铌酸锂退火质子交换光波导的有限元法分析

第１９卷　第３期　２００２年６月　量子电子学报　

ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＵＡＮＴＵＭ　ＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣＳ　Ｖｂ１．１９　Ｎ０．３　Ｊｕｎ．，２００２　

文章编号：１００７—５４６１（２００２）０３—０２４０—０５　

铌酸锂退火质子交换光波导的有限元法分析　

薛挺一：邱军华　，李世忱・　

（１天津大学精密仪器与光电子工程学院，教育部光电信息技术科学开放实验室，　天津　３０００７２）；　

（２江苏省连云港市移动公司，　连云港　２２２０００）　

摘　要　本文用有限元（Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄｓ—ＦＥ１Ｍ）的数值计算方法分析了铌酸锂晶体中的退火质子交　

换（Ａｎｎｅａｌｅｄ　Ｐｒｏｔｏｎ　Ｅｘｃｈａｎｇｅｄ—ＡＰＥ）光波导，并给出了对应于不同退火时间的铌酸锂光波导的有限元精确　

数值分析结果．　

关键词集成光学；铌酸锂；有限元；光波导；质子交换　

中图分类号：ＴＮ２５２　文献标识码：Ａ　

１　引　言　

近几年来，光通信器件发展的需求促进了集成光电子学的迅速发展。由于光波导能够约束光波能量，增　加单位面积上的光功率，且易与光纤耦合，因而被广泛应用于波导激光器　调制器、滤波器、波导倍频、全光　

波长变换器等，因此精确分析光波导的特性是集成光电子学研究的重要课题。由于铌酸锂晶体具有非常好的　电光、声光、压电和非线性系数，因而得到了广泛的应用．常用的分析铌酸锂晶体光波导中模式的有效折射率　和模场分布的方法为准解析法ｆ　，　．准解析法对于分析远离截止的光波导模式比较准确，但是对于分析近截　

止的光波模式误差较大；而且对于退火质子交换的光波导，如果退火时间较短，或者当光波波长较长而导致　

所制作的掩模版开口宽度较大时，光波导宽度方向的折射率增量分布呈中间平坦、两端突变的钟型分布，准　解析法不能很好地拟合求解（　。用有限元方法分析光波导具有简单、方便　精确、通用等优点，特别是这种　

方法可以用来分析具有任意折射率截面的光波导，它比准解析法优越之处在于仅需给定光波的波长和相应的　

折射率分布，就能够同时求出ＴＥ模或ＴＭ模所有模式的传播常数和模场分布，简化了单模光波导的设计。　

特别是由于目前计算机速度与存储容量的迅速发展，使得有限元法得以广泛应用［引。　本文第二部分阐述了标量亥姆霍兹方程的有限元泛函分析，第三部分阐述了铌酸锂晶体中退火质子交换　

光波导的折射率分布，第四部分分析了不同退火时间的退火质子交换光波导的模折射率和模场分布。　

２光波导的有限元理论分析　

令铌酸锂光波导的坐标方向为：宽度方向为ｚ，深度方向为Ｙ，传播方向为Ｚ。引入准ＴＥ模和准ＴＭ模　

近似并且忽略光波沿传播方向的折射率变化，可用两维的标量亥姆霍兹方程来描述铌酸锂光波导中的模场分　布：　

嚣　鲁＋　。　

式中　＝２丌／　为自由空间传播常数，　＝ｋ０Ｎｅｅｆ为模传播常数；Ｎｅｆｆ为模折射率；　（ｚ，Ｙ）为所需求解的　

模场分布（ＴＥ模为Ｅｘ、ＴＭ模为　）；ｎ（ｘ，　）为光波导中折射率分布；　、　为波动方程参数，它们　

与铌酸锂基底折射率的关系如表１所示。　

基金项目：天津市重点自然科学基金资助项目（批准号：９９３８００７１）　收稿日期ｔ　２００１－０３－２９；修改日期：２００１－０

５一１０　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　薛挺等：　铌酸锂退火质子交换光波导的有限元法分析　２４１　

Ｔａｂｌｅ　１　Ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　Ｑｚ、Ｑ　

Ｏｐｔｉｃａｌ　ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｑｚ　Ｑ　Ｑｕａｓｉ—ＴＥ　ｎ：／ｎ　１　Ｑｕａｓｉ—ＴＭ　１　ｎ：／ｎ　

Ｔａｂｌｅ　２　Ｔｈｅ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｂｕｌｋ　ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ　ｉｎｄｅｘ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｒｙｓｔａｌ　

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｗａｖｅｇｕｉｄｅ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｓｙｓｔｅｍ　

Ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｎｚ　ｎｙ　ｎｚ　Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ　ｎａｍｅｓ　ｃ—ａ￣ｉｓｌｌｘ　ｎｅ　ｎｏ　ｎ０　Ｘ—ｃｕｔ，Ｙ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ；Ｙ—ｃｕｔ，Ｘ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　ｃ—ａｘｉｓｌｌｙ　ｎｏ　ｎｅ　ｎｏ　Ｚ—ｃｕｔ，Ｘ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ；Ｚ—ｃｕｔ，Ｙ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　ｃ－ａｘｉｓｌｌｚ　ｎｏ　ｎｏ　ｎｅ　Ｘ—ｃｕｔ，Ｚ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ；Ｙ—ｃｕｔ，Ｚ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　

根据变分原理，可构造如下泛函：　

（　）＝　１膳［（　）。＋（　Ｏｌｙ　）。＋瑶（峙一ｎ。（　）　。］出　（２）　

其中，对于ＴＥ模：Ｗ＝１；对于ＴＭ模：Ｗ＝ｎ（ｘ，　）～．　

当此泛函取极小值时，可以证明极值函数　（　，Ｙ）必定满足上述亥姆霍兹方程，因此，与波导场定解问　

题等价的变分问题为：　

（　）＝　１　［（　）。＋（　）。＋瑶（峙一　）　。］如ｄ　＝ｍｔｎ．　（３）　

在波导表面（　＝０）处，折射率是不连续的，相应的边界条件为：　１）　连续；２）　ｗ　ｏ￣连续。其中第二个边　

界条件为齐次自然边界条件，在求　函的极值过程中自动满足．由此可见，用有限元法解分层媒质的电磁场　非常方便，这也是用它来解光波导中波动方程的显著优点．　

３铌酸锂光波导中折射率分布　

由于质子交换会增加铌酸锂的ｅ光折射率，降低。光折射率，因此质子交换后的光波导仅仅能够传播单　

一偏振光．在退火后的铌酸锂质子交换光波导中，考虑到色散情况，折射率增量轨（　，　，Ｙ）可以表示为：　

ｎ（　，　，Ｙ）＝△ｎ（　），（　）９（　）．　（６）　

其中：　，ｃ　＝［ｅｒｒ（乏＋“）＋ｅｒｒ（乏一“）］／２ｅｒｒ（　）　

＝　（　ｃ　）＋ｅｒｒ（　ｃ　）］／２ｅｒｒ（　）　（７）　

（８）　

式中：“＝　／　，ｓ＝２ｘ／ｗ为归一化坐标；ｈ＝、／／　丽为质子交换深度；Ｄ。为质子交换系数；　为　

质子交换温度，ｔｅ为质子交换时间；Ｗ为光波导掩模版开口宽度；ｄ　：２、／／　，ｄｚ＝２、／／　丽　分别代表退火后的扩散深度和宽度；Ｄ。　、Ｄ。　分别为宽度方向和深度方向的退火扩散系数；　为退火温　

度；ｔ。为退火时间；ｅｒｆ为误差函数．　采用苯甲酸作为交换源的交换扩散系数为［３】．　

Ｄ。（　）＝Ｄ。０　ｅｘｐ（－Ｑ／ＲＴ￣），　

其中Ｄ。０为质子交换过程的扩散常数，Ｑ为激活能，Ｒ为气体常数，退火扩散系数ｆ４】：

　维普资讯 http://www.cqvip.com ２４２　量　子　电　子　学　报　１９卷　

Ｄ。　（　）＝Ｄ。０　ｅｘｐ（一　／　）　

其中Ｄ。０为退火过程的扩散常数。　

又有：　Ｄ。　（　）＝０．７・Ｄ。　（　）．　

各项参数如表３所示。　

Ｔａｂｌｅ　３　Ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｏｆ　ａｎｎｅａｌｅｄ　ｐｒｏｔｏｎ　ｅｘｃｈａｎｇｅｄ　ｗａｖｅｇｕｉｄｅ　

Ｄｅ０　Ｑ　Ｒ　Ｄｎ０　７．３６ｘ１０。／ｉｍ。／ｈ　９４　ｋＪ／ｍｏｌ　８．３１４３４　Ｊ／ｍｏｌ・Ｋ　２．６５×１０¨／ｌｍ　／ｈ　１．６７×１Ｏ　Ｋ　（１０）　

△ｎ（　）为波导表面中心处（　＝０，Ｙ＝０）、波长为　的ｅ光折射率增量。折射率增量与波长色散的关系　

为：　△ｎ（　）：△ｎ　（　），其中△ｎ为当　＝０．６３２８，上ｍ时的折射率增量。　（　）为Ｓｅｌｌｎｍｉｅｒ方程『２】．　

（　）＝Ａ＋　＋Ｄ　。・　（　２）　

式中　、Ｂ、Ｃ、Ｄ为拟合参数。质子交换后的光波导处于　相，完全退火后的质子交换光波导处于Ｑ　

相，正常退火后的质子交换光波导处于Ｑ＋　相，其拟合参数与Ｑ相和　相均有关。本文采用文献［２］中所　

给出的数值，因此光波导中的折射率分布为：　

ｎ（　，　，Ｙ）＝ｎｂ　Ｉｋ（　）＋　ｎ（　，　，Ｙ）．　（１３）　

式中ｎ　ｂｕｌ　为铌酸锂基底的ｅ光折射率。　

４铌酸锂质子交换光波导设计　

由于光通信中１．５５　ｍ为光纤的零色散、低损　

耗窗口，是光通信的最佳选择波长，因此本文选择　

光波波长为　＝１．５５　ｐｍ。采用　切ｙ传的铌酸　

锂晶体作为基底，波导中仅能够传播ＴＥ模，光波　

导的其它制作参数如表４所示．　划分网格大小为６４×６４，室温２７℃时，　

铌酸锂晶体对波长为１．５５　ｍ的ｅ光折射率为　

Ｔ／ｂｕｌｋ＝２．１３９７３。对应于不同退火时间的０阶模和　

１阶模的模折射率如表５所示，相应折射率增量分　

布如图１所示，模场分布如图２所示。　Ｔａｂｌｅ　４　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｏｆ　ＬｉＮｂＯ３　ｗａｖｅｇｕｉｄｅ　

Ｐａｘａｍｅｔｅｒ　伯ｌｕｅ　Ｐｒｏｔｏｎ　ｅｘｃｈａｎｇｅｄ　ｓｏｕｒｃｅ　Ｐｕｒｅ　ｂｅｎｚｏｉｃ　ａｃｉｄ　Ｃｕｔ—ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　Ｘ—ｃｕｔ　Ｙ—ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　Ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈ入　１．５５“ｍ　Ｗｉｄｔｈ　ｏｆ　ｍａｓｋ　ｏｐｅｎｎｉｎｇ　Ｗ　８／ｌｍ　Ｅｘｃｈａｎｇｅｄ　ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ　２５０℃　Ｅｘｃｈａｎｇｅｄ　ｔｉｍｅ　３０　ｍｉｎｕｔｅｓ　Ａｎｎｅａｌｅｄ　ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ　３５０。Ｃ　Ｂｕｌｋ　ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ　Ｔ　２７。Ｃ　

从表５中可以看出：　１）退火时间为０．１小时，波导为多模，这是由于较短的退火时间没有改变近似矩　

形的折射率分布，且空气的交界面处的折射率突变较大，导致了多模的存在；另外，从图中可以明显看出光　

波模场透过了铌酸锂与空气的交界面．２）退火时Ｔａｂｌｅ　５　Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｉｎｄｅｘ　ａｔ　ｄｉ　ｒｅｎｔ　ａｎｎｅａｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　

间为３小时，波导为单模，且远离截止，为理想状　

态下的光波导。３）退火时间为１４小时，光波导接　

近截止，这是因为退火时间很长，导致折射率增量　

降低较多，无法束缚导模的缘故。因此，用有限元　Ａｎｎｅａｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　Ｏ．１　Ｈｏｕｒ　３　Ｈｏｕｒｓ　１４　Ｈｏｕｒｓ　０ｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｍｏｄｅ　ｉｎｄｅｘ　２．１５８０　２　１４３４　２．１４１７　１　ｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｍｏｄｅ　ｉｎｄｅｘ　２．１５３０　２．１３９７　２．１３９４　

方法可以非常简单、准确地分析质子交换光波导的特性，从而实现光波导的优化设计与分析，并且可以用来　

分析具有任意折射率分布的光波导。

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－ｓ－６．４．２　Ｏ　２　４　６　８　／ｕｍ　（ａ）　、＼　

．ｔＯ．Ｂ－６－４．２　Ｏ　２　４　６　Ｂ　ｔＯ　Ｘ／ｕｍ　

（ｂ）　０．００６　０００５　｛０．ｏ０４　ｇ０．００３　０００２　羔０．００　１　０．０００　．ｔ０　．５　０　５　／ｕＪｎ　（Ｃ）　

（１）Ｉｎｄｅｘ　Ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｏｆ　ｗｉｄｔｈ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　ａｔ　Ｙ＝０．　（ａ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　＝０．１　ｈｏｕｒ；　（ｂ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　＝３　ｈｏｕｒｓ；（Ｃ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　Ｔ￣＝１４　ｈｏｕｒｓ　

０　２　４　６　８　ｌ０　ｌ２　ｌ４　ｌ６　ｙ／ｕｍ　（ａ）　０　２　４　６　８　ｌ０　ｌ２　ｌ４　ｌ６　ｙ／ｐｍ　（ｂ）　ｔ０　

～

＼　０　５　ｌ０　ｌ５　２０　ｙ／ｕｍ　（Ｃ）　

（２）Ｉｎｄｅｘ　Ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｏｆ　ｄｅｐｔｈ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　ａｔ　＝０．　（ａ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　＝０．１　ｈｏｕｒ；（ｂ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　＝３　ｈｏｕｒｓ；　（Ｃ）Ａｎｎｅａｌｌｉｎｇ　ｔｉｍｅ　Ｔ￣＝１４　ｈｏｕｒｓ