二次函数复习学案

高一（2011级） 数学 科学案二次函数巩固学案1．一般式 ：2．顶点式：3．交点式（两根式）：(三)典型例题 第一课时：例1、解下列不等式（1）22310x x -+> （2）23610xx --+≥ （3）22570x x ++< （4）2250x x -+-<例2 当m为何值时，函数24(2)(8)m my m x m x+-=-++是二次函数？例3 根据下列条件，求二次函数2y ax bx c=++的解析式。

（1）图像过点（2,0）（4,0）及（0,3）；（2）图像顶点（1,2）且过（0,4）；（3）过点(1,1)、(0,2)、(3,5)。

例4 已知函数2()f x x kx k=-++在区间[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围。

例5 求函数2243y x x=--在以下所给区间上的最值：（1）x R∈；（2）[2,0]x∈-。

练习在例题5的条件下求值域：（1）[0,3]x∈；（2）[2,4]x∈。

第二课时：例6 若方程233x x m x -+-=-在区间（0,3）内有唯一解，求实数m 的取值范围。

当堂检测：A 组1、若2()32(1)f x x a x b =+-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A (,2]-∞-B [2,)-+∞C (,2]-∞D [2,)+∞2、若22()(1)(1)1f x m x m x =-+-+是偶函数，则若()f x 在(,0]-∞上是（ ） A 增函数 B 常数函数 C 减函数 D 可能是增函数也可能是常数函数3、已知函数2y x =的值域是[1,4]，则其定义域不可能是（ ）A [1,2]B 3[,2]2- C [2,1]-- D {}[2,1]1--⋃4、已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，有()(4)f x f x =-，且函数在区间(2,)+∞上是递增的，则（ ）A (25)(11)(80)f f f -<<B (80)(11)(25)f f f <<-C (11)(25)(80)f f f <-<D (25)(80)(11)f f f -<<5、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像过原点和第二、三、四象限，则有（ ）A 0,0,0a b c >>=B 0,0,0a b c ><=C 0,0,0a b c <>=D 0,0,0a b c <<= 6、抛物线226y x x c =++的图像与x 轴有两个交点，且两交点间的距离为2，则c= 。

()02≠++=a c bx ax y 二次函数的图像与性质学案【情境导入】公园里有个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下．如图是其中一条抛物线3422++−=x x y ，求此抛物线的最高点B 的坐标．【复习旧知】y a(x h)2k (a 0)y ＝a(x －h)2＋k a >0 a<0 开口方向 向 向 顶点坐标 （ ， ） （ ， ） 对称轴直线x= 直线x= 增减性当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大． 当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大．最值x= 时,y 最小值=x= 时,y 最大值=抛物线y ＝a(x －h)2＋k (a ≠0)的图象可由y=ax 2的图象通过上下和左右平移得到. 抛物线y = ( x + 3 )2 - 2的开口 ；顶点坐标为 ，对称轴是 ； 当x 时，y 随着x 的增大而减小；当x 时，y 随着x 的增大而增大．xyBCA【巩固训练】【动手操作】画3422+−=x x y 的函数图象；跟踪训练 ： 54)1(2−−−=x x y ；x…… y ……263)2(2+−=x x y【合作探索】对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？由此可知，抛物线()02≠++=a c bx ax y【当堂训练】3221)1(2+−=x x y13122)2(2+−−=x x y【巩固提高】1.若二次函数52++=bx x y 配方后为()k x y +−=22,则k 、b 的值分别为（ ）A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1 2.求3422+−=x x y 当21≤≤−x 时的最值．【课后练习】1．二次函数x x y 22−−=的对称轴是 ． 抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是_______；抛物线y ＝2x 2－2x －52的开口_______，对称轴是_______；抛物线y ＝－2x 2－4x ＋8的开口_______，顶点坐标是_______； 抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋4的对称轴是_______；二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝_______．2.二次函数1222−−=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． 3.抛物线642−−=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(−，则a = ．c = ．5.求2422−+=x x y 的最值，对称轴及顶点．6. 抛物线4)2(2++−=x m x y 与x 轴不相交，求m 的范围？。

课题 2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、教学目标：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。

2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。

3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。

二、学习重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；学习难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用.三、教学过程学习过程本页，完成右一、一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数， .【即时训练1】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）−4x2+3x+1>0; (2)ax2+x−4<0;（3）x2−y2>0;（4）2x+5≤0二、完成50P页【思考】：能否通过画出二次函数20122+-=xxy的图像，通过图像得到020122<+-xx及020122>+-xx的解集吗?三、二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使的实数叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.四、二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的{x| }{x|x≠－b2a}解集ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x | }注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【即时训练2】完成教材53P 练习第一题（1）、（2）、（5）三、课堂诊断：【A 层】1、课本53P 练习题第1题（2）、（3）、（4）、（6），第2题（日清）【B 层】三个二次之间的关系:2.已知关于x 的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x 的不等式cx2＋bx ＋a<0的解集．3.已知x 2＋px ＋q ＜0的解集{⎭⎬⎫<<-3121x x 是,解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0.【C 层】4.解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞05. 已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【闯关题】6.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？。

第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。