第2章 习题
2-1 a) 试证明均匀形核时，形成临界晶粒的△G K 与其临界晶核体积V K 之间的关系式为2
K K V V G G ∆=-∆； b) 当非均匀形核形成球冠形晶核时，其△G K 与V K 之间的关系如何？
a) 证明 因为临界晶核半径 2K V
r G σ=-∆ 临界晶核形成功 3
2163()
K V G G πσ∆=∆ 故临界晶核的体积 3423K K K V
r G V G π∆==∆ 所以 2
K K V V G G ∆=-∆ b) 当非均匀形核形成球冠形晶核时，SL 2K V
r G σ=-∆非 临界晶核形成功 3324(23cos cos )3()K SL V G G πσθθ∆=-+∆非
故临界晶核的体积 331(23cos cos )3
K K V r πθθ=-+非（） 3333SL 3281(23cos cos )(23cos cos )33()
SL K V V V V V G G G G σπσπθθθθ∆=--+∆=-+∆∆() 所以 2
K K V V G G ∆=-
∆非 2-2 如果临界晶核是边长为a 的正方体，试求出其△G K 与a 的关系。为什么形成立方体晶核的△G K 比球形晶核要大？
解：形核时的吉布斯自由能变化为
326V V G V G A a G a σσ∆=∆+=∆+ 令()0d G da
∆= 得临界晶核边长4K V a G σ=-
∆ 临界形核功
333
3222244649632()6()()()()K t
K V K V V V V V V G V G A G G G G G G σσσσσσσ∆=∆+=-∆+-=-+=∆∆∆∆∆ 2K V
r G σ=-∆，球形核胚的临界形核功 3
32242216()4()33()K b
V V V V G G G G G σσπσππσ∆=-∆+=∆∆∆ 将两式相比较
3
232
163()13262
()K K b V t V G G G G πσπσ∆∆==≈∆∆ 可见形成球形晶核得临界形核功仅为形成立方形晶核的1/2。
2-3 为什么金属结晶时一定要有过冷度？影响过冷度的因素是什么？固态金属熔化时是否会出现过热？为什么？
答：金属结晶时要有过冷度是相变热力学条件所需求的，只有△T>0时，才能造成固相的自由能低于液相的自由能的条件，液固相间的自由能差便是结晶的驱动力。
金属结晶需在一定的过冷度下进行，是因为结晶时表面能增加造成阻力。固态金属熔化时是否会出现过热现象，需要看熔化时表面能的变化。如果熔化前后表面能是降低的，则不需要过热；反之，则可能出现过热。
如果熔化时，液相与气相接触，当有少量液体金属在固体表面形成时，就会很快覆盖在整个固体表面(因为液态金属总是润湿其同种固体金属)。熔化时表面自由能的变化为：
()GL SL SG G G G A σσσ∆=-=+-表面终态始态
式中G 始态表示金属熔化前的表面自由能；G 终态表示当在少量液体金属在固体金属表面形成时的表面自由能；A 表示液态金属润湿固态金属表面的面积；σGL 、σSL 、σSG 分别表示气液相比表面能、固液相比表面能、固气相比表面能。因为液态金属总是润湿其同种固体金属，根据润湿时表面张力之间的关系式可写出：σSG ≥σGL +σSL 。这说明在熔化时，表面自由能的变化△G 表≤0，即不存在表面能障碍，也就不必过热。实际金属多属于这种情况。如果固体金属熔化时液相不与气相接触，则有可能时固态金属过热。
液体覆盖在整个固体表面
2-4 试比较均匀形核与非均匀形核的异同点。
答：相同点
1）形核的驱动力和阻力相同；
2）临界晶核半径相等；
3）形成临界晶核需要形核功；
4）结构起伏和能量起伏是形核的基础；
5）形核需要一个临界过冷度；
6）形核率在达到极大值之前，随过冷度增大而增加。
与均匀形核相比，非均匀形核的特点：
1）非均匀形核与固体杂质接触，减少了表面自由能的增加；
2）非均匀形核的晶核体积小，形核功小，形核所需结构起伏和能量起伏就小；形核容易，临界过冷度小；
3）非均匀形核时晶核形状和体积由临界晶核半径和接触角共同决定；临界晶核半径相同时，接触角越小，晶核体积越小，形核越容易；
4）非均匀形核的形核率随过冷度增大而增加，当超过极大值后下降一段然后终止；此外，非均匀形核的形核率还与固体杂质的结构和表面形貌有关。
2-5 说明晶体成长形状与温度梯度的关系。
解：纯金属生长形态是指晶体长大时截面的形貌。界面形貌取决于界面前沿液体中的温度分布。纯金属凝固时，液固相界面前沿的液体过冷区由金属的理论结晶温度和实际温度分布曲
线围成。由于理论结晶温度为定值，因此过冷区的形状仅由实际温度分布所决定。
(1) 平面状界面。当液体具有正温度梯度时，晶体以平界面方式推移长大。此时，界面上任何偶然的、小的凸起深入液体时，都会使其过冷度减小，长大速率降低或停止长大，而被周围部分赶上，因而能保持平界面的推移。长大中晶体沿平行温度梯度的方向生长，或沿散热的反方向生长，而其他方向的生长则受到抑制。
(2) 树枝状平面。当液体具有负温度梯度时，在界面上若形成偶然的凸起伸入前沿液体时，由于前方液体有更大的过冷度，有利于晶体长大和凝固潜热的散失，从而形成枝晶的一次轴。一个枝晶的形成，其潜热使邻近液体温度升高，过冷度降低，因此，类似的枝晶只在相邻一定间距的界面上形成，相互平行分布。在一次枝晶处的温度比枝晶间温度要高，如图(a)中所示的bb断面上TA>TB，这种负温度梯度使一次轴上又长出二次轴分枝，如图(b)所示。同样，还会产生多次分枝的枝晶生长的最后阶段，由于凝固潜热放出，使枝晶周围的液体温度升高至熔点以上，液体中出现正温度梯度，此时晶体长大依靠平界面方式推进，直至枝晶间隙全部被填满为止。
2-6 简述三晶区形成的原因及每个晶区的性能特点。
答：铸锭三晶区的形成原因：
最外层为细小等晶区。其形成是由于模壁的温度较低，液体的过冷度较大，因而形核率较高所致。
中间为柱状晶区。其形成主要是模壁的温度升高，晶核的成长率大于晶核的形成率，且沿垂直于模壁方向的散热较为有利。在细晶区中取向有利的晶粒优先生长为柱状晶。
中心为等轴晶区。其形成是由于模壁温度进一步升高，液体过冷度进一步降低，剩余液体的散热方向性已不明显，处于均匀冷却状态；同时，未熔杂质、破断枝晶等易集中于剩
