直线的方程(一)

【教学案例】

直线的方程（一）

（西安高新一中）

（一）教学分析

1．学生起点分析：

（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，

（2）学生活动的经验基础：

学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。

2．教学任务分析：

（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。

（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。 （3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。

（二）教学过程

1．问题提出：

方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。

方案二：一次函数的一般形式为 y = kx + b，其图像为一条直线。当一次项系数k > 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k < 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。

问题提出：

① 从集合的角度看，直线可以看成什么？

② 在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？

③ 一次函数的图像是怎么描绘出来的？

④ 一次函数的解析式可以看成什么？

关于直线对称的直线方程公式

直线对称即直线上的任意两点关于该直线对称。在平面几何中，我们可以通过坐标系上的直线方程来描述直线对称。

首先，我们来看一下一般直线方程的形式。一般直线方程可以表示成为Ax+By+C=0的形式，其中A,B和C为实数，且至少有一个为非零。这个方程描述了平面上所有满足该方程的点的集合，也就是直线。

现在我们来考虑一条直线对称的情况。设直线L上有一个点P(x1,y1)，L上的另一个点P'(x2,y2)关于直线L对称。我们需要找到直线L的方程。

首先，我们可以得到直线L的斜率k。根据直线上两点的斜率公式，我们有：

k=(y2-y1)/(x2-x1)

由于P'是关于直线L对称的点，所以直线L的斜率与PP'的斜率相等。根据斜率与直线方程的关系，我们可以得到直线L的方程的一般形式为：

y-y1=k(x-x1)

将直线的一般方程形式代入，并将k替换成(y2-y1)/(x2-x1)，我们得到直线L的方程为：

(y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)

在上述方程中，我们可以将(y-y1)写成(y-y2)并进行整理，得到另一种形式的直线方程：

(y-y2)=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x2) 这两种形式的方程都可以用来描述直线L，它们代表了直线L上的所有点。

除了上述两种形式的方程之外，我们还可以用截距的方式来表示直线L的方程。如果L与x轴交于(0,b)，则直线的方程可以表示为：

y = kx + b

其中b为与x轴的截距，k为斜率。在直线对称的情况下，该方程也成立。可以通过类似的推导，我们可以得到直线在截距形式的方程。

总之，直线对称的直线方程可以有多种形式，包括一般形式和截距形式。根据具体的情况和问题的要求，选择适合的方程形式可以更方便地进行计算和推导。

1 3.2.3 直线的一般式方程

一、直线的一般式方程

1．直线的一般式方程

在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.

2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化

直线的一般式、斜截式、截距式如下表：

一般式 斜截式 截距式

0(,AxByCAB不同时为0) (0)ACyxBBB 1(,,xyABCCCAB都不为0)

直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：

（1）当0B时,0AxByC可化为ACyxBB,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为

的直线.

（2）当,,ABC均不为零时，0AxByC可化为1xyCCAB，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线.

注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.

二、直线系方程

1．平行直线系方程

把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线0AxByC平行的直线系方程都可表示为 (其中m为参数且m≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定m的值.

2．垂直直线系方程

一般地，与直线0AxByC垂直的直线系方程都可表示为 (其中m为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m的值.

三、一般式方程中两直线平行与垂直的条件

若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线12,ll的方程分别为 2 1110AxByC,2220AxByC，

则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：

（1）若12ll∥，当斜率存在时，111222ABCABC；当斜率不存在时，120BB且1212CCAA.

一点式直线方程公式

点向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的——(（x0,y0）为直线上一点，{u,v}为直线的法向向量)。高中数学中直线方程之一。u(x-x0)+v(y-y0)=0，且u,v不全为零的方程，称为点法向式方程。该方程可以表示所有直线。

点向式方程公式是什么

1已知一般式方程求点法向式方程

设平面方程为ax+by+cz+d=0，则其法向量为(a/√(a²+b²+c²),b/√(a²+b²+c²),c/√(a²+b²+c²))。

二次函数配方法就可以了。比如y=x^2+4*x+5=(x+2)^2+1，过点（-2,1），法线为x=-2

2由直线一般方程求点向式方程

直线一般方程可理解为两个平面方程的交线，可以分别写出两平面的法向量n1、n2，根据法向量的定义，n1和n2垂直于本平面的所有直线。

待求直线为两平面交线，所以必然垂直于n1和n2；根据向量叉乘的几何意义，直线的方向向量L必然平行于n1×n2，可直接令L=n1×n2。

再从方程中求出直线上的任意一点（例如可令z=0，直线方程变成二元一次方程组，解出x和y，就得到一个点坐标）

综上就可列出直线的点向式方程。