设计根据本课时知识的特点和作用，为了让学生更好的掌握相应的基础知识和基本技能，提高学生的数学思维能力，帮助学生养成良好的学习习惯，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面对教学目标进行设计.3．教学方法分析根据本课时知识结构和特点，教学中以讲授法为主.为了充分调动学生的学习积极性，设计同时采用启发式、探究式的教学方法.在课堂教学过程中，努力实现“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过创设问题情景，使学生尽可能地动手、动口、动脑，积极的参与教学全过程，为提高学生的能力创造条件.4.教学过程的设计为了实现本课时的教学目标，教学过程将按以下几个环节进行：（1）设置情景，引入新课：利用多媒体课件展示下面几个特殊数列：①杂技表演中的叠罗汉（自下而上的人数）：3，2，1，1，1②斐波那契数列（兔子繁殖问题）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……③国际象棋棋盘（棋盘上有八行八列共64个格子，如图所示）上的麦粒数：1，2，4，8，16，32，……④生活中的实例：堆放着的圆钢各层的根数（最下层为100根，自下而上）：100，99，98，97，96，……，2，1（2）提出问题：根据上述所设情景及本课时内容，提出以下问题：①以上所举的例子中，所得各列数（按先后顺序排列），各自有什么特征？你能找出（或说出）它们的规律吗？②上述的每一列数，都按照一定的规律排列的，每一个数均有其特定的位置，不能乱排，那么，象这样的一列数，你知道人们管它叫什么吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对③各列数中的项（每一个数），我们能用一个含有正整数n的公式来表示吗？（3）揭示课题与解决问题：学生分组游戏、探究讨论、猜想归纳与概括，从而揭示课题，形成概念.（4）知识迁移与运用：例题讲解与课堂练习.（5）课时小结：本节重点内容再现及思想方法的归纳与总结.（6）作业布置.由于数学高度抽象的特点，为了更好的体现知识的来龙去脉，同时也为了给学生创造动手实践的机会，由学生来完成兔子繁殖和在国际象棋棋盘上摆放麦粒(只要求放前6个格子，然后猜想、依次归纳出后58个格子的麦粒数)的过程，这样有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的“再创造”过程，整体上让学生经历和体验从具体实例抽象出数学概念的过程.在整个教学过程中，确定教学策略的依据是：既来源于教材又不拘泥于教材.注重把学生的原有知识、生活经验作为主要的课程资源，充分发挥学生的自主性和创造性.使整个教学过程成为师生相互交流、共同参与的过程，充分体现教师为主导、学生为主体的教学理念. 教学目标：1.知识与技能目标(1)通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．(2)通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．(3)通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．2.过程与方法(1)通过两个游戏，培养学生探究新问题的意识和能力；(2)利用游戏，调动学生参与学习的积极性，培养学生的钻研精神;(3)进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．3.情感、态度与价值观通过教学，培养学生良好的思维习惯、严紧的学习态度以及不怕困难和勇于探索的精神；让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，从而提高学生学数学、用数学的意识.教学重点：教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点：正确理解数列与函数的联系与区别．教学准备：收集相关图片、资料；制作幻灯片；布置学生预习，并且每个小组（四人为一个学习小组）准备若干张小纸签（不低于40张）和一张国际象棋棋盘（自制）及麦粒或米粒若干.教学过程：一、设置情景，引入课题：今天开始我们研究一个新课题，现在先看下面几个例子▲情景1（杂技表演中的叠罗汉自下而上的人数）：（展示第一张幻灯片）【问题】你能写出各层的人数吗？ （让学生观察后按顺序写出各层的人数）▲情景2（兔子繁殖问题）：一对大兔每月能生出一对小兔，而小兔经过一个月就长成大兔，问从一对小兔开始，一年后共繁殖成多少对大兔？组织学生做游戏：请大家拿出准备好的纸签，在其中的16张上写上 “小兔”，再在另外的24张上写上 “大兔”，然后按上述要求，做 “兔子繁殖”的游戏.（教师巡视引导）【问题1】你发现其中的规律吗？（让学生在游戏中寻找规律）【问题2】你能依次写出1～12月中各个月兔子的对数吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对请学生代表发言，教师补充.（板书）1～12月中各个月兔子的对数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……（展示第二张幻灯片）总结：它的规律是，从第三项起，每一项都等于这项的前面两项的和，即+2+1=+n n n a a a (*N n 且n ≥3)▲情景3（际象棋棋盘棋上的麦粒数，盘上有八行八列共64个格子，如图所示）：关于国际棋有这样一个传说：国王要奖奖赏的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子里放2颗麦粒，第三个格子里放4颗麦粒，第四个格子里放8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述这个要求”.国王觉得这是件很容易的事，就欣然同意了他的要求.组织学生做游戏：请大家拿出准备好的棋盘与麦粒，按要求在棋盘上依次摆放.【问题1】你认为国王有能力满足发明者的要求吗？【问题2】你能依次写出每个格子里放的麦粒数分别是多少吗？请学生代表发言，教师补充.（板书）每个格子里放的麦粒数依次是：20，21，22，23，24，25，26，……，263【问题3】你能帮国王计算一下，需要准备多少麦粒吗？你是否能估算出这些粮食大约有多重吗？▲情景4（生活中的实例：放圆钢，如图所示）：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，……【问题1】 最多可放多少层？【问题2】第57层有多少根？【问题3】从第1层到第57层一共有多少根？（板书）每层的圆钢根数（自上而下）依次是：1，2，……97，98，99，100.二、揭示课题：在上面的例子中，我们不能满足于逐一的去数（有的问题需要花大量的时间去数，如情景2中兔子的对数，情景4中圆钢的根数等，而有的问题中很难数甚至不可能数，如例中的麦粒数就很难数.），而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是一个个按一定顺序排好对的一列数，象这样排好队的数就是我们这一章的研究对象——数列.三、新课讲授：数列的概念与简单表示法（板书）1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述4个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集*N ，或是正整数集*N 的有限子集｛1，2，3，……，n ｝．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． （板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，……，用n a 表示第n 项，依次写出成为：（1）列举法：123,,,a a a …n a ，…（如幻灯片上的例子）简记为｛n a ｝．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图象法：启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以（n ，a n ） 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列3，2，1，1，1 为例，作出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即)(n f a n =，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法：如上述情景4中的数列：1，2，3，…，97，98，99，100的通项公式为=n a n (*N ∈n ，1≤n ≤100)0，1，2，3，… 的通项公式为1-=n a n (*N ∈n )；1，1，1，…的通项公式为1=n a (*N ∈n ，1≤n ≤3)； 41,31,21,1，…的通项公式为na n 1=(*N ∈n )； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列{a n }的通项公式a n =2n -1，则a 52=2×52-1=103.值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（4）递推公式法：如前面所举的钢管的例子，第n +1 层钢管数a n +1与第n 层钢管数a n 的关系是a n +1=a n +1，在给定a 1=1，便可依次求出各项．再如数列{a n }中，a n +1=2a n ，若a 1=1这个数列就是1，2，4， 8，16，32，64，… ．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．四、课堂练习：教材A组题P33 1．（1）、（2）、（3）；2；3．（1）、（2）；4．（1）（2）.五、小结：（师生共同小结）1．数列的概念（口述）2．数列的四种表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.六、板书设计教案点评：教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．。