数学教师招聘考试 专业知识复习
一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）
1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；
4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；
5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、学习指导 1、集合的概念：
（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类：
① 按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3） 集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：
（1） 元素与集合的关系，用∈或∉表示；
（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；
（2） 运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）
∪（C U B ），
C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。
4、命题：
（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合B，则当A⊆B时，p是q的充分条件。B⊆A时，p是q的必要条件。A=B时，p是q的充要条件；
（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。
函数
一、复习要求
7、函数的定义及通性；
2、函数性质的运用。
二、学习指导
1、函数的概念：
（1）映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B 中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。 （2）函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f(x)|x ∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。
求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。
2、函数的通性
（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如
0)x (f )x (f =±-，
1)
x (f )
x (f ±=-（f(x)≠0）
。 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。
函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。
利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。
（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。
函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。
函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。
（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
设函数f(x)定义域为A，值域为C，则
f-1[f(x)]=x，x∈A
f[f-1(x)]=x，x∈C
8、函数的图象
函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。
图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。
4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。
