全国百校名师联盟2017-2018学年高二月考领航卷(三)数学试卷(扫描版,无答案)

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理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
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百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第二模拟）一、选择题：共12题1．关于复数z=(i是虚数单位),下列结论正确的为A.在复平面内,复数z所对应的点在第一象限B.复数z的共轭复数为=1-iC.若复数ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则b=1D.复数z的模为2【答案】C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案.由已知z==-1+i,因而z在复平面内对应的点位于第二象限,A错误,=-1-i,B错误,|z|=,D错误,若ω=-1+b+i为纯虚数,则-1+b=0,即b=1,故选C.2．已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为A.-1或2B.2C.-1D.-2【答案】A【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题.f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.3．已知集合A={x|<1},集合B={y|y=t-2},则A∩B=A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)【答案】B【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.由<1,得>0,因而x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞),设m=≥0,则t=m2+3,因而y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以B=[2,+∞),从而A∩B=(3,+∞),故选B.4．在数列{a n}中,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a2 016的值为A.3B.1C.D.32 015【答案】C【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现,得到{a n}为周期数列,进而求解.由已知,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a1a3=a2,从而a3=3,又a2a4=a3,∴a4=1,同理a5=,a6=,a7=1,a8=3,那么数列{a n}为周期数列,且周期为6,∴a2 016=a6=,故选C.5．对于三个不同的平面α,β,γ和四条不同的直线a,b,m,n,下列中为真的是A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥αB.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥bD.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α【答案】C【解析】本题考查考生对空间直线、平面间的位置关系的判断,考查考生分析问题、解决问题的能力.对于A,只有m,n相交时结论才成立;对于B,还有可能a⊂α;对于D,只有当a,b相交时结论才成立;对于C,该结论是两平面平行的性质定理,是真.故选C.6．将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.通解将y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=sin2(x+φ)+1的图象,此时y=sin 2(x+φ)+1=2cos2x,即sin 2(x+φ)=cos 2x,因而2φ=+2kπ,k∈Z,那么,由选项可知φ可以取的值为,故选C.优解由已知,可以将y=2cos2x的图象作相应的逆变换,先向下平移1个单位长度得到函数y=2cos2x-1的图象,即y=cos 2x的图象,而y=cos 2x=sin(2x+),因而将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin 2x的图象,因而φ可以取的值为,故选C.7．已知x,y满足不等式组,则目标函数z=()x×4y的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了创新,要求考生具有一定的转化意识.通过不等式组作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),B(0,),求z=()x×4y=22y-x 的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=()x×4y的最小值为1,故选A.8．执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为A.f(x)=sin xB.f(x)=e xC.f(x)=ln x+x+2D.f(x)=x2【答案】C【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键.当输入f(x)=sin x时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入f(x)=e x时,f(x)=e x不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入f(x)=ln x+x+2时,f(x)=ln x+x+2既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入f(x)=x2时,由于f(x)=x2是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选C.9．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=×π×12×2=π,故选C.10．已知函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为A.-B.C.1D.e【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=-.11．已知A1,A2分别为双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:x=1与x 轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活变通能力.通解由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为y=k(x+2),由已知k>0,则由得(9-4k2)y2-36ky=0,易知9-4k2≠0,因而P(,),所以,则直线PA2的方程为y=(x-2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,-),因而×3×3k=×1×,得k=,故选B.优解由已知,P为双曲线-=1上的点,则,又直线PA1的方程为y=(x+2),交直线l于B1(1,3),直线PA2的方程为y=(x-2),交直线l于B2(1,-),由于P为第一象限内的点,因而>0,则×3×3×1×,即92=,从而,故选B.12．在等差数列{a n}中,a3=-2,a5=4,若存在正整数m,使得为数列{a n}中的项,则所有满足条件的m的值的和为A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,考查考生的推理论证能力.由条件可先求出{a n}的通项公式,然后由为数列{a n}中的项,可得出a m=1或a m=-2,从而求出m的值.在等差数列{a n}中,由a3=-2,a5=4,得公差d=3,所以a n=a3+(n-3)d=3n-11.因为=a m+9+,且a n=3n-11=3(n-4)+1, 所以要使为数列{a n}中的项,必须是3的倍数,于是a m在±1,±2,±3,±6中取值,但由于a m-1是3的倍数,所以a m=1或a m=-2.由a m=1得m=4;由a m=-2得m=3.当m=4时,=a13;当m=3时,=a3.所以所求m的值的和为7.二、填空题：共4题13．如图是某样本的频率分布直方图,已知数据不超过10的频数为10,则根据频率分布直方图可知该样本的容量为.【答案】50【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考对于统计知识的考查以基础知识为主,往往比较简单,但覆盖面比较广,复习时要注意全面到位.由已知的频率分布直方图,可得数据不超过10时对应的矩形的高为0.04,而组距为5,因而对应的频率为0.2,因而样本容量为=50.14．若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数学思想.解题时,根据题意求出椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2.由已知得,a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4.15．已知菱形ABCD的边长为,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使A,C两点间的距离为,则所得三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积或体积的运算,复习时注意把握难度.由已知,∠BAD=60°,菱形ABCD的边长为,且折起后AC=,设△BCD的外接圆圆O1的半径为r,则由正弦定理得,2r==2,因而圆O1的半径r=1,则三棱锥的高h=,设外接球半径为R,则R2=(h-R)2+r2,即R2=2-2R+R2+1,得R=,则该球的表面积为4πR2=4π×.16．已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P是以C为圆心,且与BD相切的圆上的动点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为.【答案】2【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算是解题的关键.由已知分别以AD,AB所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,1),B(0,2),D(1,0),直线BD的方程为2x+y-2=0,圆C的半径为R=,则圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=,由=λ+μ,得=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆C上,因而,(λ-1)2+(2μ-1)2=,设λ=1+cosθ,2μ=1+sinθ,则λ+μ=+cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时λ+μ取得最大值2.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b,1),n=(2a-c,cos C),且m∥n.(1)若b2=ac,试判断△ABC的形状;(2)求y=1-的值域.【答案】(1)由已知,m∥n,则2b cos C=2a-c,由正弦定理, 得2sin B cos C=2sin(B+C)-sin C,即2sin B cos C=2sin B cos C+2cos B sin C-sin C,在△ABC中,sin C≠0,因而2cos B=1,则B=.又b2=ac,b2=a2+c2-2ac cos B,因而ac=a2+c2-2ac cos,即(a-c)2=0,所以a=c,△ABC为等边三角形.(2)y=1-=1-=1-2cos A(cos A-sin A)=sin 2A-cos 2A=sin(2A-),其中A∈(0,).因而所求函数的值域为(-1,].【解析】本题考查解三角形的基础知识.第(1)问通过向量平行,结合正、余弦定理,利用两角和的正弦公式进行求解;第(2)问是关于角A的三角函数的值域问题,利用二倍角公式,将函数化为常见的y=M sin(ωx+φ)的形式,再求函数的值域.【备注】判断三角形的形状,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个定理,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.18．甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品,现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:(1)根据表中数据,估计甲、乙两种产品的合格率;(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,再从这5件甲产品中随机抽取2件,求这2件产品全是合格品的概率.【答案】(1)甲产品的合格率为P1=.乙产品的合格率为P2=.(2)由题意,若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,则其中恰有1 件次品,4 件合格品,因而可设这5件甲产品分别为a,b,c,d,E,其中小写字母代表合格品,E代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10种,设“这2件产品全是合格品”为事件M,则事件M所包含的情况为ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.由古典概型的概率计算公式,得P(M)=.【解析】本题考查统计的基础知识,考查古典概型概率的求解方法.【备注】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点,但是在解题中需要提醒的是:①认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频率分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;②分清所求概率的类型,是古典概型、还是几何概型等;③将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并加强知识整合能力,特别是加强知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.19．如图,异面直线AB,CD互相垂直,CF是它们的公垂线段,且F为AB的中点,作DE//CF,连接AC,BD,G为BD的中点,AB=AC=AE=BE=2.(1)在平面ABE内是否存在一点H,使得AC∥GH?若存在,求出点H所在的位置,若不存在,请说明理由;(2)求三棱锥G-ACD的体积.【答案】(1)取BE的中点M,连接GM,EF,作MH∥AB交EF于H,则点H为FE的中点,MH∥BF∥FA.连接GH,则GM∥DE∥CF,易知∠GMH=∠CFA=,从而△GHM∽△CAF,从而AC∥GH,即存在点H满足题设要求,且点H为FE的中点.(2)由于G为BD的中点,∴点G到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的一半,∴V G-ACD=V B-AC D.又V B-ACD=V D-ABC,由题意知CD⊥平面ABC,AB=AC=AE=BE=2,∴CD=CF=,S△ABC=×2×,V D-ABC==1.∴V G-ACD=V D-ABC=.【解析】本题脱离开以常规的几何体为载体的考查方式,考查立体几何中线线平行的位置关系及几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性,切忌推证过程过于简略,推理条件列举不全面.【备注】求解立体几何题时,要求“四会”:①会画图——根据题设条件画出符合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),且所作图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系;③会分析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补,从而求得答案.20．已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m:x+y-2=0上的动点,且点P的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时,圆心在抛物线C上,与直线l相切,且过点P的圆的个数.【答案】(1)直线AB的方程是y=2(x-),代入y2=2px,得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=,∴p=2,∴抛物线C的方程是y2=4x.(2)解法一由题意知l:x=-1,F(1,0).∵所求圆的圆心在抛物线上,且与直线l相切,则圆过焦点F,又圆过点P,∴圆心在线段PF的中垂线上,设P(a,2-a),则线段PF中点的坐标为(,),当a≠1,a≠2时,k PF=,∴线段PF的中垂线方程为y=(x-)+,化简得y=x+①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数,将x=代入①得y2-y+=0,判别式Δ=1-4··=1+,∴当a=-1时,交点有1个,圆有1个;当a<-1时,交点有0个,圆有0个;当a>-1,且a≠1,a≠2时,交点有2个,圆有2个.而当a=2时,易验证有2个交点,圆有2个;当a=1时,易知交点有1个,圆有1个.综上所述:当a<-1时, 圆有0个;当a=±1时, 圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.解法二设圆心Q(x0,y0)(=4x0),P(a,2-a),由于准线l:x=-1,故若存在圆Q满足条件,则r=|PQ|=,且r=|x0+1|,∴(x0-a)2+(y0+a-2)2=(x0+1)2,即a2++2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a)+1,整理得(1-a)+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0(*),当a=1时,(*)式即-4y0+2=0,有1个解.当a≠1时,(*)式中Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),∵2a2-6a+5=2(a-)2+>0,∴当a>-1时,Δ>0,(*)式有2个解;当a=-1时,Δ=0,(*)式有1个解;当a<-1时,Δ<0,(*)式无解.综上,当a<-1时,圆有0个;当a=±1时,圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.【解析】本题主要考查抛物线的概念、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力、运算求解能力.第(1)问通过抛物线的几何性质直接求解;第(2)问是探究性问题,将圆的个数转化为方程根的个数进行求解.【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查椭圆和抛物线的方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与定点、定值等有关的综合问题.一般地,第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.21．已知函数f(x)=x ln x+x,g(x)=-(x>0).(1)讨论f(x)在区间[t,t+e](t>0)上的单调性;(2)是否存在直线y=b(b∈R),使得函数f(x)与g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)?若存在,请求出实数b的值(或取值范围);若不存在,请说明理由.【答案】(1)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<t<时,在[t,)上,f'(x)<0,在(,t+e]上,f'(x)>0,因此f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增.当t≥时,在[t,t+e]上,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在[t,t+e]上单调递增.综上所述,当0<t<时,f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增;当t≥时,f(x)在[t,t+e]上单调递增.(2)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故f(x)min=f()=-.而g(x)=-(x>0),g'(x)=,当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=-.所以f(x)≥-≥g(x),故函数f(x)与函数g(x)的图象恒在直线y=-的两侧(相切),所以b=-.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,同时对分类讨论、化归与转化等思想进行了深入考查.(1)由于f'(x)=0的根与t的大小关系不确定,故需要分类讨论;(2)注意抓住直线y=b(b∈R)的特殊性(是水平线),所以题目的本质是探究是否存在水平直线,使得f(x)与g(x)的图象一个在上一个在下,故将问题转化为研究两个函数的最大值和最小值即可.【备注】函数与导数解答题的基本特点是人人能入手,但很少人能够走到最后,设问模式一般有并列小问研究不同侧面和层层递进型两种,研究类型主要有:(1)利用导数研究函数的单调性、极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数研究函数零点的个数、图象的位置关系等.在解决这些问题时,恰当构造函数是关键.22．如图,等腰三角形ABC内接于☉O,AB=AC,MN为☉O在点C处的切线,过点B作MN的平行线,交AC于点E,交☉O于点.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6,BC=4,求EC的长.【答案】(1)由已知BD∥MN,MN为☉O在点C处的切线,∴,∴∠CDB=∠CBD,又同弧所对的圆周角相等,∴∠CAD=∠CBD,∠CAB=∠CDB,即∠CAD=∠CAB=∠BAE,又∠ACD=∠ABE,且AB=AC,因而△ABE≌△ACD.(2)在△ABC与△BCE中,由(1)知∠CAB=∠CBE,且∠BCE=∠ABC,∴△ABC∽△BCE,则,因而EC=.【解析】本题考查三角形全等的证明、三角形相似等知识,对考生能力的要求比较高.23．在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-3,-),曲线C的极坐标方程为ρ=5,直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=8,求直线l的直角坐标方程.【答案】(1)由ρ=5⇒ρ2=25,得x2+y2=25,即曲线C的直角坐标方程为x2+y2=25.(2)设直线l的参数方程为(t为参数),①将参数方程①代入圆的方程x2+y2=25,得4t2-12(2cosα+sinα)t-55=0,∴Δ=16[9(2cosα+sinα)2+55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为t1、t2,∴|AB|=|t1-t2|==8,化简有3cos2α+4sinαcosα=0,解得cosα=0或tanα=-,从而可得直线l的直角坐标方程为x+3=0或3x+4y+15=0.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用极坐标与直角坐标之间的互化公式即可产生结论;第(2)问利用直线的参数方程中参数的几何意义产生结论.24．已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式|f(x)-1|<ax+;(2)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤.【答案】(1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为|-x2+x|<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-<x<0;②当0≤x≤1时,不等式化为-x2+x<-x+,∴0≤x<.综上,原不等式的解集为{x|-<x<}.(2)由已知x∈[-1,1],∴|x|≤1,又|a|≤1,则|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-(|x|-)2+≤ .【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解及证明,求解过程中,分类讨论思想的运用很关键.。

百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第九模拟）一、选择题：共12题1．设直角坐标系xOy内的一点P(m,n),且满足(i是虚数单位),则mn=A.-2B.2C.-3D.3【答案】D【解析】本题主要考查考生对相关概念的理解和复数的运算.因为,所以m=1,n=3,mn=3.选择D.2．已知集合A={y|y=,x∈(0,2)},B={x|y=lg(2x+1)},则A∪B=A.(-1,-)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)∪[-,+∞)D.(-1,-]【答案】B【解析】本题主要考查函数的定义域、值域,集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,属于容易题.因为y==1-在(0,2)上是增函数,所以y∈(-1,),即A=(-1,),由已知得B=(-,+∞),所以A∪B=(-1,+∞). 3．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.6B.10C.2D.【答案】C【解析】本题考查由三视图还原直观图的方法、三棱锥的体积,考查考生的空间想象能力及计算能力.由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以该几何体的体积为V=×3×4×=2,选择C.4．设点P是△ABC所在平面内的一点,+2+3=4,且△ABC的面积为S,则下列判断正确的是A.点P在△ABC外,且△APC的面积为S B.点P在△ABC外,且△APC的面积为SC.点P在△ABC内,且△APC的面积为SD.点P在△ABC内,且△APC的面积为S【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理.寻找点P的位置及合理利用三角形的面积公式是求解本题的关键.由+2+3=4,得=-+,根据平面向量基本定理,作出图形,由此知△APC与△ABC的底相同,都是AC,高的比等于,则它们面积的比也是,即△APC的面积为S,故选择A.5．设0<a<1,0<b<1,曲线C1:y=e x+,C2:y=x+1+b,则曲线C1与C2有交点的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查几何概型与定积分,考查考生对几何概型的理解与应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.曲线C1与C2有交点等价于方程e x-x-1=b-有解,因为e x-x-1≥0在[0,+∞)上恒成立,所以b-≥0,即b≥.易知基本事件空间Ω={(a,b)|},记事件A为“曲线C1与C2有交点”,则A对应的集合为{(a,b)|b≥},又d x=,所以P(A)=,选择D.6．已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<|φ|<π)的部分图象如图所示,则满足|f(x)|<1的f(x)的单调递减区间是A.(3+4kπ,4+4kπ),k∈ZB.(1+2k,2+2k),k∈ZC.(3+4k,4+4k),k∈ZD.(1+2kπ,2+2kπ),k∈Z【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查考生灵活应用知识的能力.-=1,∴T=4,ω=,又+φ=kπ(k∈Z),<|φ|<π,∴φ=-,又A sin(0-)=-1,∴A=,∴f(x)=sin(x-).易知满足题意的条件为π+2kπ<x-π<+2kπ,k∈Z,化简得3+4k<x<4+4k,k∈Z,故选择C.7．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,直线PO、PF2分别交双曲线C的左、右两支于另一点M、N,且|PF1|=2|PF2|,∠MF2N=60°,则双曲线C的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线的几何性质、余弦定理等知识,考查考生的计算能力与数形结合能力,属于中档题.由题意得|PF1|=4a,|PF2|=2a,由∠MF2N=60°,可得∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos 60°,即可求出双曲线C的离心率.∵|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,∵∠MF2N=60°,∴∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos 60°,∴c=a,∴e=.故选B.8．设实数x,y满足,定义:max{a,b}=.记z=max{x+2y+2,2x+3y-1},则z的最大值与最小值的和为A.11B.7C.8D.14【答案】A【解析】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域,考查考生分析和处理问题的能力.当2x+3y-1-(x+2y+2)=x+y-3≥0时,z=2x+3y-1,作出所表示的平面区域如图1中的阴影部分所示,分析可知5≤z≤9;当x+y-3≤0时,z=x+2y+2,作出所表示的平面区域如图2中的阴影部分所示,分析可知2≤z≤8.综上所述,2≤z≤9,所以z的最大值与最小值的和为9+2=11.选择A.图1图29．已知二项式(x2-3x+2)4=x8+a1x7+…+a6x2+a7x+a8,则a6+a8=A.264B.256C.248D.246【答案】A【解析】本题考查二项式定理,考查考生的运算求解能力.通解因为=(1-x)4(2-x)4,先计算a6的值,由通项知,,所以·.依题意,令r1+r2=2,则或或,所以a6=4+8+16=248,同理可求得a8=16,则a6+a8=264.选择A.优解=(x-1)4(x-2)4=(x4-4x3+6x2-4x+1)(x4-8x3+24x2-32x+16),则a6=6×16+(-4)×(-32)+1×24=248,a8=1×16=16,所以a6+a8=264.10．在一个有穷数列中,每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一次“H扩展”后得到1,3,2;第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2.那么第十次“H扩展”后得到的数列的项数为A.1 023B.1 025C.513D.511【答案】B【解析】本题考查了数列的新情境问题及等比数列的判断与应用,解题的关键在于构造等比数列.设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a n,则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a n+1=2a n-1,∴=2,又a1-1=3-1=2,∴{a n-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n-1=2·2n-1=2n,∴a n=2n+1,∴a10=210+1=1 025.故选B.11．若存在实数m,n(m<n),使得e-x≥的解集恰好为[m,n],则实数a的取值范围是A.(,)B.(0,]C.(-∞,]D.(0,)【答案】C【解析】本题考查不等式的有解区间与在区间上存在解的差别,考查考生综合运用所学知识分析、解决问题的能力.当x>0时,a≤存在解集区间,则a≤()max,令F(x)=,F'(x)=,易得F(x)≤F(1)=,故a≤;当x<0时,a≥存在解集区间,则a≥()min,又()min无限趋近于-∞.结合题意,得a的取值范围是(-∞,].12．设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若△ABC的面积为2,AB边上的中线长为,且b=a cos C+c sin A,则△ABC中最长边的长为A.2或2B.4C.4或2D.2【答案】C【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,考查了考生的推理能力与计算能力.由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C),展开化简可得tan A=1,结合A∈(0,π),可得A=,利用S△ABC=bc sin A=2,可得bc=4,在△ACD中,由余弦定理解得b,c,进而在△ABC 中利用余弦定理得出结果.如图所示,设D为AB的中点.∵b=a cos C+c sin A,∴由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin C sin A=cos A sin C,∵sin C≠0,∴tan A=1,又A∈(0,π),∴A=.∵S△ABC=bc sin A=2,∴bc=4.在△ACD中,由余弦定理可得()2=b2+()2-2b×cos,化简得4b2+c2=24,与bc=4联立可得b=,c=4或b=2,c=2.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos,解得a=或2.∴△ABC的边长分别为,,4或2,2,2.故△ABC的最长边的长为4或2.二、填空题：共4题13．已知函数f(x)=,则f(x)+2≤0的解集为.【答案】[-,0)∪[4,+∞)【解析】本题考查分段函数的应用、不等式的解集等.不等式f(x)+2≤0等价于或,解得-≤x<0或x≥4,故不等式f(x)+2≤0的解集为[-,0)∪[4,+∞). 14．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是.【答案】29【解析】本题主要考查程序框图,考查考生的识图能力,属于中档题.执行题图中的程序框图,列表如下:15．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,∠AEB=60°,则四棱锥E-ABCD的外接球的表面积为.【答案】16π【解析】本题考查四棱锥E-ABCD的外接球的表面积,考查考生的计算能力,正确求出四棱锥E-ABCD的外接球的半径是关键.设球心到平面ABCD的距离为d,∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,∠AEB=60°,∴点E到平面ABCD的距离为,∴R2=()2+d2=12+(-d)2,∴d=,R2=4,∴四棱锥E-ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π.16．设直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点(两点可以重合),已知O为坐标原点,若直线OA和OB的倾斜角互余,则抛物线C的焦点F到直线l的距离的取值范围是.【答案】(0,]【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、点到直线的距离公式等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.易知直线OA,OB的斜率存在,且均大于零,设直线OA:y=kx(k>0),则直线OB:y=x,联立,得k2x2-4x=0,得A(,),同理得B(4k2,4k).当k=1时,A(4,4)和B(4,4)重合,此时直线l是抛物线的切线,则l的方程为x-2y+4=0,此时点F(1,0)到直线l的距离为.当k≠1时,k AB=,直线AB:y-4k=(x-4k2),令y=0,得x=-4,即直线AB过定点(-4,0),点F(1,0)到直线l的距离d==5,由函数f(t)=t++3在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,易知f(t)min=f(1)=5,所以d max=.故点F到直线l的距离的取值范围为(0,].三、解答题：共8题17．已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和T n.【答案】(1)因为S n=n2+n,所以S n-1=n2-n(n≥2).所以a n=S n-S n-1=2n(n≥2),当n=1时,a1=S1=2也满足上式,所以a n=2n.(2)由(1)知S n=n(n+1),所以,所以T n=+++…+,所以T n=+++…+,两式相减得T n=+++…+-,所以T n=-,所以T n=2-.【解析】本题主要考查a n与S n的关系、错位相减法求和等,考查考生的运算求解能力,属于基础题.(1)由a n与S n的关系求出a n;(2)利用错位相减法求和.【备注】数列是高考的热点内容,但是无论怎样,肯定少不了考查数列(包括等差数列与等比数列)的基本概念、基本公式,如通项公式、前n项和公式(公式法、错位相减法、裂项相消法)的理解与记忆,与函数、不等式、方程等知识交汇仍然是这类问题的常见规律,万变不离其宗,考生在复习备考中只要把数列部分的基础知识落实好,就能在高考中游刃有余,解题时得心应手.18．如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是平行四边形,AB=AD=2a,BD=2a,点M是PC的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角P-AD-M的大小.【答案】(1)∵AB=AD=2a,BD=2a,∴平行四边形ABCD是菱形,AC⊥BD,∴cos,则∠ABC=,∴△ABC和△ACD都是正三角形,取AD的中点为N,连接PN,CN,∴CN⊥AD.又△PAD为正三角形,∴PN⊥AD,又CN∩PN=N,∴AD⊥平面PNC,∵PC⊂平面PNC,∴PC⊥AD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD, ∴PN⊥平面ABCD,∵CN⊂平面ABCD,∴PN⊥N C.∴建立如图所示的空间直角坐标系N-xyz,则N(0,0,0),C(a,0,0),A(0,-a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),M(a,0,a),则=(a,0,a), 设平面ADM的一个法向量为n=(x,0,1),∴·n=ax+0+a=0,得x=-1,因此n=(-1,0,1).∵x轴⊥平面PAD,∴平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0).设二面角P-AD-M的大小为θ,由图可知0<θ<,则cosθ=,故二面角P-AD-M的大小为.【解析】本题考查线线垂直的证明及二面角的求解,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.(1)利用线面垂直的判定定理和性质即可证明;(2)利用空间向量法求解.【备注】高考立体几何部分的题目难度不会太大,其考查方向主要有以下几点:(1)直接结合给出的几何体的直观图,考查线线、线面、面面的位置关系(平行、垂直为主),考查空间角的求解;(2)以三视图为背景,要求考生先还原几何体的直观图,再考查第(1)点的内容;(3)将立体几何知识与实际问题相结合,利用数学知识解答实际问题.19．在研究塞卡病毒某种疫苗的过程中,为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现P症状的情况,做接种试验.试验设计为每天接种一次,连续接种3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现P症状的概率为,假设每次接种后当天是否出现P症状与上次接种无关.(1)若出现P症状即停止试验,求试验至多持续一个接种周期的概率;(2)若在一个接种周期内出现2次或3次P症状,则这个接种周期结束后终止试验,试验至多持续3个周期.设接种试验持续的接种周期数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)记“试验持续j(j=1,2,3)天”为事件A j,记事件A为“试验至多持续一个接种周期”,所以P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,因此P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.(2)随机变量ξ=1,2,3,记事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次P症状”,则P(ξ=1)=P(C)=()2×+()3=,P(ξ=2)=(1-P(C))×P(C)=(1-)×,P(ξ=3)=(1-P(C))×(1-P(C))×1=(1-)×(1-)×1=.所以ξ的分布列是ξ的数学期望是Eξ=1×+2×+3×.【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.(1)利用互斥事件的概率加法公式即可求出试验至多持续一个接种周期的概率;(2)随机变量ξ可以取1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.【备注】解决概率问题时,一定要根据有关概念,判断事件是等可能事件、互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的情况,以便选择正确的计算方法,同时还要注意上述各类事件的综合问题.20．已知两点F1(-,0)和F2(,0),点P(x,y)是平面直角坐标系xOy内的一动点,且满足|+|+|+|=4,设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设曲线C上的两点M,N均在x轴的上方,且∥,点R(0,2)是y轴上的定点,若以MN为直径的圆恒过定点R,求直线F1M的方程.【答案】(1)因为+=(x-,y),+=(x+,y),由|+|+|+|=4,得+=4,表示点P(x,y)到点F1(-,0),F2(,0)的距离之和为定值4,由椭圆的定义得轨迹C的方程为+y2=1.(2)设直线F1M:x=my-,且与曲线C的另一个交点为N',设M(x1,y1),N'(x2,y2),由于∥,结合椭圆的对称性知,N(-x2,-y2),联立⇒(m2+4)y2-2my-1=0,Δ=16(m2+1)>0,则y1+y2=,y1y2=-,y1-y2=|y1-y2|=.因为=(x1,y1-2)=(my1-,y1-2),=(-x2,-y2-2)=(-my2+,-y2-2),所以·=(my1-)(-my2+)+(y1-2)(-y2-2)=0,即-(m2+1)y1y2+m(y1+y2)-2(y1-y2)+1=0,于是m2+1+6m2-8+m2+4=0,解得m=±,所以直线F1M的方程是x=±y-.【解析】本题考查椭圆方程的求解及直线与椭圆的位置关系,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.(1)根据点的坐标及已知条件运算即可求解;(2)设出直线F1M的方程,联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系求解.【备注】高考对圆锥曲线的考查往往是根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程,并在此基础上联立直线与圆锥曲线的方程,由根与系数的关系得到含有参数的等式或不等式,进一步研究参数的取值范围、中点弦问题、弦长或面积的最值问题等.21．设函数f(x)=cos x-1+mx2(x∈R,m∈R).(1)当m=时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)当m=时,f(x)=cos x-1+x2,则f'(x)=-sin x+x,设g(x)=-sin x+x,因为g'(x)=-cos x+1≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(0)=0,所以当x≥0时,f'(x)=g(x)≥g(0)=0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数;当x<0时,f'(x)=g(x)<g(0)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,sin x≤x,于是f'(x)=-sin x+2mx≥-x+2mx=(2m-1)x,(i)若2m-1≥0,即m≥,当x≥0时,f'(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,因此当x≥0时,f(x)≥f(0)=0.(ii)若m≤0,则存在x>0,使得f(x)=cos x-1+mx2≤cos x-1<0,因此当x≥0时,f(x)≥0不恒成立.(iii)若0<m<,f'(x)=-sin x+2mx,令φ(x)=-sin x+2mx,则φ(0)=0,由φ'(x)=-cos x+2m=0,得cos x=2m∈(0,1),则存在x0∈(0,),且cos x0=2m,当x∈(0,x0)时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,f'(x)=φ(x)<φ(0)=0,所以f(x)在(0,x0)上单调递减,所以存在x∈(0,x0),使得f(x)<f(0)=0,因此当x≥0时,f(x)≥0不恒成立.综上,实数m的取值范围是[,+∞).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等.(1)求导,利用导函数的符号确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论及不等式恒成立对m分类讨论,进而求出m的取值范围.【备注】利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法是转化,把问题转化为研究函数的单调性或最值问题,通过单调性或最值得出结论.本题就是本着这种思想命制的,其背景选自2012年辽宁卷中选择题的选项x≥0,cos x≥1-x2的结论,并且结合了考试中心的风格.22．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆O与BC交于点E.(1)求证:CE·CB=AD·DB;(2)若BE=4,点N在线段BE上移动,∠ONF=90°,NF与☉O相交于点F,求NF长度的最大值. 【答案】(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴CD2=AD·DB.∵CD是圆O的切线,由切割线定理得CD2=CE·CB,∴CE·CB=AD·DB.(2)连接OF,∵ON⊥NF,∴NF=,∵线段OF的长度为定值,∴需求线段ON长度的最小值,易知弦中点到圆心的距离最短,此时N为BE的中点,点F与点B或点E重合,∴(NF)max=BE=2.【解析】本题考查两组线段乘积相等的证明、线段长度最大值的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.(1)由∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,得到CD2=AD·DB,由此利用切割线定理即可证明CE·CB=AD·DB;(2)由NF=,线段OF的长度为定值,知需求线段ON长度的最小值,由此即可求出结果.23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.【答案】(1)对于曲线C1有x+y=1,对于曲线C2有+y2=1.(2)显然曲线C1:x+y=1为直线,则其参数方程可写为(α为参数),与曲线C2:+y2=1联立,可得5α2-12α+8=0,可知Δ>0,所以C1与C2存在两个交点,由α1+α2=,α1α2=,得两交点间的距离d=|α2-α1|=【解析】无24．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+x.(1)解不等式f(x)-g(x)≥|x+1|;(2)若存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)依题意,得g(x)=-f(-x)=-x2+x,则f(x)-g(x)=2x2,于是原不等式为2x2≥|x+1|,等价于或,解得x<-1或-1≤x≤-或x≥1,因此原不等式的解集为(-∞,-]∪[1,+∞).(2)存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,等价于a≥[f(x)-g(x)-|x+1|]min,令h(x)=f(x)-g(x)-|x+1|=2x2-|x+1|,则h(x)=,所以h(x)min=h()=-.所以a≥-,即实数a的取值范围是[-,+∞).【解析】本题考查绝对值不等式的求解及不等式的存在性问题,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.(1)分类讨论求解;(2)转化为函数的最值求解.。

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