二次函数最全面的复习讲义
学习目标
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
知识网络
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
二、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
三、
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
类型一：二次函数的概念
1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．
(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝
ax2+3x+6；
(6)．
【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )
A. B. C.
D.
【变式2】如果函数是二次函数，求m的值
类型二、求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．
【答案】或．
【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.
【答案】
∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
∴y=x2-2x-3为所求,
∵x=1时y=-4，
∴M(1，-4).
课堂练习
1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式
【答案与解析】
本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象
与轴的另一个交点的坐标.
【答案】
（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为
3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【答案与解析】
解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．
则有解得∴抛物线解析式为
．
解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．
由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．
又，∴∴抛抛物物解析式为．
课后巩固练习
一、选择题
1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．
A． B． C． D．
2．二次函数有( )
A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-6
3．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）
A.y=3(x－3)2+2
B.y=3(x+3)2+2
C.y=3(x－3)2－2
D.y=3(x+3)2－2
4．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )
A.(2，3)
B.(3，2)
C.(3，3)
D.(4，3)
5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
Y -27 -13 -3 3 5 3
则当x＝1时，y的值为 ( )
A．5 B．-3 C．-13 D．-27
二、填空题
7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．
第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．
9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；
10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．
11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
…-1 0 1 …
