cnw-evh_a排列组合知识

A

C B

D !

_

世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便 十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。

－－别林斯基

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）

排列、组合和二项式定理

1.排列数mnA中1,nmnmN、、组合数mnC中,1,0,nmnmnm、N.

(1)排列数公式

!(1)(2)(1)()()!mnnAnnnnmmnnm；!(1)(2)21nnAnnnn。如（1）1！+2！+3！+„+n！（*4,nnN）的个位数字为 （答：3）；（2）满足2886xxAA的x＝ （答：8）

(2)组合数公式

(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm；规定01！，01nC.如已知16mnmnmnCCA，求 n，m的值（答：m＝n＝2）

(3)排列数、组合数的性质：①mnmnnCC；②111mmmnnnCCC；③11kknnkCnC；④1121rnrnrrrrrrCCCCC；⑤!(1)!!nnnn；⑥11(1)!!(1)!nnnn.

2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有

种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有

个（答：12）；（5）A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合,,Mabc到集合1,0,1N的映射，且()()fafb

()fc，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{CBA的集合A、B、C共有 组（答：47）

3.解排列组合问题的方法有：

（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再

考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_______种（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：156）；（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____（答：6）；（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：84；96）；（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：31）

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）

（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。

（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：相等）；

（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种（答：15）；（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答：36）；（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种（答：90）；

（7）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有

种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：360）；（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩{89,90,91,92,93}(1,2,3ixi且满足1234xxxx，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种（答：15）；（4）设集合1,2,3,4,5,6,7,8A，对任意xA，有(1)(2)(3)fff，则映射:fAA的个数是_____（答：3588C）；（5）如果一个三位正整数形如“321aaa”满足2321aaaa且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：240）；（6）离心率等于qplog(其中91,91qp且*,Nqp)的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：26）。

（8）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。

（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）

（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

5.二项式定理：011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb，其中组合数rnC叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项1(0,1,2,rnrrrnTCabr

,)n称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在()naxb的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为rnC，第ｒ＋１项的系数为rnrrnCab；而1()nxx的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）371(2)xx的展开式中常数项是____（答：14）；（2）3410(1)(1)(1)xxx的展开式中的3x的系数为______ （答：330）；（3）数100111的末尾连续出现零的个数是____（答：3）；(4)403(72)x展开后所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有____项（答：7）；(5)若23456161520156(21)xxxxxxxNx且的值能被5整除，则x的可取值的个数有____个（答：5）；(6)若,1,0yxxy且二项式9)(yx按x降幂展开后，其第二项不大于第三项，则x 的取值范围是 （答：(1,)）；(7)函数1010()(1sin)(1sin)fxxx的最大值是_______（答：1024）.

6、二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC；

（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nnC取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第21n和21n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值。如（1）在二项式11(1)x的展开式中，系数最小的项的系数为______（答：－426）；（2）在(1)nx的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n＝____（答：17,18或19）。