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2 2 2 19.解：（1）由 S n n n
3 S n 3 n n 0, n N
2 即 a1 a1 6 0 .解得 a1 2 或 a1
3 ，由于数列an 为正项数列，所以 a1 2 ；，令 n 1 ，得 S12 (1S1 6 0 ， 2 2 2 （2）由 S n n n 3 S n 3 n n 0, n N ，因式分解得 Sn 3 Sn n2 2n 0 2 2 由数列an 为正项数列可得 S n n 2n 0 ，即 S n n 2n ，当n 2 时， 2 an Sn Sn 1 n 2 2n n 1 2 n 1 2n ，由 a1 2 可得，n N ， an 2n 1 1 （3）由（2）可知 an an 1 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 an
an 1 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 1 1
; 当 n 1 时，显然有 a1 a1 1 6 3 n N 当 n 2 时， 1 1 a1 a1 1 a2 a2 1 1 an an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 3 2 2n 1 3 2 2 1 2 3 5 5 7 2n 1 2 n
1 1 1 1 1 . 所以，对一切正整数 n ，有 a1 a1 1 a
2 a2 1
an an 1 3 5 c 得：a 3, b 2. 3 a 20.解：（1） x2 y2 1 椭圆方程为： 9 4 设两个切点分别为 A、B 由c 5 , e （2）①当两条切线中有一条
斜率不存在时，即 A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P点坐标为（
3,2）
②当两条切线斜率均存在时，设椭圆切线斜率为 k，过点P的椭圆切线方程
为 y - y 0 k ( x x0 y - y 0 k ( x x0 联立 x 2 y 2 ，得 1 4
9 2 2 2 2 （9k 4）x (18ky0 18k 2 x0 x 9k 2 x0 18kx0 y 0 9 y 0
36 0 2 2 9 k 2 2 x 0 y 0 k y 0 40 △ 0 9k 2 4 (kx0 y 0 2
( x0 2 y0 4 2 x0 9 设PA、PB斜率分别为k1、k 2，则k1 k 2 又PA、PB互相垂直， k1 k 2 2 2 化简得x0 （x0 3 y0 13 2 y0 4 -1 2 x0 9 2 2 又 P（ 3,2）在x0 y0 13上点P在圆x 2 y 2 13上.
21.解：（1）由 f x 1 3 f ' x x2 2 x a f ' x 0 ，令 x
x 2 ax 1 ，求导得 3 2 即 x 2 x a 0 ， 4 4a ， ' ①当 0 ，即 a 1 时， f x 0 恒成立， f x 在 R 上单调递增；②当 0 ，
即 a 1 时，方程 x2 2 x a 0 的两根分别为：当 x 1 当 x
1 x1 1 1 a ， x
2 1 1 a ，当 x , 1 1 a , f ' x 0, f x 单调递增； 1 a , 1 1 a ， f ' x 0 ， f
x 单调递减； 1 a , , f ' x 0, f x 单调递增。（3）当 a
0 时，由（1），令 x1 1 1 a 1 ，解得 a 3 . ①当 a 3 时，
1 1 1 a ，由（ 1 ）的讨论可知 f x 在 0,1上单调递减，此时不存在1 1 1 x0 0, ,1，使得 f x0 f 2
2 2 ②当
3 a 0 时， 1 1 1 a ， f x 在 0, 1 1
a 递减，在 1 1 a ,1 递增， 25 1 1 1 1 1 f 1 f
a ，依题意，要 f x 存在 x0 (0, ( ,1 ，使得 f ( x0 f ( ， 24 2 2 2 2 2
25 25 25 1 1 0 ，解得 a ，于是有 a 0 即为所求。只需 f 1
f a 24 12 12 2 2
