人教课标版高中数学必修一《函数的表示(第1课时)》教案(1)-新版

1.2.2函数的表示（第1课时）

一、教学目标

（一）核心素养

通过本节课，让学生了解函数表示的必要性及多样性，丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象函数的函数概念.在数学运算、建模过程中初步体会数形结合这一重要数学方法。

（二）学习目标

1.了解函数的三种表示方法及各自的优点与不足，在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

2.理解映射的概念，了解其与函数的区别，并能判断某些对应关系是否是映射.

3.会画简单函数的图像,能根据要求求函数的解析式.

（三）学习重点

1.函数的三种表示法，根据具体问题选择合适的方法表示函数.

2.了解映射的概念及其表示.

3.会画简单函数图像，能根据要求求函数解析式.

（四）学习难点

1.根据具体问题选择合适的方法表示函数.

2.函数解析式的求法.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）填空：通过初中的学习我们应该知道函数的表示方法有_解析法、图像法、列表法___.

（2）映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应BAf：为从集合A到集合B的一个映射.记作“BAf：”

2.预习自测

（1）函数的表示法中，能够直观反应函数变化情况的是图像法；可以不需计算直接看出函数值的是列表法；可以通过计算得出任一自变量对应的函数值的是解析法。

（2）下列对应:fAB,不是从集合A到B映射的有___①②__ ① ,0,:;ARBxRxfxx

②*,,:1;ANBNfxx

③20,,:.AxRxBRfxx

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）函数的概念，函数的三要素。（定义域、对应法则、值域）

（2）初中画函数图像的方法是描点法，步骤是：列表、描点、连线.

2.问题探究

探究一 函数的表示法

●活动① 对比提炼三种表示法的优缺点

我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如之前的例子： 炮弹发射后距地面高度h与时间t的函数关系式.

图像法，就是用图像表示两个变量之间的对应关系，如之前的例子：南极上空臭氧层空洞的变化情况.

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。如之前的例子：恩格尔系数表.

对比三种表示法，能说说三种表示法的优缺点吗？

表示法 优点 缺点

解析法 简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值 不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式

图像法 能形象直观地表示变量的变化情况 只能近似地求出自变量所对应的函数值

列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 只能表示有限个数的自变量所对应的函数值

所有的函数都能用解析法表示吗？可以举出例子吗？（否，股票走势图等）

小结：所以，对于一个具体的问题，我们应当学会选择适当的方法表示问题中的函数关系。其中，解析法是中学研究函数的主要表示方法，而图像法是今后利用数形结合思想解题的基础。

抢答：能举出几个用解析法、图像法或者列表法表示的函数吗？ 解析法：正方形面积S与边长a的函数关系式；一次函数二次函数解析式等.

图像法：股票走势图；天气变化图等.

列表法：初中学习过的三角函数表；生活中的列车时刻表；银行利率表等

【设计意图】通过大量的实例让学生对比体会函数三种表示法的特点.

●活动②互动交流、初步实践★

例1.（1）某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本需要y（元），试用函数的三种表示法表示函数.xfy

（2）作出下列函数的图像.

① y＝x2|x|； ②y＝2x2－4x－3，(0≤x＜3).

【知识点】函数的表示方法.

【数学思想】

【解题过程】（1）这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x{1,2,3,4}.

它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成.

（2）①函数定义域是{x|x∈R，且x≠0}.由于y＝x （x>0），－x （x<0），

该函数的图像是除去端点(0，0)的两条射线.图像如下图所示.

②∵0≤x<3，∴图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧(如图).

【思路点拨】(1)函数的图像通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段(或射线)组成.

(2)有些函数应先求定义域，在定义域上化简函数式后，再作图较合理.绝对值函数其实就是分段函数；

(3)作函数图像的一般步骤是：列表、描点、连线，如果我们对函数图像的大致形状比较熟悉，那么可不必列表，直接描点、连线.

【答案】（1）;4,3,2,1,5xxxf

DCBA

●活动③ 巩固基础 检查过手

同类训练1 (1)作函数y＝1－x(x∈Z)的图像.

(2)作函数y＝x （x>1），1 （－1≤x≤1），－2x （x<－1）的图像.

【知识点】函数的表示方法.

【数学思想】

【解题过程】略

【思路点拨】(1)∵定义域为一些独立的连续整数，

∴这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，这些点称为整点.

（2）分段函数注意自变量范围.

【答案】

x 1 2 3 4

y 5 10 15 20 探究二 解析式的求法★▲

●活动①待定系数法

例2. (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x).

(2)已知二次函数y＝f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求函数y＝f(x)的解析式.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法

【数学思想】

【解题过程】(1) 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，

所以k2x＋kb＋b＝16x－25.所以k2＝16，kb＋b＝－25⇒k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝253.

（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(0)＝1，即c＝1.①∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

由f(x－2)＝f(－x－2)，得a(x－2)2＋b(x－2)＋1＝a(－x－2)2＋b(－x－2)＋1.

整理得(4a－b)x＝0，即4a－b＝0.②

由被x轴截得的线段长为22，得|x1－x2|＝22，即(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝8.

得(－ba)2－41a＝8.整理得b2－4a＝8a2.③，由②③得a＝12，b＝2.

【思路点拨】 此类型题目一般说明函数的类型，需要我们确定其系数或一些常量，即“待定系数法”，而此题的关键在于根据“恒等式”的特点来写出等量关系的，这也是今后常用的一种思维方法.

【答案】（1）f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋253.（2）f(x)＝12x2＋2x＋1.

小结：我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题， 这样的思维方法叫做待定系数法.

待定系数法适用于：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.

同类训练2 已知二次函数图像的顶点坐标为(1，1)，且过(2，2)点，则该二次函数的解析式为( )

A.y＝x2－1 B.y＝－(x－1)2＋1

C.y＝(x－1)2＋1 D.y＝(x－1)2－1

【知识点】函数解析式的求解及常用方法 【数学思想】

【解题过程】设函数f(x)＝a(x－1)2＋1将点(2，2)代入得a＝1.

【思路点拨】待定系数法

【答案】C

●活动② 换元法

例3 已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法

【数学思想】

【解题过程】(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，∴f(x)＝x2(x≥1).

【思路点拨】如果把x＋1视为t，那么左边就是一个关于t的函数f(t).只要在等式x＋1＝t中，用t表示x，将右边化成t的表达式，问题即可解决.

【答案】f(x)＝x2(x≥1)

小结：换元法是已知y＝f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式的方法.和配凑法比较，换元法适用范围更广更常规，其具体步骤是：令t＝g(x)，由t＝g(x)求出x，即用t表示x，代入y＝f[g(x)]中，得出f(t)，即可得到f(x)的解析式.值得注意的是，t的取值范围由t＝g(x)而定，也就是f(x)的定义域.

同类训练3 已知f1x＝x1－x2，求f(x)的表达式.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法

【数学思想】

【解题过程】设t=错误！未找到引用源。 (t错误！未找到引用源。),x=错误！未找到引用源。 ,f(t)=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ,f(x)=错误！未找到引用源。 (x≠0)

【思路点拨】换元法

【答案】f(x)＝xx2－1(x≠0)

●活动③ 解方程组法

例4.如果函数f(x)满足方程2f(x)＋f1x＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)的解析式.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法

【数学思想】 【解题过程】∵2f(x)＋f1x＝2x，①；将x换成1x，则1x换成x，得2f1x＋f(x)＝2x.②

由①②消去f1x，得3f(x)＝4x－2x.∴f(x)＝43x－23x，(x∈R且x≠0).

【思路点拨】欲求f(x)，必须消去已知方程中的f1x，不难想到再寻找一个方程，可由x与1x的倒数关系，用1x去替换已知式中的x，便可得另一个方程，然后联立解之.

【答案】f(x)＝43x－23x，(x∈R且x≠0).

小结：解方程组法也叫消元法，它是将函数中的自变量x适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程，从两个函数方程组成的方程组中，通过消元，得到所求函数解析式.

同类训练4 已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法

【数学思想】

【解题过程】∵f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，f（－x）＋2f（x）＝x2－2x，∴f(x)＝13x2－2x.

【思路点拨】方程组法

【答案】f(x)＝13x2－2x.

探究三 映射的概念★▲

●活动①提炼概念 辨析理解

通过前面的学习我们知道，函数本质是“两个数集间的一种对应关系”，若我们将数集扩展到任意的集合就可以得到一种新的对应关系，叫做映射.

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应BAf：为从集合A到集合B的一个映射.记作“BAf：”

映射的特点是：

①映射包括集合A，B以及A到B的对应法则f，三者缺一不可.