2007年全国高考数学（山东卷）试卷分析山东省高考数学阅卷点领导小组一．试卷的整体评价2007年是我省实施普通高中新课程后的首次普通高校全国统一招生考试，命题依据教育部《2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称考试说明）的要求，遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则．努力实现2007年度高考平稳过渡，在稳定的基础上有所创新，基本上延续了前两年我省高考数学自主命题的风格．从试卷整体上看，试题侧重考查中学数学通性通法；突出文理科试题难度的差异及合理搭配；注意考查学生的创新意识和实践能力；重视在知识的交汇点处命题，加强对考生数学能力的综合考查；文理试卷难度设计比较恰当，较去年明显降低，具有较高的区分度、效度和信度．1．实现平稳过渡，突出考查主干知识试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分，占总分的40%；填空题4个，共16分，约占总分的10%；解答题6个，共74分，约占总分的50%，全卷合计150分．全卷重点考查中学数学主干知识和方法(见表1)；侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于知识交汇点的考查．表1：知识点分布表2．全力支持课改，凸现新课标新要求从表1不难发现，考试内容体现了新课标的要求．算法与框图、统计、函数的零点、条件概率和常用逻辑用语，以及文科的复数等课标新增内容在试卷中都有所体现（见表2）．这个调整变化反映了高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路，同时又照顾到试卷涵盖的各部分内容的平衡．并注意对这些新增内容的考查把握适当的难度，注意到这部分内容的应用．如利用统计中的直方图考查学生收集、分析和整理数据的能力以及应用数学的意识；利用程序框图简约地表示解决问题的算法过程等．另外，根据《考试说明》的考试要求的变化，对相应内容的考试要求也进行了调整．如文科（20）立体几何题随着考试要求的改变发生了变化，缩减了考试范围，降低了考试要求；文科（21）题，利用导数研究函数的性质，已不再限于多项式函数，扩展到对数函数等．表2：新课标新增部分内容课时数与在试卷中占分数比例对照表命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．在06年文科试题偏难、分数偏低的情况下，07年数学试卷保持相同题占有比例基本不变（见表3），增加了不同题、减少了姊妹题的个数和分数．如文（9）理（13）题都是解析几何中的抛物线问题，题干完全相同，但文科是选择题，而理科是填空题．由于选择题有选择支可作参考答案，显然文科较理科要求有所降低；理（16）文（14）都是考查基本不等式问题，但是理科题以对数函数图象恒过定点为条件，而文科题以指数函数图象恒过定点为条件，显然文科题要容易一些．另外在应用基本不等式时，理科题更具有技巧性；再如文科第（20）题和理科第（19）题都是立体几何题，虽然几何载体都相同，但是由于文理科考生的考试范围和要求不同，求解的问题和工具也不同，两者化简和运算的难度拉开了档次．不同题更是体现了文理科考生的不同考查要求，如文（21）和对应的理（22）都是利用导数研究函数的性质，但是给出的函数不相同，而且对分类与整合的能力要求也不一样，明显地提高了对理科学生数学能力的考查．这样处理符合新课标对文理科学生有不同学习要求的精神，符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况．4．重视创新意识，保持应用题的考查在数学学习和考试中怎样培养和考查学生的创新意识？怎样避免过多地考查学生死记硬背的内容？命题者在试题结构和解法设计上作了一些尝试，如今年文科立体几何第2小题是一个条件开放的探究性问题；文科15题和理科22题第3小题都需要构造一个函数来求解不等式问题；理（12）题的解法需要构造一个独立重复试验或网格图等，这些构造法要求考生的思维具有一定的灵活性和创新性，以往这种问题只是在数学竞赛中才会出现．应用题是考查实践能力的一个很好的载体，通过设置应用题来考查学生在新的情景中实现知识迁移的能力，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的基本数学素养，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出学生的学习潜力．可以更好的实现新课标中倡导的学生实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．今年高考题文理科均出现一大一小两个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年持平，难度变化不大．今年试卷中文理第（8）题是一个统计应用题．文（19）是一个线性规划的应用题：求解一个公司向两个电视台投放广告获取收益的问题．理（20）是一个正余弦定理的应用题，利用正余弦定理解三角形，求轮船的航速的实际问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，解法灵活多样，难度适中．由此可以让学生平时多去关心周围的社会和生活的世界，培养学生的数学应用意识．表4：应用题分布表5．适度综合考查，提高试题的区分度本次数学试卷的另一个特点是小综合的题目明显增多，很多题目是由多个知识点构成的（见表1打星号的题目）．如：理（9）是充要条件与集合运算、函数性质、不等式、函数的零点等知识的综合；文理（10）是程序框图与等差数列求和的综合；文（9）理（13）是抛物线与向量的综合；理（16）是指数函数、直线方程与基本不等式的综合；文（19）是线性规划在实际问题中的应用；文（17）是三角函数与平面向量的综合；文（21）理（22）是导数与函数的综合等．另外，理科第（9）题含有4个小题，是一个拼盘式的多选题，具有一定的覆盖面．通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高地要求，提高了试题的区分度，体现出高考的选拔功能．应该说这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．6．突出学科特色，彰显数学学科特点数学试卷要突出数学学科特点，数学学科的主要特点是对数学语言的学习和应用．数学语言包括：符号语言、图形语言和文字语言，命题注意考查学生对数学语言的正确理解与规范使用的程度．如文理科第（6）题、第（7）题和理科第（9）题着重数学符号语言的考查；文理科第（3）题、第（8）题、第（10）题突出数学图形语言理解及应用；文科第（19）题和理科第（20）题强化数学语言之间的转化；文科（20）题和理科（19）题，立体几何的推理与证明是检验学生能否正确地运用数学语言的有效手段．重视考查学生掌握和使用数学语言的能力，体现了数学学科的特点．二．试题分析1．重视“双基”落实，侧重通性通法今年数学试卷与往年相同的一个特点就是“大路题”仍占多数，没有怪题、偏题，学生比较容易上手，特别是选择题和填空题运算量小、整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．例1：（理（2）文（2））已知集合11{1,1},{|24,Z}2x M N x x +=-=<<∈，则M N ⋂=（A ）{1,1}- （B ） {1}- （C ）{0} （D ）{1,0}-解析：本小题主要考查学生集合的概念及运算与指数函数单调性．化简集合N 得，{1,0}N =-．故答案为（B ）．例2：（理（4））设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（A ）1，3 （B ）1-，1 （C ）1-，3 （D ）1-，1，3解析：本小题主要考查幂函数的概念及性质．显然，答案为（A ）．例3：（1）（理（1））若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（A ）π6 （B ）π4 （C ） π3 （D ）π2解析：本小题主要考查复数的概念和乘法运算以及简单的三角变换． 因为222cos sin isin 2z θθθ=-+，观察选择支对照题设，可得答案为（D ）．（2）（文（1））复数43i 12i++的实部是 （A ）2- （B ）2 （C ） 3 （D ）4解析：本小题主要考查复数的概念和复数的除法运算． 因为43i (43i)(12i)2i 12i 5++-==-+，可得答案为（B ）．例4：（理（5））函数ππsin(2)cos(2)63y x x =+++的最小正周期和最大值分别是（A ）π,1 （B）π （C ）2π,1 （D）2π解析：本小题主要考查三角函数的基本公式、周期和最值的概念．因为ππ11sin(2)cos(2)2cos 2cos 226322y x x x x x x =+++=++ c o s 2x=． 故答案为（A ）．例5：（理（7）文（7））命题“对任意的32R,1x x x ∈-+0≤”的否定是（A ） 不存在32R,1x x x ∈-+0≤ （B ）存在32R,1x x x ∈-+0≤（C ）存在32R,1x x x ∈-+>0 （D ）对任意的32R,1x x x ∈-+>0解析：本小题主要考查否定命题的概念．答案为（C ）．例6：（理（9））下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．② p ：()1()f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数． ③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=．④p ：A B A ⋂=；q ：C C U U B A ⊆．（A ） ①② （B ）②③ （C ） ③④ （D ）①④解析：本小题主要考查充要条件、函数的零点与奇偶性、三角函数以及集合的运算等概念．题目难度不大，但是知识点的覆盖面比较广．答案为（D ）．例7：（1）（文（5））已知向量a =(1，n )，b =(–1，n )，若2a –b 与b 垂直，则|a |=（A ）1 （B ）（C ） 2 （D ） 4解析：本小题主要考查向量数量积运算的应用和运算求解能力．计算可得答案为（C ）．（2）（理（11））在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ） 2AC AC AB =⋅ （B ）2BC BA BC =⋅（C ） 2AB AC CD =⋅ （D ）22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=解析：本小题主要考查向量数量积的概念．根据向量数量积的概念，不难判断（A ）（B ）（D ）是正确的．故答案为（C ）． 例8：（文（13））设函数1122123(),(),()f x x f x x f x x -===，则 123(((2007)))f f f = ．解析：本小题主要考查复合函数的概念和分数指数的运算．221123121(((2007)))((2007))(2007)2007f f f f f f --===．2．渗透数学思想，重视数学能力从表1可以看出，今年数学试卷的一个明显的特点是，“小综合”的题目比较多，突出考查学生综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在保证多数考生得到基础分的同时，提高整张试卷的区分度．2．1数形结合的思想例9：（理（3）文（3））下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是①正方体；②圆锥；③三棱台；④正四棱锥（图略）（A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④解析：本小题主要考查几何体三视图的基本概念，考查数形结合的数学思想． 正方体的三个视图皆为正方形，因此可以否定A 、B 、C ．所以答案为（D ）． 例10：（理（8）文（8））某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒； 第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为（A ） 0.9，35 （B ）0.9，45 （C ） 0.1，35 （D ）0.1，45解析：本小题主要考查频率分布直方图的概念，考查学生的观察分析图形和数据处理能力．如原图（图略）可知 (0.340.360.180.02)10.90x =+++⨯=，(0.360.34)150y =+⨯⨯=．故答案为（C ）．例11：（理（10）文（10））阅读右边的程序框图（略），若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（A ） 2500，2500 （B ） 2550，2550（C ） 2500，2550 （D ） 2550，2500解析：本小题主要考查程序框图的有关概念和应用以及等差数列求和，考查数形结合的能力．根据循环结构的特点知道，当输入n =100时，10021009825025502S +=+++=⨯= ，991999715025002T +=+++=⨯= ．故答案为（D ）． 例12：（文（11））设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（A ） （0，1） （B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）解析：本小题主要考查幂函数与指数函数的图象以及数形结合的数学思想方法． 作出两个函数图象不难发现其交点的横坐标0x 落在区间（1，2）内．故答案为（B ）．例13：（理（14））设D 是不等式组210,23,04,1x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≥表示的平面区域，则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是 ．解析：本小题主要考查线性规划的方法和点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想．画出平面区域D 后，可知直线23x y +=和1y =的交点（1，1）到直线10x y +=的距离最大，且最大值是例14：（理（15）文（16））与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．解析：本小题主要考查直线和圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法．作出已知直线20x y +-=和圆22(6)(6)18x y -+-=的图形，可以发现直线和圆相离（如图）．当所求圆圆心在已知圆向已知直线所引垂线上时，半径最小（或最大）．最小半径是2R ==2，2）． 因此，半径最小的圆的标准方程是22(2)(2)2x y -+-=．2．2函数与方程的思想例15：（1）（文（9））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为（A ） 214p （B（Cp （D ）1336p 解析：本小题主要考查抛物线的定义和向量的夹角与模的基本概念，考查函数与方程的数学思想．设A (,)2p a b +(0)a >，则由抛物线定义2a p p +=，得a p =．所以2OA p == ．答案为（B ）． （2）（理（13））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为 ．解析：本小题与文（9）是姊妹题．题干相同，题型不同．文科由于有选择支可以参照，进行答案修正，因此相对于理科填空题，文科略易．例16：（文（15））当x ∈（1，2）时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．解析：此题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系，考查函数与方程以及数形结合的数学思想方法．设 2()4f x x mx =++，由题设()0,(1,2)f x x <∈恒成立，则(1)0,(2)0.f f ⎧⎨⎩≤≤ 即50,420.m m +⎧⎨+⎩≤≤ 解得5m -≤． 2．3分类与整合的思想例17：（文（12））设集合{1,2},{1,2,3}A B ==，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 落在直线x y n +=上”为事件(25,N)n C n n ∈≤≤，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（A ）3 （B ）4 （C ）2和5 （D ）3和4解析：本小题主要考查古典概型和分类与整合的数学思想方法．由于11:1,()0C x y P C +=∴= ；221:2,(1,1),()6C x y P P C +=∴= ； 3321:3,(1,2),(2,1)()63C x y P P P C +=∴== ；4421:4,(1,3),(2,2)()63C x y P P P C +=∴== ； 551:5,(2,3),()6C x y P P C +=∴= ．故答案为（D ）． 2．4或然与必然的思想例18：（1）（理（12））位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12．质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 （A ） 51()2（B ） 2551C ()2 （C ）3351C ()2 （D ）235551C C ()2 解析：本小题主要考查独立事件发生的概率，考查或然与必然的数学思想．解法一：设事件A 为向上移动一个单位，事件B 为向右移动一个单位．则事件A 、B 为相互独立事件，且其发生的概率皆为12．因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是2232555111C ()(1)C ()222P =-=． 解法二：本小题可以结合二项展开式系数性质（杨辉三角形）求解．如图质点P 按规则移动五次后到点P （2，3）的不同路线（基本事件数）为10，所有不同路线的总数是（基本事件空间）32，因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是2551051C ()32162P ===．故答案为（B ）． 2.5特殊与一般的思想例19：（1）（理（16））函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 解析：（1）本小题主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法． 首先可知定点A （2,1--），所以21m n +=． 因此，12242448m n m n n m m n m n m n +++=+=++⨯≥，当且仅当4n m m n=⨯，即2n m =，也就是11,42m n ==时，取得最小值8． （2）（文（14））函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ．1 1 1 1 11解析：（2）本小题和理（16）是姊妹题，主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法，解题技巧上要求比理科低一些．仍需要注意条件0mn >．由题设可知定点A （1，1），所以1m n +=． 因此，1124m n m n n m m n m n m n+++=+=++≥．当且仅当n m m n =，即n m =，也就是11,22m n ==时，取得最小值4． 2．6转化与化归的思想例20：（理（6）文（6））给出下列三个等式：()()()()(),()()(),()1()()f x f y f xy f x f y f x y f x f y f x y f x f y +=++=+=-． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3x f x = （B ）()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ）()tan f x x = 解析：本小题主要通过三种抽象函数的基本概念和性质，考查学生的转化与化归的数学思想和抽象概括能力．考查学生是否能把平时所学的基本函数的一般性质抽象概括出来，并转化加以应用．因为对数函数满足（恒）等式（1）；指数函数满足（2）；正切函数满足（3），故答案为（B ）．2．7体现六种数学能力例21：（文（17））在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，tan C = （Ⅰ）求cos C ； （Ⅱ）若52CB CA ⋅= ，且9a b +=，求c ． 解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系式，以及利用余弦定理解三角形的基本运算能力．（Ⅰ）sin tan cos C C C=∴= 又22sin cos 1C C += ， 法一：解得1cos 8C =±．tan 0,C C >∴ 是锐角，1cos 8C ∴=．法二：解得sin C =sin 1cos tan 8C C C ∴===． （Ⅱ）55,cos ,20.22CB CA ab C ab ⋅=∴=∴= 22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C ∴=+-=+--219220220368=-⨯-⨯⨯=．6c ∴=．例22：（文（18））设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）令31ln ,1,2,,n n b a n +== 求数列{}n b 的前n 项和n T ．解析：本小题主要考查等差、等比数列的概念、等比数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式，考查学生运算求解和等价转化的能力．（Ⅰ）由已知得12321327, 2.(3)(4)3.2a a a a a a a ++=⎧⎪⇒=⎨+++=⎪⎩设数列{}n a 的公比为q ，由，可得132,2a a q q==，所以2227q q++=，解得1212,2q q ==.由题设1,2q q >∴=，11a =. 故数列{}n a 的通项为 12n n a -=. （Ⅱ）由于331ln ln 23ln 2,n n n b a n +=== 因此 123(1)3(12)ln 2ln 22n n n nT b b b n +=+++=+++=. 例23：（理（17））设数列{}n a 满足21*123333,N .3n n na a a a n -++++=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解析：本小题主要考查等比数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查学生数列“错项求和”的方法以及运算求解和等价转化的能力．（Ⅰ）法一：21123333,3n n na a a a -++++= ①当2n ≥时，2212311333,3n n n a a a a ---++++= ② ①-②得 1113,33n n n n a a -=∴=.在①中令1n =，得13a =. 所以 13n n a =. 法二：先归纳猜想，然后用数学归纳法证明．（略）（Ⅱ）3n n nnb n a ==⋅ ， 2332333 3.nn S n ∴=+⨯+⨯++⋅ ③23413323333.n n S n +∴=+⨯+⨯++⋅ ④ ④–③得1213(13)23(333)3.13n n n n n S n n ++-=⋅-+++=⋅-- 所以1(21)33.44n n n S +-=+ 例24：（1）（理（18））设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）.（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率.解析：本小题主要考查古典概型、分布列、数学期望和条件概率的有关知识和方法，考查分类与整合的数学思想以及运算能力．法一：（Ⅰ）用数组（b ，c ）表示基本事件：先后抛掷一枚骰子得到的点数．则基本事件总数为36，方程20x bx c ++=的判别式是24b c ∆=-，所以对应b 、c根据上述结论可知，方程20x bx c ++=有实根的概率是17219363636P =+=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ξ的分布列所以ξ的数学期望E ξ=172170121363636⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有5”的事件为D ，“方程20x bx c ++=有实根”的事件为E ，事件D 所含基本事件数为：6+6–1=11， 由（Ⅰ）可得当5b =时，254c ≤，1,2,,6c ∴= ；当5c =时，254b ≤，5,6b ∴=.事件D E ⋂所含基本事件数为：6+2–1=7，117(),()3636P D P D E ∴=⋂=. ()7()()11P D E P E D P D ⋂∴==.法二：（几何概型）作出以b 、c 的取值为整点的坐标（b ，c ），观察抛物线b 2=4c 分得的区域内整点的个数即可.（略）例25：（1）（理（19））如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122,,//.DC DD ADAB AD DC AB DC ===⊥ （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证1//D E 平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值. 解析：本小题主要考查空间线面和面面位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 是正方形，1111,////BE AD A D BE AD A D ∴==. 所以四边形11BED A 是平行四边形.ABCDEA 1B 1C 1D 111//,D E A B ∴且1D E ⊄平面1A BD ，1//D E ∴平面1A BD .（Ⅱ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设DA =1，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（1，0，2），1(1,0,2),(1,1,0)DA DB ∴==，设n =（x ，y ，z ）为平面A 1BD 的一个法向量，由1,n DA n DB ⊥⊥，得20,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩取z =1，得n =（2,2,1-）. 又1(0,2,2),(1,1,0)DC DB ==，设m =（x ，y ，z ）为平面C 1BD 的一个法向量，由1,m DC m DB ⊥⊥，得220,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取z =1，得m =（1,1,1-）. 设m 、n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，则θ为锐角.cos m n m n α⋅===cos θ∴=. 因此所求二面角11A BD C --. （2）（文（20））如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122,,//.D C DD A D AB A D DC A===⊥（Ⅰ）求证：11DC AC ⊥； （Ⅱ）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1//D E 平面1A BD ，并说明理由． 解析：本小题主要考查空间线面位置关系和空间想象能力以及推理论证能力．ACDA 1B 1C 1D 1（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，连结C 1D ，由题设知，四边形CDC 1D 1是正方形，所以11CD DC ⊥.又DD 1⊥平面ABCD ， 所以DD 1⊥AD . 又AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面CDC 1D 1. 所以AD ⊥CD 1．所以，CD 1⊥平面ADC 1. 因此，11DC AC ⊥. （Ⅱ）如图所示，当1//D E A 1B 时，有1//D E 平面1A BD .此时可证E 是CD 的中点.（证明见理科（19）．）例26：（理（20））如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船北偏西120︒方向的B 2处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？解析：本小题主要考查正余弦定理及其应用，解决与测量和几何计算有关的实际问题，考查学生的阅读理解和应用能力．法一：如图，连结A 1B 2，由已知22A B =，122060A A ==. 又12218012060A AB ∠=︒-︒=︒， 所以122A A B ∆是等边三角形．1212A B A A ∴==.由题设1120A B =，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒， 在121A B B ∆中，由余弦定理，22212111211122cos45200B B A B A B A B A B =+-⋅⋅︒=，12B B ∴=A 1A 2BACDA 1B 1C 1D 1E因此，乙船速度的大小为6020=（海里/小时）.答：乙船每小时航行海里．法二：（向量法）由2212111222()B B B A A A A B =++ ，（以下略）．法三：（坐标法）以A 1为原点，A 1A 2所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．（以下略）．法四：（构造直角三角形）．法五：（求出顶角）延长12A A 、12B B 交于点C ，设11ACB α∠=，则2260CB A α∠=︒- ， 1175CB A α∠=︒-， 由正弦定理，22222sin sin CA A B CB A α=∠，11111sin sin CA A BCB A α=∠，2sin(60)1)sin CA ααα∴=⋅︒-=-. 120sin(75)sin CA ααα∴=⋅︒-=-.又122060A A ==，1212CA CA A A ∴-==即α--1)α-=解得cot α=30α∴=︒. 2sin120CB ∴=︒=120sin105sin 30CB ∴=⋅︒=︒. 1212B B CB CB ∴=-=.60=（海里/小时）． 例27：（理（21）文（22））已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．A 1A 2B 1B 2C解析：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何的思想方法以及学生运用解析法处理几何问题的能力，考查函数与方程的思想方法．（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题设得：3,1a c a c +=-=，解得，2,1a c ==.则2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）设A （11,x y ）、B （22,x y ），联立22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则 12221228,344(3).34mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2222226416(34)(3)0340m k k m k m ∆=-+->⇒+->. 因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D （2，0）， 0AD BD ∴⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y --⋅--=， 化简得，1212122()40,y y x x x x +-++=①.又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，代入①得2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--+++=+++.2271640m mk k ∴++=. 解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m ∆=+->. 当12m k =-时，l 的方程是(2)y k x =-，直线过定点（2，0），与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程是2()7y k x =-，直线过定点（27，0）. 所以直线l 过定点，定点坐标是（27，0）.例28：（理（22））设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠.（Ⅰ）当12b >时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对于任意的正整数n ，不等式23111ln(1)n n n+>-都成立．解析：本小题主要考查用导数研究函数性质的方法，考查分类与整合的数学思想方法和运算求解与推理论证能力．（Ⅰ）由题意知函数()f x 的定义域是(1,)-+∞.22112()2222'()2111x b b x x b f x x x x x ++-++=+==+++ ， ∴当12b >时，'()0f x >.即当12b >时，()f x 在定义域(1,)-+∞上单调递增．（Ⅱ）①当12b >时，由（Ⅰ）知()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．②当12b =时，212()2'()01x f x x +==+ 有两个相同的解12x =-，且当11(1,)(,)22x ∈--⋃-+∞时，有'()0f x >，因此，当12b =时， ()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．③当12b <时， 222'()01x x bf x x ++==+ 有两个不同的解，12x x ==， 当102b <<时，12111,122x x --+=>-=>-， 此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：由上表可知，当102b <<时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=.当0b <时，121,1x x =<-=>-， 此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：由上表可知，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点2x =.综上所述，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点212x -=；当102b <<时，()f x 有一个极大值点1x =和一个极小值点2x =当12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）取*1,(N )x n n=∈，则有23ln(1)x x x +>-.令函数32()ln(1)h x x x x =-++，只须证明当[0,)x ∈+∞时，()0h x >即可．32213(1)'()320,(0)11x x h x x x x x x +-=-+=>++ ≥， ()h x ∴在[0,)+∞上单调递增.又(0)0h =，所以()0h x >.即32ln(1)0x x x -++>，也就是当[0,)x ∈+∞时，23ln(1)x x x +>-.取*1,(N )x n n =∈，则有23111ln(1)n n n+>-.因此，结论成立． 例29：（文（19））某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所作的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和.0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析：本小题主要考查不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，考查学生的阅读理解能力和应用能力以及数学建模的思想．设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为 z 元．由题意的300,300,500200520,0,x y x y x y x y x y x y ++⎧⎧⎪⎪+⇔+⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤≤90000,≤900,≥≥0.≥≥0. 目标函数为30002000z x y =+.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作出直线l ：3000x +2000y =0，即 3x +2y =0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立300,100,52900.200.x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 所以点M 的坐标为（100，200）．因此，max 30001002000200700000z =⨯+⨯=（元）．答：该公司在甲、乙电视台分别作100分钟和200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70万元．例30：（文（21））设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值． 解析：本小题主要考查学生利用导数研究函数性质和分类与整合的数学思想方法以及运算能力．由题设知，函数()f x 的定义域是(0,)+∞．22'()2b ax bf x ax x x+=+=.（1）当0ab >时，如果0,0a b >>，'()0f x >.()f x 在(0,)+∞上单调递增；如果0,0a b <<，'()0f x <.()f x 在(0,)+∞上单调递减． 所以，当0ab >时，函数()f x 没有极值点．。
