9多时间数据小波分析课稿

《小波分析》课程简介06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生内容简介：小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。

本课程作为小波分析理论的入门课程，主要介绍了小波变换，包括离散小波变换和连续小波变换理论，同时介绍了Gabor变换及测不准原理。

本课程还介绍了Mallat的迭代算法，Daubechies 的紧支集正交小波构造理论及小波包理论。

最后介绍了小波用于刻画函数空间及在微分方程中的应用。

选用教材或参考书：《小波变换及其应用》，李世雄，高等教育出版社，1997年《小波与算子》，Y. 迈耶著，尤众译，世界图书出版公司，1992年《小波分析》教学大纲06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：让学生掌握小波分析基本知识，了解小波分析的工程背景及与数学其他分支的联系；培养与开拓他们的视野。

二、主要内容及学时分配：1. 绪论 2学时小波分析基本概念、课程内容、组织与安排；2.Fourier 级数与 Fourier积分的基本概念、窗口Fourier变换、Gabor变换、连续小波变换 6学时温习Fourier 级数与 Fourier积分的基本性质；掌握窗口Fourier变换；掌握连续小波变换的内容。

课后练习：连续小波变换的性质，重构公式。

3. 离散的小波变换与正交小波 8学时：学习多尺度分析的概念；掌握Riesz基的概念；掌握函数稳定性的概念。

课后练习：找正交小波的例子。

4.紧支集正交小波的构造 6学时：了解Riesz引理；函数光滑性刻画。

课后练习：紧支集正交小波的构造关键技术。

5. 小波的光滑性6学时：刻画细分函数的光滑性；了解I.Daubechies正交小波。

这样，a 和b 联合越来确定了对x(t) 分析的 中心位置及分析的时间宽度。
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt

2



| g (t) | d t 1
2
t0 0
1 || g (t) || 1
2



t | g (t) | d t 0
2
|| G ( ) ||
2


| G () | d 0
2
定义：
D
2 t 2
1 || g (t) ||
2

2


(t - t 0 ) | g (t) | d t
窗口傅立叶变换的频域性质：
问题的提出：
窗口傅立叶变换WFg(, b) = <f(t), g,b(t)>给出的是信 号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口 傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？
假设f(t)的傅立叶变换为F()，g,b(t)的傅立叶变 换为G ,b()，则根据Parseval定理有： WFg(, b) = < F(), G ,b()>/(2) 窗口傅立叶变换频域上的物理意义：
(W f )(a, b)



f (t) a, b (t) d t
f (t), a, b (t)
连续小波变换：
频域上的意义：
若f(t)的傅立叶变换为F()，a,b(t)的傅立叶变换为a,b()， 则根据Parseval定理，有：
(W f )(a, b)
2
解决窗口傅立叶变换缺点的方法：
问题的提出：
窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所 有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信 号和突变过程。
解决方法：
引入窗口变化机制，同时求各种窗口大小下的变换， 这样变换系数中就同时包含各种特征尺度下信号的 信息。

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4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
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4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
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❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
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❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
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❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
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2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
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k
D
j
f
(t