专题04 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理(命题猜想)-2017年高考数学(理)命题猜想与

命题猜想四 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理

【考向解读】

1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.

2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.

3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；

4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；

5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.

6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.

【命题热点突破一】程序框图

例1、【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出x,y的值满足

（A）2yx （B）3yx （C）4yx （D）5yx

n=n+1结束输出x,yx2+y2≥36？x=x+n-12，y=ny输入x,y,n开始

【答案】C

【解析】当0,1,1xyn时，110,1112xy，不满足2236xy；

2112,0,21222nxy，不满足2236xy；13133,,236222nxy，满足2236xy；输出3,62xy，则输出的,xy的值满足4yx，故选C.

【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．

【变式探究】

某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是(

)

A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?

【答案】A

【命题热点突破二】合情推理与演绎推理

例2、(1)观察下列各式：

C01＝40；

C03＋C13＝41；

C05＋C15＋C25＝42；

C07＋C17＋C27＋C37＝43；

……

照此规律，当n∈N*时，

C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________．

(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x＋2)＋2×(y－3)＝0，化简得x－2y＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，2，－3)的平面的方程为________． 【答案】（1）4n－1 （2）x－2y＋3z－6＝0

【解析】（1）归纳可知，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝4n－1.

（2）类比直线方程的求解方法，可得平面的方程为（－1）×（x－1）＋2×（y－2）＋（－3）×（z－3）＝0，即x－2y＋3z－6＝0.

【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．

【变式探究】

已知cosπ3＝12，cosπ5cos2π5＝14，cosπ7cos2π7·cos3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．

【答案】cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n（n∈N*）

【命题热点突破三】排列与组合

例3、【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

【答案】D

【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A种排法，所以奇数的个数为443A72，故选D.

【感悟提升】

解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等．

【变式探究】

已知直线xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条.

【答案】60

【命题热点突破四】二项式定理

例4、【2016年高考北京理数】在6(12)x错误！未找到引用源。的展开式中，2x的系数为__________________.（用数字作答）

【答案】60.

【解析】根据二项展开的通项公式16(2)rrrrTCx可知，2x的系数为226(2)60C。

【感悟提升】

(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．

【变式探究】（2015·全国卷Ⅱ） (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．

【答案】3

【解析】（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a，第二个因式取C14x及C34x3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取C04x0，C24x2及C44x4.所以系数之和为aC14＋aC34＋C04＋C24＋C44＝8a＋8＝32，所以a＝3.

【高考真题解读】

1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出x,y的值满足

（A）2yx （B）3yx （C）4yx （D）5yx n=n+1结束输出x,yx2+y2≥36？x=x+n-12，y=ny输入x,y,n开始

【答案】C

2.【2016高考新课标3理数】执行下图的程序框图，如果输入的46ab，，那么输出的n（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B

3.【2016年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35

【答案】B

【解析】程序运行如下3,21,201224,10nxvivi

4219,0092018,10,vivi结束循环，输出18v，故选B.

4.【2016高考新课标2理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2xn，依次输入的a为2，2，5，则输出的s（ ）

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

【答案】C

5.【2016年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A.1 B.2 C.3

D.4

【答案】B

【解析】输入1a，则0k，1b；进入循环体，21a，否，1k，2a，否， 2k，1a，此时1ba，输出k，则2k，选B.

6.【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

【答案】3

【解析】第一次循环：a1,b8；第二次循环：a3,b6；第三次循环：a6,b3；满足条件，结束循环，此时，i3.

7.【2016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【答案】B 【解析】依次循环：8,n2;S2,n3;S4,n4S结束循环，输出S4，选B.

8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲

.

【答案】9

【解析】第一次循环：5,7ab，第二次循环：9,5ab，此时ab循环结束9a。

1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318，故选B.

2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则6()xi的展开式中含x4的项为

（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4

【答案】A

【解析】二项式6()xi展开的通项616rrrrTCxi，令64r，得2r，则展开式中含4x的项为2424615Cxix，故选A.

3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A种排法，所以奇数的个数为443A72，故选D.

4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”na如下：na共有2m项，其中m项为0，m项

为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若4m，则不同的“规范01数列”共有

（ ）

（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个

【答案】C

【解析】由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：

0 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1

1

0

1 0 0 1

1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

1 0 0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

5.【2016年高考北京理数】在6(12)x错误！未找到引用源。的展开式中，2x的系数为__________________.（用数字作答）