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1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：
（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++
解：（1）()
121222()jv X X jvX jv X jvX
X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤
⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
12
21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立
（2）()
1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣
⎦
1253612jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 6
12(5)(3)jv e v v φφ=
2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ (2) 当,t t τ+在同一个时隙时：
[]222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯=
当,t t τ+不在同一个时隙时：
[][][](,)()()()()0.20.20.04
X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=
（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++
3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0
ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。
（1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；
（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解：
（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，因此非独立。
根据题意有
1
2f ()θπ
=
。
[]001
sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π
π
ωθθπ
-
=+Θ=
+=⎰， []001
cos()02E[Y(t )]E t cos(w t )d π
π
ωθθπ
-
=+Θ=
+=⎰ {}121212010201020120120121
211
242
XY XY C (t ,t )R (t ,t )E[X (t )Y(t )]E[sin(w t )cos(w t )]
sin(w t )cos(w t )d sin[w (t t )]sin[w (t t )]d sin[w (t t )]π
ππ
π
θθθθθπ
θθπ-
-
===++=++=
+++-=-⎰⎰
由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性
无关。
除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，
所以1
X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。
（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )均值平稳。
[]
120102010201201201201
21
2411
22
X R (t ,t )E sin(w t )sin(w t )sin(w t )sin(w t )d {cos[w (t t )]cos[w (t t )]d cos[w (t t )]cos(w )π
ππ
π
θθθθθπ
θθπ
τ-
-
=++=++=
-+++-=-=⎰⎰
同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。
由于1212012011
22XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和
Y(t)联合广义平稳。
4.（10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中cω均为常数）？如果不能，请写出理由。
（1）
cos() ||
4 ()
c
c
R
π
ωττ
ω
τ
⎧
≤
⎪
=⎨
⎪
⎩其它
（2）
cos() ||
2
()
c
c
R
π
ωττ
ω
τ
⎧
≤
⎪
=⎨
⎪
⎩其它
（3）
10
cos() ||
()
c
c
R
π
ωττ
ω
τ
⎧
≤
⎪
=⎨
⎪
⎩其它
（4）()=cos() ||
c
Rτωττ≤∞
解：（1）不能，因为零点连续，而
4/
π点不连续。
（2）能。
（3）不能，因为
2
c
R()R()
π
ω
=，而R()
τ又不是2
c
/
πω的周期函数。
（4）能。
5.（10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的
双边功率谱密度0 1 W/Hz
2
N
=，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。
解：系统的传递函数为()
1
1
R
H j
R j L j
ω
ωω
==
++，
则系统输出功率谱密度为
