具有耦合时滞复杂时空切换网络的耗散性同步

第３０卷第３期　上海理工大学学报　Ｊ．Ｕｎ｜ｖｅ商ｔｙ　ｏｆ　ａｎｇｈａ　ｆＯｒ　ｓｃ　ｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｄ．３０　Ｎｏ．３　２００８　

文章编号：１００７—６７３５（２００８）０３—０２９３—０４　

具有耦合时滞复杂时空切换网络的耗散性同步　

姚静　，　关治洪２，　许维胜　

（１．同济大学电子与信息工程学院，上海２０１８０４；２．华中科技大学控制科学与工程系，武汉４３００７４）　

摘要：建立了一种新的复杂动态网络模型——时空切换网络，其每个节点的动力在不同的时间区　

间对应于不同的切换模式，切换律不仅依赖于时间ｔ，而且依赖于节点的标号ｉ（或节点的空间位　

置）．基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论，研究了具有耦合时滞复杂时空切换网络的耗散性同步问题．　

关键词：复杂动态网络；同步；时空切换；耦合时滞；耗散性　

中图分类号：ＴＰ　１３　文献标识码：Ａ　

Ｐａｓｓｉｖｅ　ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉ０ｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｐａｔｉｏ—ｔｅｍｐｏｒａｌ　

ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｄｅｌａｙｓ　

ＹＡＯ　Ｊｉｎｇ　，ＧＵＡＮ　Ｚｈｉ．ｈＯｎｇ２，ｘｕ　Ｗｅｉ．ｓｈｅｎｇ　

（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｏｎｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０１８０４，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００７４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃａｌｌｅｄ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｐａｔｉｏ—ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｎｅｔ—　

ｗｏｒｋ　ｉＳ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｎｏｄｅ　ａｔ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｔｉｍｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　

ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｍｏｄｅｓ，ａｎｄ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｉｇｎａｌ　ｄｅｐｅｎｄｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｓｔａｎｔ　ｔｉｍｅ　ｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ｎｏｄｅ　ｉ．Ｂａｓｅｄ　

ｏｎ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ，ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｐａｓｓｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｐａｔｉｏ－ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｎｅｔ—　

ｗｏｒｋｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙｓ　ａｒｅ　ａｄｄｒｅｓｓｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；ｓｐａｔｉｏ—ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ；ｃｏｕｐｌｉｎｇ　

ｄｅｌａｙｓ；ｐａｓｓｉｖｉｔｙ　

许多实际系统如社会系统、生物系统及通讯系　

统等都可以用复杂网络的模型加以描述，近几年来　

复杂网络在科学与工程领域开展了广泛的研究…１．　

随机网络、小世界网络及无尺度网络在复杂网络研　

究中是最受关注的三类网络［１－３］．其节点代表网络　

的个体，边则代表它们之间的关联．复杂网络在自然　

界中广泛地存在着，研究它们的拓扑结构及其动力　

学行为显得非常重要．　

从某种意义上来说，许多复杂网络是混合的，也　

就是说它们既有离散状态又有连续状态，且这两种　状态经常互相关联、不能拆散，必须综合分析．文献　

［４］对拓扑切换的复杂动态网络进行了相关研究．复　

杂网络的动力学行为不仅依赖于它们的空间结构，　

而且依赖于它们的节点的动力行为．如果每个子系　

统是一个切换系统，即复杂网络的切换信号不仅与　

时间ｔ有关，而且与节点的标号ｉ（或节点的空间位　

置）有关，称之为复杂时空切换网络．本文首次提出　

了它的数学模型．对这类复杂动态网络，人们特别关　

注其同步问题［５－７ｊ．由于它在保密通讯、化学和生　

物系统、信息科学及生命科学等领域里的潜在应用，　

收稿日期：２００８—０３—０７　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０５７３００５）；国家高技术研究发展计划（８６３计划）资助项目（２００６ＡＡ０５Ｚ２１１）　作者简介：姚静（１９７８一），女，讲师．

　维普资讯 http://www.cqvip.com ２９４　上海理工大学学报　２００８年第３０卷　

在过去的几年里，耦合非线性系统（如混沌系统）的　

同步问题已得到深入的研究ｌ＿５　Ｊ．另外，一般情况下　

信息流在网络中的传输并不是即时的．因而在一段　

距离以内有限速的信号传输便会产生一定的延时．　

本文讨论了具有耦合时滞复杂时空切换网络的　

同步与耗散性问题．基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法和耗散　

性理论，得到的结果是基于一些矩阵不等式的解．　

１模型描述　

令Ｊ＝［ｔ０，＋∞）（　ｏ≥０），Ｒ　表示　维欧几里　

得空间．向量　＝（ｚｌ，…，ｚ　）Ｔ∈Ｒ　，　的范数为　

ｆｌ　ｆｌ　（互ｚ　）　．矩阵Ａ＝（口　）　∈Ｒ　，　

ｌｌ　Ａ　ｌｌ　一１／２（ＡＴＡ）．Ｉ为　阶单位矩阵．　

考虑由Ｎ个不同节点耦合的一类时滞时空切　

换复杂网络．其中，每个节点是一个　维动力系统．　

具体描述为　

（ｔ）＝Ａ　（ｔ）＋　］　ｌ　Ｅ　ｔｏ　（　）＋　Ｄ　（　一　）　｝（１）　产　ｌ　ｚ　（ｔ）＝Ｃｉ　（ｔ）　ｉ：１，２，…，Ｎ　Ｊ　

式中，ｔ∈　（ｔｏ≥０），　＝（ｚ　ｌ，ｚ　２，…，ｚ锄）Ｔ∈Ｒ　，　

为节点ｉ的状态向量．ｔｏ　、ｚ　为每个子系统的输入、　

输出向量，∞ｆ∈Ｒｑ，ｚ　∈Ｒ　；为节点的延时Ｚ＂ｉ＞０；　

Ｇ、Ｅ为已知适当维数的常数矩阵；Ｄ为耦合矩　

阵，Ｄ＝（Ｄ　）Ｎ　Ｎ．如果节点ｉ与节点　相连（ｉ≠　

），则Ｄ巧：　＞０；否则，Ｄ巧＝　＝０（　≠　），矩阵　

Ｄ的对角矩阵定义为　

Ｎ　Ｎ　Ｄ　＝一ＥＤ　＝一∑Ｄ托　ｉ：１，２，…，Ｎ　

｛萎　ｊ　切换信号　＝　（ｉ，ｔ）是一个分段常值函数．切　

换信号不仅与时间ｔ有关，而且与节点的标号ｉ（或　

节点的空间位置）有关，因而称之为复杂时空切换网　

络．一般地，每个节点的动力在不同的时问区间对应　

着不同的切换模式，即Ａ　在每个相邻的时间段内　

取不同的常数，因此，产生了一个有限集合Ａ　＝　

｛　ｌ，…，Ａ　｝．　

为了方便起见，定义　

｛：　

其中，时序｛ｔｋ｝满足　节点ｉ在ｔ　时刻切换　系统的Ａｚ模式激活　

其　他　

ｌ＜ｔ２＜…＜ｔｋ＜…，　１ｉｍ　ｔｋ＝∞　‘呻ｏｏ　并目有ｔｌ＞　０，ｉ＝１，２，…，Ｎ，ｋ＝１，２，…，｜！＝１，２，…，ｍ　

令Ａ（　（　，　））＝∑　（　，ｔ）ａｚ，则时空切换　Ｚ＝１　网络的孤立节点可以写为　

ｉｃｉ（　）＝∑ｅｚ（ｉ，ｔ）Ａ￣ｘｉ（ｔ）＝Ａ（　（　，　））鼍（　）　

ｔ∈（ｔｋ—ｌ，ｔｋ］，ｋ＝１，２，…，ｉ＝１，２，…，Ｎ　

因而，耦合时滞复杂时空切换网络式（１）可写为　

ｆ（ｔ）：Ａ（　（ｉ，ｔ））　（ｔ）＋　１　

Ⅳ　ｌ　）蚤Ｄ　一　｝（２）　

∈（ｔｋ—ｌ，ｔｋ）］，ｋ＝１，２，…ｌ　

ｚ　（ｔ）＝ｃ　（ｔ）　ｉ＝１，２，…，Ｎｊ　

为了使网络式（２）同步到一孤立节点，假定这个　

节点的动力为　

ｏ（ｔ）＝Ａｘｏ（ｔ）　

令　

：　＋ＸＯ　ｉ＝１，２，…，Ｎ　

式中，　为误差向量．　

＝　＋　０．　

耦合时滞复杂时空切换网络式（２）可以改写为　

误差系统　

ｆ＝Ａ（　（ｉ，ｔ））薯（ｔ）一Ａｘｏ＋　

Ｅ　＋∑Ｄａ　ｘｊ（ｔ—　）＝　

＝１　Ａ（　（ｉ，ｔ））　（ｔ）＋（Ａ（　（ｉ，ｔ））一　

ａ）ｘｏ＋Ｅ　＋∑Ｄ　ｎｉ（ｔ—　）　（３）　

令误差系统的输出为　

ｚ　：［Ｇ　０］　：　０　现研究耦合时滞复杂时空切换网络式（３）的耗　

散性同步问题．　

２时空切换网络的耗散性同步　

定义１［　，　］称一个系统的输入∞和输出ｚ是　

耗散的．其中，∞（ｔ），ｚ（ｔ）∈Ｒ　．如果存在一个常数　

使得对所有的丁≥０，有　

Ｉ∞Ｔ（　）ｚ（ｓ）ｄｓ≥一　（４）　Ｊ　ｏ　。　

此外，如果存在常数ｅｌ≥０和ｅ２≥０使得对所有的　

丁≥０，有　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　姚静，等：具有耦合时滞复杂时空切换网络的耗散性同步　２９５　

Ｉ　∞Ｔ（ｓ）ｚ（ｓ）ｄｓ≥一　＋ｓ１　∞Ｔ（ｓ）　Ｕ　１３　广丁　∞（ｓ）ｄｓ＋ｓ２Ｉ　ｚＴ（ｓ）ｚ（ｓ）ｄｓ　（５）　Ｊ　０　则当ｅ　＞０时，系统是输入严格耗散的；当ｅ２＞０　

时，系统是输出严格耗散的．　引理１［　］假定有一个连续可微函数Ｖ（ｔ）≥　

０和一个函数ｄ（ｔ），使其对所有的Ｔ≥０，有　

ｌ　ｄ（ｔ）ｄｔ≥０．如果存在常数ｓ１≥０和ｓ２≥０，使得　ｄ　Ｕ　对所有的ｔ≥０和所有的函数∞，有　

（ｔ）≤∞Ｔ（ｔ）ｚ（ｔ）一ｓ１∞Ｔ（ｔ）∞（ｔ）一　

ｓ２ｚ　（　）ｚ（　）一ｄ（　）　（６）　

则当ｓ　＞０时，系统是输入严格耗散的；当ｓ２＞０　

时，系统是输出严格耗散的；当ｓ１＞０和ｓ２＞０时，　

系统是严格耗散的．　

如果系统式（３）满足以上不等式（４）、（５）或者　

（６），则此系统是严格耗散的，即耦合时滞时空切换　

复杂网络式（２）是耗散同步的．现研究其满足耗散同　

步的一些充分条件．　定理１如果存在正定矩阵Ｐ　＞０，Ｑ　＞０，Ａ＞　

０和标量　≤０，使得　

…　＝　椎）Ｔｐ　］）．　—Ａ　０　＿ｊ≤　

『ｃ　Ｇ　０］　（７）　

Ｌ　０　△　

成立，其中　

Ｍ（　，　）＝Ａ　＋Ｐ　＋ＮＱｉ＋∑ＰｉＤｏＱｊ　

Ｃｉ＝Ｅ　

ｉ＝１，２，…，　Ｎ，ｌ：１，２，…，ｍ　则在任意切换率下，误差系统（３）是耗散的，也就是　

说，耦合时滞复杂时空切换网络（２）是耗散同步的．　

证明取Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为　

（　）＝∑｛　（　）　（　）＋　

∑Ｉ　（ｓ）　（ｓ）ｄｓ｝　

当ｔ∈（ｔ　一１，ｔ　］时，对　（　）求导，可得　

）　｛　［　（　（　（　（　））－　。（　（　Ｄ巧　（　）］＋　

［Ａ（　（　，　））　（　）＋（Ａ（　（　，　））一Ａ）ｘｏ（　）＋Ｅ　ｉ（　）＋　Ｄ　（　一　）］ＴＰｉ　ｉ（　）＋　Ｊ＝１　Ｎ　∑［　（　）　（　）一　一　）　（　一　）］｝　ｊ＝１　Ⅳ　＝∑｛　（ｔ）［ＡＴ（８（ｉ，　））　＋Ｐ　Ａ（　（　，　））］・　ｉ＝１　Ｎ　６ｉ（　）＋６Ｔ（ｔ）ｐ　（Ａ（　（ｉ，　））一Ａ）　ｏ（　）＋　（　）（Ａ（　（ｉ，　））一Ａ））ＴＰ　（　）＋　［　（　）・　

Ｐ－￣：ｊ（　一　）＋　（ｔ—　）Ｄ　Ｐ　（　）＋　（　）　（　）一　（　一＂Ｕｉ）ＱＪ　（　一　）］＋　

Ⅳ　２　（　）Ｐ　（　）｝：　｛　（　）［ＡＴ（　（　，　））Ｐ　＋Ｐｉｎ（８（，　））　＋２６Ｔ（ｔ）Ｐ－￣　∞　（　）＋　：１　Ⅳ　（　）Ｐ　（Ａ（　（　，　））一Ａ）ｘｏ（　）＋　（　）（Ａ（　（　，　））一Ａ））Ｔｐ　（　）一　（　（　），　Ｊ＝１　Ⅳ　（　一ｒ　））＋　［￣Ｔ（ｔ）Ｐ－，ＤｏＱ　Ｄ纾Ｐ　（　）＋　（　）　（　）］｝　（８）　Ｊ＝１　其中　

（　（　），　（ｔ—ｒｉ））：［Ｑ　）　Ｐ　（　）一　

（　一　）］Ｔ　［ＱＳＯｏＰ　（　）一　（　一　）］　

由于在每个切换时刻每个节点的某个子系统被激