《等比数列前n项和的性质》课件

又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，
所以S12＝273.
【类题通法】等比数列前n项和性质应用的关注点
(1)在解决等比数列前n项和问题时，当条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如
果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解．
的值．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意可知，a1＝1，a2＋a4＝1＋d＋1＋3d＝6，解得，d＝1，
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.由(1)中结论，可得a16＝16，所以b2·b4＝q·q3＝16，
所以q2＝4，所以{b2n－1}是以1为首项，以q2＝4为公比的等比数列，通项公式为
a1（1－q5）
a1（1－q10）
所以
＝10，
＝50，
1－q
1－q
两式相除可得1＋q5＝5，
a1
10
所以q ＝4，
＝－ 3 ，
1－q
5
a1（1－q20）
10
S20＝
＝－ 3 ·(1－256)＝850.
1－q
【补偿训练】各项都是正数的等比数列{an}，前 n 项和
记为 Sn，若 S10＝10，S30＝70，求 S40.
②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相
同的项，可得
Sn-qSn＝a1-a1qn，
即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
a1 (1 q n )
Sn
(q 1).(1)

2 其他公式
通项公式的推导过程可以帮助我们得到其他与等比数列相关的公式。
等比数的前n项和
1 求和公式
我们可以通过数学推导得到等比数列前n项和的公式。
2 实例计算
通过使用公式，我们可以计算具体等比数列的前n项和。
应用实例
经济应用
了解等比数列在经济领域中的应 用，如金融市场中的资产增长模 型。
自然科学应用
《等比数列前n项和》 PPT课件
掌握等比数列前n项和的概念和计算方法，以及在经济、自然科学和计算机科 学中的实际应用。
什么是等比数列？
1 定义
等比数列是指数列中的每一项与其前一项的 比都相等。
2 性质
等比数列具有独特的性质，如比值相等、前 项与后项之比等于公比等。
等比数列的通项公式
1 推导公式
根据等比数列的定义和性质，可以推导出等比数列的通项公式。
发现等比数列在自然科学中的应 用，如生物群体的增长规律。
计算机科学应用
探索等比数列在计算机科学领域 中的实际应用，如算法设计和数 据结构。
总结
关键概念和公式回顾
回顾等比数列的关键概念和 通项公式，巩固知识。
应用回顾
再次思考等比数列在经济、 自然科学和计算机科学中的 实际应用。
总结
总结本课件的主要内容，强 调等比数列前n项和的重要性。

1－3n 解：(1)由题设知{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an＝3n－1，Sn＝ 1－3 ＝
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

2.5.2 等比数列前 n 项和的性质
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
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1
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
即S3n＝70.
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5
”
小狐狸狗长得俊俏，又聪明伶俐，和小狐狸、小狗们处得可融洽了，小狐狸们有义务劳动的时候，他去参加。”
蜜蜂循声音望去，果真是热闹非凡，大大小小的苍蝇乱轰轰地飞舞着，蟑螂在爬行，蛆虫在蠕动;地面上乌七糟八的东西更是应有尽有，脏土废纸菜根烂叶，还有不少鱼骨肉渣— —原来是一个兼收并蓄的大垃圾场，这就是苍蝇吹崇备至的居处。”
4
题型1 等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
自主解答：解法一：设数列为{an}，
依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
“玻璃粉屑?”老鹰迟疑了一会。 上海松江注册公司
地主”
那人问：“你怎么了?为什么浑身发抖?” 小老鼠“吱吱”尖叫着说：“我遇见一只猫，吓得要死。最近4年来，我才明白一个人生来不能光为自己，还要为别人服务。， 他家花园里种了一丛樖鳎人们就给他起了个绰号，叫做“樖鞯刂鳌薄 他知道了这个绰号，认为这是对他的嘲弄，便把整个樖鞔匀部砍掉，以为这样一来就不会再有这样一个讨厌的绰号了?可是，树丛砍掉了，还有树桩呢!人们又开始称他为“树桩