【范文】XX届高考数学直线与圆锥曲线位置关系第一轮基础知识点复习教案

直线与圆锥曲线的位置关系【考试大纲要求】1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题.3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长；5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等．【高考命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。

分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等．预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．【基础知识归纳】1．点00(,)M x y 与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系（如表1）． 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)0∆>⇔相交；(2)0∆=⇔相切； (3)0∆<⇔相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．曲线条件结论 椭 圆22221x y a b += 点在曲线上 22221x y a b +>点在曲线外22221x y a b +< 点在曲线内双 曲 线22221x y a b -= 点在曲线上22221x y a b -< 点在曲线外22221x y a b -> 点在曲线内抛 物 线2002y px = 点在曲线上2002y px > 点在曲线外2002y px <点在曲线内（ 表1）3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去yax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac .则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +. 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）.【典型例题解析】题型1：向量与点的轨迹问题【例1】（06·江苏）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足⋅+⋅|||| ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ ） A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-= 【答案】B.【解析】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =, 则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-, 0=⋅+NP MN MP MN ， 则224(2)4(2)0x y x ++-=， 化简整理得x y 82-=题型2 ：直线与圆锥曲线相结合问题【例2】（06·辽宁）直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,k R ∈且0)k ≠的公共点的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】D【解析】将2y k =代入2222918k x y k x +=，22229418k x k k x +=29||1840x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个．【例３】（06·四川）直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （ ） A ．56 B ．64 C ．48 D ．72 【答案】C【解析】直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，联立方程组得243y xy x ⎧=⎨=-⎩，消元得21090x x -+=，解得12x y =⎧⎨=-⎩，和96x y =⎧⎨=⎩，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8， 梯形APQB 的面积为48，选Ｃ. 【例4】（07·全国） 若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则 （ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．2211a b+≥1【答案】D【解析】将2211x ya b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩联立消y 得2222222()20a b x ab x a b a +-+-=,由22110a b∆≥⇒+≥1. 题型3：圆锥曲线中的最值问题【例5】（06·全国）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值.【解析】依题意可设P (0,1),Q (x,y ),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上,所以,x 2=a 2(1－y 2) ,|PQ |2=a 2(1－y 2)+y 2－2y +1=(1－a 2)y 2－2y +1+a 2=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2 .因为|y |≤1,a >1,若a ≥2, 则|11－a 2|≤1.题型4：变量取值范围问题【例6】（07年·江苏）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。

高考数学第一轮复习第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系 考点 直线与圆锥曲线的位置关系知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0 双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0 抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.入门测1．思维辨析(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.()2．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32 B.233C.932 D.23273．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________．解题法[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 【解题法】 直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解． (3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．【解题法】 直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用) (2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．【解题法】弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为：①设点：即设出弦的两端点坐标．②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开．④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．对点练1．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|P A|＝12|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.53 B.75C.97D．22．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334 B.938C.6332 D.943.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12 B.23C.34D.434．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.105．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．6．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．10．圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P且离心率为 3.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．11．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S1S2的值．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点．课时练基础组1.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．82．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2＋1D ．23．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.81054.直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．5．已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.6．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．7. 已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程； (2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．8．已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y 215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．9．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．10．已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．11．已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →； (2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．能力组13已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)14．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫13，＋∞C.⎝⎛⎭⎫15，＋∞D.⎝⎛⎭⎫19，＋∞15如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．。

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－b aB ．k ＜b aC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜b a解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜b a.过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( ) A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.答案：14斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____________．解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案：4105直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，设其判别式为Δ，(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； (3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案：32．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． [提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．[通关练习]1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5532．(2018·太原市模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为____________．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k2＋16，因为|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16＝26，所以△AOB 的面积为12×1×26＝ 6.答案： 6中点弦问题[典例引领]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)， 则x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[通关练习]1．若点(3，1)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②， 由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2. 2．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A.22B.233C ．1D ．2解析：选A.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 所以k OM ＝y 0x 0＝22，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由AB 的中点为M 可得x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.由A ，B 在椭圆上，可得⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1， 两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 则m (x 1－x 2)·2x 0－n (x 1－x 2)·2y 0＝0， 整理可得mn ＝22，故选A. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋y －1＝0，可得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0， 所以x 1＋x 2＝2nm ＋n， y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝2mm ＋n .由中点坐标公式可得，x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝y 1＋y 22＝m m ＋n.因为M 与坐标原点的直线的斜率为22，所以y 0x 0＝mm ＋n n m ＋n＝m n ＝22.故选A.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定 点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 易错防范判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a>2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条．3．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2＞3，所以a 2＋b 2＜3.又a ，b 不同时为零，所以0＜a 2＋b 2＜3.由0＜a 2＋b 2＜3，可知|a |＜3，|b |＜3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3， 所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个，故选C.4．(2018·江西九江模拟)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22（x －2），解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3. 5．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：选A.由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－ab，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－ab ，所以a b ＝－32，故选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°， 则直线l 的方程为y －0＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程， 消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0， 则x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AF ||BF |＝32p ＋12p12p ＋16p ＝3. 答案：37．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为____________． 解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.答案：2x ＋8y ＋7＝08．(2018·福建四地六校模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C交于A ，B 两点，且|AB |＝6，若AB 的垂直平分线交x 轴于P 点，则P 点的坐标为____________． 解析：由抛物线y 2＝4x ，得p ＝2，易知直线l 的斜率存在，设经过点F 的直线l ：y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，利用抛物线定义得，x 1＋x 2＝|AB |－p ＝6－2＝4，即2＋4k2＝4，所以k ＝±2，因为AB 中点坐标为(2，k )，所以AB 的垂直平分线方程为y －k ＝－1k·(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，即P 点的坐标为(4，0)． 答案：(4，0)9．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解：由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0， Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 0交C 于P ，Q 两点，且△PQF 2的周长为8 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作一条直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为离心率为22，所以1－b 2a 2＝22，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 又△PQF 2的周长为|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|QF 1|＋|QF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ， 所以4a ＝82，即a ＝22，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 28＋x 24＝1.(2)证明：把y ＝0代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1，0)，N (4，0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM ＝∠BNM . ②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），2x 2＋y 2＝8，消去y ， 得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.因为y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， 所以k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k （x 1－1）x 1－4＋k （x 2－1）x 2－4＝k [（x 1－1）（x 2－4）＋（x 2－1）（x 1－4）]（x 1－4）（x 2－4）.因为(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2（k 2－8）k 2＋2－10k2k 2＋2＋8＝2（k 2－8）－10k 2＋8（k 2＋2）k 2＋2＝0，所以k AN ＋k BN ＝0，所以∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .1．(2018·河北石家庄二中模拟)已知直线l 1与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B两点，且AB 中点M 的横坐标为b ，纵坐标不为0，过M 且与直线l 1垂直的直线l 2过双曲线C 的右焦点，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52B.1＋52C.1＋32D.1＋32解析：选B.由题意知直线l 1与l 2的斜率存在且都不为0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (b ，y M )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 1－y 2x 1－x2＝kl 1＝－1kl 2＝c －b y M，x 1＋x 2＝2b ，y 1＋y 2＝2y M，则可得a 2＝bc ，即a 4＝(c 2－a 2)c 2，有e 4－e 2－1＝0，得e 2＝1＋52，所以e ＝1＋52. 2．(2018·贵州贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( ) A ．2 2 B ．2 C ．4D ．3 2解析：选A.因为l 与圆相切， 所以原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，所以m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4（1－k 2）（m 2＋1）＝4（m 2＋1－k 2）＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，所以k 2＜1，所以－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，所以x 2－x 1＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2，因为0≤k 2＜1，所以当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.3．(2018·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4， 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. 4．(2018·福建省普通高中质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上异于长轴端点的动点，∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M .当P 在x 轴上的射影为F 2时，M 恰为OF 2的中点．(1)求C 的方程；(2)过点F 2引PF 2的垂线交直线l ：x ＝2于点Q ，试判断除点P 外，直线PQ 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)设|F 1F 2|＝2c ，则c 2＝a 2－1，不妨设P 在x 轴上方(如图)．当P 在x 轴上的射影为F 2时，P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，1a ，F 1()－c ，0，F 2(c ，0)，所以直线PF 1的方程为x －2acy ＋c ＝0. 因为|OF 2|＝2|OM |，所以|OM |＝|MF 2|＝c2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，0. 则点M 到直线PF 1的距离为d ＝|c2＋c |1＋4a 2c 2＝3c 21＋4a 2c2. 因为PM 平分∠F 1PF 2，PF 2⊥F 1F 2，所以d ＝|MF 2|，即3c 21＋4a 2c 2＝c 2，化简得a 2c 2＝2， 所以a 2(a 2－1)＝2，解得a 2＝2.所以C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)除点P 外，直线PQ 与C 无其他公共点． 理由如下：如图，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 202＋y 20＝1，即y 20＝1－x 202.设Q (2，y Q )，则QF 2→＝(－1，－y Q )，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，由QF 2⊥PF 2，得QF 2→·PF 2→＝0，所以x 0－1＋y 0y Q ＝0，即y Q ＝1－x 0y 0.所以k PQ ＝1－x 0y 0－y 02－x 0＝y 20＋x 0－1（x 0－2）y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 202＋（x 0－1）（x 0－2）y 0＝－x 02y 0，所以直线PQ 的方程为y －y 0＝－x 02y 0(x －x 0)，即2y 0y －2y 20＝－x 0x ＋x 20即x 0x ＋2y 0y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋2y 0y －2＝0x 2＋2y 2＝2，得(x 20＋2y 20)y 2－4y 0y ＋(2－x 20)＝0， 即y 2－2y 0y ＋y 20＝0. 因为Δ＝(2y 0)2－4y 20＝0，所以除点P 外，直线PQ 与C 无其他公共点．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

直线与圆锥曲线的位置关系【考试大纲要求】1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题.3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长；5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等．【高考命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。

分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等．预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．【基础知识归纳】1．点00(,)M x y 与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系（如表1）． 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)0∆>⇔相交；(2)0∆=⇔相切； (3)0∆<⇔相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．● 曲线● 条件● 结论 ● ● ● ● 椭 ● ● ● ● 圆● 22221x y a b+= ● ● 点在曲线上●22221x y a b +> ● ● 点在曲线外 ●22221x y a b +< ● ● 点在曲线内● ● ● ● 双 ● ● 曲 ● ● 线● 22221x y a b -= ● ● 点在曲线上● 22221x y a b -< ● ● 点在曲线外●22221x y a b -> ● ● 点在曲线内● ● ● 抛 ● ● 物 ● ● 线● 2002y px = ● 点在曲线上● 2002y px > ● ● 点在曲线外● 2002y px <● ● 点在曲线内（ 表1）3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去yax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac .则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +. 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）.【典型例题解析】题型1：向量与点的轨迹问题【例1】（06·江苏）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足⋅+⋅|||| ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ ） A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-= 【答案】B.【解析】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =, 则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-,0=⋅+，则4(2)0x -=，化简整理得x y 82-=题型2 ：直线与圆锥曲线相结合问题【例2】（06·辽宁）直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,k R ∈且0)k ≠的公共点的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】D【解析】将2y k =代入2222918k x y k x +=，22229418k x k k x +=29||1840x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个．【例３】（06·四川）直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （ ） A ．56 B ．64 C ．48 D ．72 【答案】C【解析】直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，联立方程组得243y xy x ⎧=⎨=-⎩，消元得21090x x -+=，解得12x y =⎧⎨=-⎩，和96x y =⎧⎨=⎩，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8， 梯形APQB 的面积为48，选Ｃ. 【例4】（07·全国） 若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则 （ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．2211a b+≥1【答案】D【解析】将2211x ya b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩联立消y 得2222222()20a b x ab x a b a +-+-=,由22110a b ∆≥⇒+≥1. 题型3：圆锥曲线中的最值问题【例5】（06·全国）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值.【解析】依题意可设P (0,1),Q (x,y ),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上,所以,x 2=a 2(1－y 2) ,|PQ |2=a 2(1－y 2)+y 2－2y +1=(1－a 2)y 2－2y +1+a 2=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2.因为|y |≤1,a >1,若a ≥2, 则|11－a 2|≤1.题型4：变量取值范围问题【例6】（07年·江苏）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。