北京四中九年级(上)期中数学试卷

第1页（共9页） 北京四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1．（3分）函数y=（x+1）2﹣2的最小值是（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．（3分）如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（ ） A．= B．= C．= D．= 3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1是由抛物线y=x2平移得到的，下列对于抛物线y=x2的平移过程叙述正确的是（ ） A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 4．（3分）若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．无法确定 5．（3分）如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，则AC的长是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（3分）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（ ）

第2页（共9页） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 7．（3分）已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，1），则关于x的方程=kx的两个实数根分别为（ ） A．x1=﹣1，x2=1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣2，x2=1 D．x1=﹣2，x2=2 8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0 二、填空题（本题共8分，每小题2分） 9．（2分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是 ． 10．（2分）反比例函数y=在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k值，k= ． 11．（2分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，城墙CD长 9 里，城墙BC长 7 里，东门所在的点E，南门所在的点F分别是CD，BC 的中点，EG⊥CD，EG=15里，FH⊥BC，点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH= 里．

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12．（2分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3． （1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是 ． （2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形…以此类推，则第n个内接正方形的边长an= （n为正整数） 三、解答题（本题共68分，第13-22题每小题5分，第23-25题每小题5分） 13．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3． （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 14．（5分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足AB•AD=AE•AC，连接DE 求证：∠ABC=∠AED． 15．（5分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．

第4页（共9页） 16．（5分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F． （1）求证：△CDE∽△CBF； （2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长． 17．（5分）抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ； ②抛物线经过点 （﹣3， ）； （2）试确定抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式． 18．（5分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0） （1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A2的坐标．

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19．（5分）如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的坐标 为（1，m）． （1）求反比例函数y=的表达式； （2）点C（n，1）在反比例函数y=的图象上，求△AOC的面积． 20．（5分）已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 21．（5分）青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．（5分）问题探究： 新定义： 将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．

第6页（共9页） 解决问题： 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2． （1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长； （2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等） 23．（6分）在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究： 已知：如图在△ABC中，点D 是BA边延长线上一动点，点F 在BC上，且=，连接DF交AC于点E． （1）如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出的值； （2）如图2，当=a（a＞0）时，请求出的值（用含a的代数式表示）． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法： 甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题； 老师说：“这三位同学的想法都可以”． 请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问的值． 24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为A． （1）求顶点A的坐标；

第7页（共9页） （2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+4﹣4（a≠0）交于B、C两点． ①当a=1时，求线段BC的长； ②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围． 25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值=2．则图形W的测度面积S=mn=4 （1）若图形W是抛物线y=﹣x2+2x+3和直线y=2x﹣1围成的封闭图形，则它的测度面积S= ． （2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD． ①当A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S= ； ②此图形测度面积S的最大值为 ． （3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

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第9页（共9页） 北京四中九年级（上）期中数学试卷 参考答案 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1．D；2．B；3．A；4．C；5．B；6．C；7．D；8．D； 二、填空题（本题共8分，每小题2分） 9．（2，1）；10．3；11．1.05；12．2；； 三、解答题（本题共68分，第13-22题每小题5分，第23-25题每小题5分） 13． ；14． ；15．；16． ；17．（﹣2，0）；（1，0），；8；18．；19． ；20． ；21． ；22． ；23． ；24． ；25．36；1；2；