数列复习资料教师版递推

A．1B．1999
C．1000D．－1
8．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是( )
9．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－cosnπ
C．an＝2sin2
⑤有界数列:存在正数 使 .
⑥无界数列:对于任何正数 ,总有项 使得 .
课堂练习
1、已知 ，则在数列 的最大项为__（答： ）；
2、数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为___（答： ）；
3、已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ）；
课后练习
一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是()
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①②B．①②③
C．②③D．①②③④
3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )
A．18B．21
C．25D．30
4．已知数列{an}的通项公式是an＝ ，那么这个数列是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
（3）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .
如1、等差数列 中， ，则 ＝____（答：27）；
(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 成等差.若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、 （公差为 ）．，…也成等差数列，而 成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列.

专题1 数列的单调性微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法12n n nn x x x ++++；112n b ⎛⎫− ⎪⎭⎝，若在k b 与m b m ++−n a (,m n ∈N参考答案：()1122941n a a −−⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅⋅+由10a >可得若21a a >，即，解得10a <<即当10a <<，此时数列k由③知∑是递增数列．21c c >>>>，11024， 是单调递增；当10n ≥时3n n++，由此利用错位相减法能求出）问得到m =)N n *∈时，12212333n n nn nnx x x +++++=+++，① 1133n n n n+−+++，② 211111()1111133(11333332313n n n n n n n ++⎡⎤−⎢⎥⎣⎦+++−=−=−−． m ，n ，使T 11m +=+112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭从而求得n t 的最大值，项,然后对{2k k +++=，当9k =时的情况即可求得是等比数列，且各项均为正数，所以112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭11142n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭112n ⎫⎛⎫⎛−⎪⎪⎭⎝⎭⎝224848n n n +=+233λ<<，2k k +++=9922−=+， 2019=m b ++，设m b m ++−212222m mm b m ++=++++， 22222m m +++，则2311212222m m T −=++++21111111112222222m m m m m m T ++=+++−=−−=2222222m m mm mb m m m ++++−=+−−=−，22mm+−，N *m ∈， 2122222m m ++++=−−+77922S =−21n b −+++112n ⎛ −+−⎝121n +单调递减，23=−，显然b,a ()3,⎫+∞⎪⎪⎭②，②－①即得()3,⎫+∞⎪⎪⎭考查数列的单调性的判定和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平(8n n b ++=256125125()2()()940n n b b b b b b b b b b n n ++−++=+++−++++=−+9,15940,6n n n n +≤≤+≥；）由题知12111(1)(1)(1)222n nA a a a =−−−， 21n +，则111()21(1)(1)(1)22ng n n a a =+−−−， (21)2(22)2n n n n ++3(1)g =都成立，则3a >.。

专题8-1 马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。

2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。

本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。

基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：11+−++=i i i i cP bP aP P2023·新高考Ⅰ卷T211．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y．2019·全国Ⅰ卷2．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （1）求X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++⋯－＋，，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c P X ==. 假设0.5α=，0.8β=.①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i −=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.课本原题：人教A 版数学《选择性必修三》P913．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n 次传球后球在甲手中的概率．1．（2024届·武汉高三开学考）有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记i p 为从第i 个箱子中取出黄球的概率. (1)求23,p p ；(2)求20p .重点题型·归类精讲2024届·山东省实验中学高三第一次诊断2．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．(1)求2P 的值，并探究数列{}n P 的通项公式；(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．3．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n =，①直接写出123p p p ，，的值；②求1n p +与n p 的关系式*()n N ∈，并求n p *()n N ∈.2023届惠州一模4．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为n P（Ⅰ）证明：25nP⎧⎫−⎨⎬⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）证明：当2n≥时，512nP≤.2023届佛山二模·165．有n 个编号分别为1,2,3,,n ⋅⋅⋅的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n 个盒子中取到白球的概率是 .2023·唐山调研6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k 次传球后球在甲手中的概率为*N k p k ∈，，则下列结论正确的有（ ） A.10p = B. 213p = C. 121k k p p ++= D. 202313p >2024届武汉高三九月调研T16 7．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·218．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值.*n ∈N n p 3p =n p =()*n n ∈N n X n p n q 11,p q 2n n n c p q =+11233n n c c +=+n X ()n E X9．2022年2月6日，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．①试证明14n p ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．2023·济南开学考10．甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.2023届·杭州二模11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X −，1t X −，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()t 1t 2t 1t t 1t ,,,X X X X X X P P +−−+=∣∣. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为*(,)A A N A B ∈<元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n 元()0,n B n N ≤≤∈时，最终输光的概率为()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值；（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ；（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →+∞时，()P A 的统计含义.12．校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。

【解析】an＋1＝an＋n. 由于a5＝14， ∴a6＝a5＋5＝14＋5＝19， a7＝a6＋6＝19＋6＝25.
(2)7，9，11，13，15，…；
【解析】an＋1＝an＋2. 由于a5＝15， ∴a6＝a5＋2＝15＋2＝17， a7＝a6＋2＝17＋2＝19.
(3)2，6，18，54，162，….
【解析】an＋1＝3an. 由于a5＝162， ∴a6＝3a5＝3×162＝486， a7＝3a6＝3×486＝1 458.
方法归纳 由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关 系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度 去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项 的方法是根据递推公式，依次求出各项即可．
[提示] 由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22， a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…， 由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18. 即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．
3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什 么结论？
答案： (2)D
教材反思 1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应
用及由递推公式求数列的通项公式．
2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．
3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．
4．要注意通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一 个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数 列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能