(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.5直线、平面垂直的判定与性质学案

1 §8.5 直线、平面垂直的判定与性质

最新考纲

考情考向分析

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． 2 (2)范围：0，π2.

3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

l⊥αl⊂β⇒α⊥β

性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α

知识拓展

重要结论

(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )

(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) 3 (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )

(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )

题组二 教材改编

2．[P73T1]下列命题中错误的是( )

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案 D

解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．[P67T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案 (1)外 (2)垂

解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， 4 ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，

即O为△ABC的垂心．

题组三 易错自纠

4．(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )

A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β

答案 C

解析 由线面垂直的判定定理，可知C正确．

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(

)

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

答案 A

解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，

则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，

ON＝1＋4＝5，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ) 5

A．MN∥AB

B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°

D．OC⊥平面VAC

答案 B

解析 由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.

题型一 直线与平面垂直的判定与性质

典例 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

证明 (1)在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD， 6 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

跟踪训练 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

证明 (1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，

因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1. 7 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

题型二 平面与平面垂直的判定与性质

典例 (2018·开封模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.

证明 (1)方法一 取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH綊12AB.

又CD綊12AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

方法二 连接CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝12AB.