湖北省安陆一中高二数学同步测试椭圆二 苏教版

安陆一中高二数学同步测试椭圆（四）一．选择题：1．椭圆9x 2＋25y 2＝225上一点P 到左焦点的距离为6，则它到右准线的距离（ ）。

（A ）49（B ）415 （C ）215 （D ）5 2．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。

（A ）16x 2＋9y 2＝1 （B ）16x 2＋12y 2＝1 （C ）4x 2＋3y 2＝1 （D ）3x 2＋4y 2＝1 3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0 (a <b <0)的焦点是（ ）。

（A ）(0,±b a -) （B ）(±b a -,0) （C ）(0,±a b -) （D ）(±a b -,0)4．F 是椭圆的一个焦点，BB ′是椭圆的短轴，若△BFB ′是等边三角形，则椭圆的离心率e 等于（ ）。

（A ）41（B ）21 （C ）22 （D ）23 5．椭圆22m x ＋22)1(+m y ＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

（A ）全体实数 （B ）m <－21且m ≠－1 （C ）m >－21且m ≠0 （D ）m >06．与椭圆22x ＋52y ＝1共焦点，且经过点P （23, 1）的椭圆方程是（ ）。

（A ）x 2＋42y ＝1（B ）22x ＋852y ＝1（C ）42x ＋y 2＝1（D ）42x ＋72y ＝1 二．填空题： 7．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2, 0)，则椭圆的标准方程是 。

8．若椭圆9422y m x ++＝1的一条准线方程是y ＝－92，则m 的值是 。

9．如果椭圆252x ＋92y ＝1上一点A 到左焦点的距离是4，那么A 到椭圆两条准线的距离分别是 。

10．如果椭圆的两顶点将准线间的距离分成三等分，那么椭圆的离心率是 。

安陆一中高二数学同步测试 直线与圆锥曲线(三)一．选择题1．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．设椭圆3422y x +＝1的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为（ ）A ．－43B ．－34 C ．43D ．34 3．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值为（ ）A ．－21B ．21 C ．±21 D ．±25．曲线y ＝x 2－｜x ｜－12与x 轴相交，则两交点间的距离为（ ）A ．8B ．0C ．7D ．1二．填空题6．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是_____．7．已知(4，2)是直线l 被椭圆93622y x +＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是_____． 8．过椭圆3x 2＋4y 2＝48的左焦点F 引直线交椭圆于A 、B 两点，若｜AB ｜＝7，则此直线的方程为______．9．已知双曲线x 2－32y ＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为______．三．解答题10、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.1、 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.12、如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.13、(2004年北京春卷18) 已知点A （2，8∆ABC 的重心与此抛物线的焦点F （I ）写出该抛物线的方程和焦点F （II ）求线段BC 中点M 的坐标；（III ）求BC 所在直线的方程．14、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=．15、(2004年全国卷Ⅳ21)设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0,(2c F (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP 1与直线PF 2垂直. (Ⅰ)求实数m 的取值范围; (Ⅱ)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q , 若,3222-=PF QF 求直线PF 2的方程.16、(2004年湖北卷)直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C的右焦点F ？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．17．求过点(0，2)的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程．18．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A(3，0)，B(0，3)，求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件(用m 的取值范围表示)．19．如图8—4，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M(0，r) (b ＞r ＞0)．图8—4(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(Ⅱ)直线y ＝k 1x 交椭圆于两点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)(y 2＞0)；直线y ＝k 2x 交椭圆于两点G(x 3，y 3)，H(x 4，y 4)(y 4＞0)．求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C 、D 、G 、H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q ． 求证：|OP|＝|OQ|．(证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．20.已知双曲线x 2－22y ＝1与点P(1，2)，过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点(1)求直线AB 的方程．(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q 为中点的弦．21.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．22.在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．23.以椭圆222y ax ＝1(a ＞1)的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在．如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由．24.已知椭圆的一个焦点F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－429，且离心率e 满足：32，e ，34成等比数列． (1)求椭圆方程；(2)是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x ＝－21 平分．若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．直线与圆锥曲线(三)参考答案一．选择题1.B2.A3.C4.B5.A 二．填空题6.4837.x ＋2y －8＝08.y ＝±23(x ＋2) 9.6 三．解答题10.解:由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0,由方程组⎩⎨⎧=+=x y m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) ,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2.11.解:(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线 1C .当l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 ①(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程 ① 有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程 ①有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程 ①无解，l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 , ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 , 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3 故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4. (3)解析法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x , ①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0,即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k 1)=0(k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516. 解析法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③ ,将③代入椭圆方程92522y x +=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解析得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解析法一).13.解: （I ）由点A （2，8）在抛物线y px 22=上，有8222=⋅p , 解得p =16. 所以抛物线方程为y x 232=，焦点F 的坐标为（8，0）（II ）如图，由F （8，0）是∆ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，① ②且AFFM=2 设点M 的坐标为()x y 00，，则 221288212000++=++=x y ， 解得x y 00114==-，所以点M 的坐标为()114，-（III ）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴． 设BC 所成直线的方程为 y k x k +=-≠4110()()由y k x y x +=-=⎧⎨⎩411322()消x 得 ky y k 232321140--+=() 所以y y k 1232+=由（II ）的结论得y y 1224+=- , 解得k =-4 ,因此BC 所在直线的方程为 y x +=--4411() 即 4400x y +-=.14.解:（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x ．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a . 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e ． （2）〖解〗由（1）可得A （3，0）．设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k ． 设),(),,(2211y x Q y x P ，则 13182221+=+k k x x ， ① 136272221+-=k k x x ． ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y ．于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ． ③∵0=⋅，∴02121=+y y x x ． ④ 由①、②、③、④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k ． 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x（3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=．由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -， 故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=． 而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以FQ FM λ-=. 15.解:(Ⅰ) 由题设有m>0， m c =.设点P 的坐标为),,(00y x 由,21PF PF ⊥得10000-=+⋅-cx y c x y , 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与112020=++y m x 联立,解得.1,12022m y m m x =-= 由m>0. ,01220≥-=mm x 得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.(Ⅱ)准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),,(11y x 则 .11mm x +=.1112x m mmm x c c x PF QF --+=--= ② 将mm x 120-=代入②,化简得.1112222-+=---mmmmPFQF由题设,3222-=PFQF得,3212-=-+mm无解,将mmx12--=代入②,化简得.1112222--=-+=mmmmPFQF由题设=22PFQF,32-得.3212-=--mm解得m=2.从而,2,22,23=±=-=cyx得到PF2的方程, ).2)(23(--±=xy16.解:（Ⅰ）将直线l的方程1+=kxy代入双曲线C的方程1222=-yx后，整理得22)2(22=++-kxxk．…………①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，得22≠-k，)22(8)2(2>--=∆kk，222>--kk，222>-k．解得k的取值范围为22-<<-k．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则由①得22122kkxx-=+，22221-=⋅kxx．………………②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得))((2121=+--yycxcx．即0)1)(1())((2121=+++--kxkxcxcx．整理得01))((|)1(221212=+++-+cxxckxxk．……………………③把②式及26=c代入③式化简得066225=-+kk．解得566+-=k 或)2,2(566--∉-=k （舍去）． 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 17.解:设直线方程为y ＝kx ＋2，把它代入x 2＋2y 2＝2整理得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－2626>k 或， 设直线与椭圆两个交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点坐标为C(x ，y)，则 x ＝1242221+-=+k kx x y ＝1222124222+=++-k k k从参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=12212422k y k k x (k ＜－26或k ＞26)消去k 得 x 2＋2(y －1)2＝2 且｜x ｜＜26，0＜y ＜21．综上，所求轨迹方程为2)1y (2x 22=-+，其中26|x |<，21y 0<< 18.解:线段AB 所在直线方程为x ＋y ＝3，与方程y ＝－x 2＋mx －1消去y 得：x 2－(m ＋1)x ＋4＝0曲线C 与线段AB 有两个交点的充要条件是该方程在[0，3］上有两个不同解，令f(x)＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则19.解(1) 椭圆方程为1b)r y (a x 2222=-+． 焦点坐标为F 1(－r ,b a 22-)，F 2(r ,b a 22-)，离心率e ＝ab a 22-．(Ⅱ)【证明】将直线CD 的方程y ＝k 1x 代入椭圆方程，得 b 2x 2＋a 2(k 1x －r)2＝a 2b 2，整理得(b 2＋a 2k 12)x 2－2k 1a 2rx ＋(a 2r 2－a 2b 2)＝0． 根据韦达定理，得x 1＋x 2＝2122222221212221k a b b a r a x x ,k a b r a k 2+-=+所以r k b r x x x x 12221212-=+①将直线GH 的方程y ＝k 2x 代入椭圆方程，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+．②由①，②得4343222212112x x x x k r b r x x x x k +=-=+． 所以结论成立．(Ⅲ)【证明】设点P(p ，0)，点Q(q ，0)． 由C ，P ，H 共线，得421141x k x k p x p x =--，解得p ＝42114121)(x k x k x x k k --．由D ，Q ，G 共线，同理可得q ＝32213221)(x k x k x x k k --．由4343221211x x x x k x x x x k +=+变形得－421141322132x k x k x x k k x k x x -=-， 即－4211412132213221)()(x k x k x x k k x k x k x x k k --=--． 所以|p|＝|q|，即|OP|＝|OQ|． 所以结论成立．20.解(1)设过P(1，2)点的直线为y －2＝k(x －1)代入双曲线方程得(2－k 2)x 2＋(2k 2－4k)x －(k 2－4k ＋6)＝0 由AB 中点为P(1，2)∴ x 1＋x 2＝24222--k kk ＝2，解得k ＝1，又k ＝1时，使Δ＝16＞0，从而直线AB 方程为x －y ＋1＝0(2)【证明】按同样方法求得k ＝2，而k ＝2使此时Δ＜0，所以直线CD 不存在21.解:设椭圆方程2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)∵e ＝23 ∴a 2＝4b 2，即a ＝2b ∴椭圆方程为2222by b 4x +＝1把直线方程代入化简得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51(4－4b 2)∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝51(1－4b 2) 由于OM ⊥ON ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 解得b 2＝85，a 2＝25所以椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1．22.解:设B 、C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 方程为x ＝－ky ＋m 代入y 2＝4x 得，y 2＋4ky －4m ＝0，设B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)，BC 中点M(x 0，y 0)，则 y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2＋m ∵点M(x 0，y 0)在直线l 上，∴－2k ＝k(2k 2＋m)＋3，∴m ＝－kk k 3223++又BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0，把m 代入化简得 k k k 323++＜0即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0．23.解:由题意可知：直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴．故可设BC 边所在直线方程为y ＝kx ＋1(不妨设k ＜0)，则BA 边所在直线方程为y ＝－k1x ＋1． ∵⎪⎩⎪⎨⎧=++=1y ax 1kx y 222 消去y 得： (1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0解得x 1＝0，x 2＝－222k a 1ka 2+∴｜BC ｜＝21k +｜x 1－x 2｜＝2222k a 1k 1|k |a 2++用－k 1代替上式中的k 得｜AB ｜＝2222ka k 1a 2++ 由｜BC ｜＝｜BA ｜，得｜k ｜(a 2＋k 2)＝1＋a 2k 2注意到k ＜0得(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1］＝0①当(a 2－1)2－4＜0即1＜a ＜3时，①有惟一解k ＝－1； 当a ＝3时，①有惟一解k ＝－1； 当a ＞3时，①有三个不同的解．综上所述：当1＜a ≤3时，只能作出一个三角形；当a ＞3时，能作出三个三角形． 24.解:依题意e ＝322． (1)∵c a 2－c ＝322,4222429==-e 又 ∴a ＝3，c ＝22，b ＝1，又F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－429． ∴椭圆中心在原点，所求方程为x 2＋91y 2＝1 (2)假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x ＝－21平分，∴直线l 的斜率 存在．设直线l ：y ＝kx ＋m由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1922y x m kx y 消去y ，整理得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2－9＝0∵l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)＞0即m 2－k 2－9＜0 ① 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2) ∴2192221-=+-=+k km x x ， ∴m ＝kk 292+②把②代入①式中得2224)9(kk +－(k 2＋9)＜0 ∴k ＞3或k ＜－3 ∴直线l 倾斜角α∈(3π，2π)∪(2π，32π)。

安陆一中高二数学同步测试椭圆（十一）一、选择题：1. 设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段或不存在D. 不存在2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为 （ ） A. 112814422=+y x 或114412822=+y x B. 14622=+y x C. 1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或14622=+y x 2. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是 （ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 13. 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） A. 41 B. 21 C. 22 D. 23 4. 若椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离为25，那么点P 到右焦 点的距离与到左焦点的距离之比是（ ）A. 4∶1B. 9∶1C. 12∶1D. 5∶1 6. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈20,a ，方程122=α+αcos y sin x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是 （ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π40, B. ⎥⎦⎤⎝⎛π40, C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ24, D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ24, θ=cos x 4 7. 参数方程 （θ为参数）表示的曲线是（ ）θ=sin y 3A. 以()07,±为焦点的椭圆 B. 以()04,±为焦点的椭圆 C. 离心率为57的椭圆 D. 离心率为53的椭圆 8. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴9. 点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部，则a 的取值范围是（ ） A. 2-＜a ＜2 B. a ＜2-或a ＞2C. 2-＜a ＜2D. 1-＜a ＜110. 若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ， 则21PF F ∆的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. 23 D. 21 11. 椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。

安陆一中高二数学同步测试椭圆（十三）一．选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是。

（ ）（A ）59 （B ）516 （C ）441 （D ）541 2．P (x , y )是椭圆16x 2＋9y 2=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是。

（ ）（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2=1 3．椭圆22(1)1m x my --=的长轴长是 （ ） （A ）m m --112 （B ）m m --2 （C ）m m 2 （D ）mm --11 4．已知椭圆13222=+y x ，F 1 , F 2是它的焦点，AB 是过F 1的弦，则∆ABF 2的周长为 ( )(A)22 (B)24 (C)32 (D)345.椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是 （ ） （A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）16. P (x , y )是椭圆16x 2＋9y 2=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是 。

（ ）（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2=1 7．椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离的比为2∶3，则离心率为 ( ) (A)23 (B)13 (C)33 (D)158．椭圆192522=+y x 上一点P,它到左准线的距离为2.5,那么点P 到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 ( )(A)3：1 (B)4：1 (C)15：2 (D)5：19.若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为。

2.1 圆锥曲线2.2 椭圆（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(每小题5分，共60分)1.已知点A(－1,0),B(1,0),动点P满足P A+PB=3，则动点P的轨迹为________________.2.已知点A（－2，0），B（2，0），动点M满足|MA－MB|=4，则动点M的轨迹为________________.3.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M（1，0）的距离等于1，则动点P的轨迹是________________.4.直线x－2y＋2=0经过椭圆（a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________.5.“-3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）6.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为_____________.7.P为椭圆上的点，是两焦点，若∠P＝30°，则△P的面积是________.8.椭圆与连结的线段没有公共点，则正数的取值范围是________.9.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.10.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是_______.11.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________________.12.椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是_____________.二、解答题（共40分）13.(20分)已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率（1）求椭圆的方程（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.14.(20分)已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程.一、填空题1.以A（－1，0），B（1，0）为焦点的椭圆解析：由P A+PB=3＞AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A（－1，0），B（1，0）为焦点的椭圆．2.直线AB（不包括线段AB内部的点）上的两条射线解析：动点M满足|MA－MB|=4=AB，结合图形判断动点M的轨迹为直线AB（不包括线段AB内部的点）上的两条射线．3.以点M为焦点，直线x=-1为准线的抛物线解析：将直线x+2=0向右平移1个单位长度得到直线x+1=0，则动点到直线x+1=0的距离等于它到M（1，0）的距离，由抛物线的定义知：点P的轨迹是以点M为焦点，直线x=-1为准线的抛物线．4.解析：直线x-2y+2=0过点(0，1)，(-2，0)，∴c=2，b=1，a= ，e= = = .5. 必要不充分解析：由方程表示椭圆知即-3＜m＜5且m≠1.故填“必要不充分”.6. 解析：方法一：由题意，设椭圆方程为，设直线与椭圆的两个交点分别为），则-得，∴ =-×=3.又＝2×=1，=（3=3－4=－1，－=3，即3又∴∴椭圆方程为.方法二：由题意，设椭圆方程为,与直线方程联立得消去并整理得.由弦的中点的横坐标为,可得,解得.所以椭圆方程为.7. 解析：设｜｜＝m，｜｜=n，运用椭圆定义和余弦定理列方程求解.∵m+n=2a⇒又由余弦定理有⇒⇒ = ⇒mn= ，∴= mn sin 30°= ··＝4(2- ).8. 解析：由题意得，当点在椭圆外部或点在椭圆内部时，椭圆与连结的线段没有公共点，所以或,解得或.9.4或- 解析：①当焦点在x轴上时，a2=k+8＞9，b2=9，∴=k-1＞0.∴k＞1且e= = = = .解得k=4.②当焦点在y轴上时， =9， =k+8＞0，∴=9-k-8=1-k＞0.∴ -8＜k＜1且e= = = = .解得k=- .10. 解析：设椭圆的上顶点为，焦点为,椭圆上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则.由余弦定理可得，即,所以，即，解得.11. 解析：由题意可得P A＋PF=FB=2.又AF=1，所以点的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，其中,,,所以椭圆方程为.12. 解析：原方程可化为,，，所以，，.不妨设A为右顶点，设所作等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入椭圆方程得，所以.二、解答题13.解：（1）设椭圆方程为，由已知得.又，所以，所以，故所求椭圆方程为.（2）设直线的方程为.代入椭圆方程整理得.由题意得解得或.又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是.14.解：（1）由已知，，.因为∥，所以，即所求曲线的方程是.（2）由消去得，解得.由，解得.所以直线的方程为或.。

湖北省安陆一中高二数学同步测试椭圆十一． 选择题：1．方程3x 2－sin(θ＋4π)y 2＝1表示椭圆时，θ的取值范围是（ ）。

（A ）[43π, 47π] （B ）(43π, 47π)（C ）(2k π＋43π, 2k π＋47π), k ∈Z （D ）(k π＋43π, k π＋47π), k ∈Z2．要使直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆ax 2＋7y 2＝7a 总有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）。

（A ）0<a ≤1 （B ）0<a <7 （C ）1≤a <7 （D ）1<a ≤73．已知F 1是椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2 (a >b >0) (c 2＝a 2－b 2)的一个焦点，PQ 是过中心的一条弦，则△PQF 1面积的最大值是（ ）。

（A ）21ab （B ）ab （C ）ac （D ）bc 4．如果椭圆4x 2＋y 2＝k 上两点间的最大距离是8，那么k 等于（ ）。

（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）45．若过椭圆的左焦点的弦PQ 垂直于长轴，且PF 右⊥QF 右，则椭圆的离心率为（ ）。

（A ）2＋1 （B ）2－1 （C ）21(2－2) （D ）21(5－1) 6．若F 1，F 2是椭圆22x ＋y 2＝1的两个焦点，过F 2作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 1AB 的面积为（ ）。

（A ）332 （B ）324 （C ）324－1 （D ）347．椭圆12222=+by a x (a >b >0)和双曲线12222=-n y m x (m >0, n >0)有共同的焦点，且P为两曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（ ）。

（A ）a 2＋m 2 （B ）a 2－m 2（C ）a －m （D ）a ＋m8．已知F 1、F 2是双曲线191622=-y x 的两个焦点，PQ 是过点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为（ ）。

湖北省安陆一中高二数学同步测试椭圆三一．选择题：1．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A． B．C． D．2．椭圆的焦点坐标是（）．A． B．C． D．3．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（）A． B．C． D．二．填空题：4．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是。

5．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为．6．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题：7．椭圆的焦距为6且经过点，求焦点在轴上的椭圆的标准方程．8．椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦的中点横坐标为，求椭圆的标准方程．9．已知方程，，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．10．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．11．椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，为原点，的斜率为，求椭圆的方程．[参考答案]一．选择题：1．C 2．C 3．B二、填空题：4． 5．6．，三．解答题：7．8．设所求椭圆方程为，由，得，将与联立消去得．设，，则，解出、，所求椭圆方程为．9．当时，方程的图形为直线；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆；当时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆．画图略．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作苏教版选修2—1椭圆的标准方程及几何性质测试一．选择题1.椭圆的两个焦点分别是F 1(-8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是( )A.3x 2+1002y =1 B.4002x +3362y =1 C.1002x + 362y =1 D. 202x +122y =12.与椭圆92x +42y =1共焦点，且过点P(3，-2)的椭圆方程是( )A. 152x +192y =1B. 102x +152y =1C.152x + 102y =1 D. 102x +152y =13.椭圆m x 2+42y =1的焦距是2，则m 的值是 ( )A.5B.8C.5或3D.204.过椭圆252x + 92y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是( )A.16B.18C.20D.不能确定5.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(53，-4)和Q(-54，3)，此椭圆的方程是( )A. 252x +y 2=1B.x 2+252y =1 C.252x +y 2=1或x 2+252y =1 D.非A 、B 、C 答案6.在△ABC 中，A(-1，0)，C(1，0)，且｜BC ｜、｜CA ｜、｜AB ｜成公差为 负的等差数列，则顶点B 的轨迹方程为( )A. 42x +32y =1B. 42x +32y =1(x ＞0)]C. 42x +32y =1(-2＜x ＜0)D. 42x +32y =1(x ＜0)7.椭圆的焦点为(-2，0)和(2，0)，且椭圆过点(25，-23)，则椭圆方程是( )A. 102y +62x =1B. 102x +62y =1C. 82y +42x =1D. 42y +82x =18.P 是椭圆252x +162y =1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P 点的坐标是( )A.(1，986)B. ( 925，9814)C.(1，±986)D. (925,±9814) 9.若关于x,y 的方程x 2sin α-y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆，则方程 (x+cos α)2+(y+sin α)2=1所表示的圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA=32则椭圆的方程是( )A. 362x +202y =1B. 92x +52y =1C. 202x +362y =1或362x +202y =1D. 92x +52y =1或52x +92y =1二．填空题11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是 (-10，0)，则焦点坐标是 .12.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆 方程为 .13.P 点在椭圆452x +202y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .14.在周长为16的△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(-3，0)和(3，0)，则 点A 的轨迹方程是 .15.直线x-y-m=0与椭圆92x +y 2=1相切，则m 的值是 .16.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭 圆的标准方程是 三．解答题17.椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3， 求椭圆的方程.18.已知椭圆92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P 点坐标.19.椭圆92x +182y =1的内接矩形的长与宽的比是3∶2，求矩形的面积.20.椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得OP ⊥AP(O 为原点，A 为长轴端点)，求证：a ＞2b.参考答案1.C2.C3.C4.C5.B6.C7.B8.D9.D 10.D 11.(0，-69) (0，69)12. 362x +162y =1或362y +162x =113.(3，4)，(3，-4)，(-3，4)，(-3，-4)14. 252x +162y =1(y ≠0)15.±1016. 252x +162y =1或252y +162x =117. 122x +92y =118.(0，2)或(0，-2)19. 11216或1743220.设P(x 0,y 0),A(a,0),则y 20=22ab (a 2-x 20)，由OP ⊥AP 得y 20=x 0(a-x 0),解得x 0=222b a ab -，不妨设P 在第一象限，则0＜x 0＜a ，即0＜222b a ab -＜a,得a ＞2b.。

1.过点⎝⎛⎭⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649＝12.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)， ∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝13.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k<2，即k >1.答案：k >1[A 级 基础达标]1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，∴椭圆方程为y 240＋x 215＝1.答案：y 240＋x215＝12.若椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.答案：53.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y225＝14.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k ＋x 21＝1，则c 2＝5－k －1＝4，解得k ＝－1，满足5－k>1，故k ＝－1. 答案：－15.方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎨⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12.故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 6.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：(1)x 225＋y 29＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2a 2＋1＋x 2a 2＋5＝1(a ∈R )． 解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)．(2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12， ∴c ＝22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，22，⎝⎛⎭⎫0，－22.(3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧．[B 级 能力提升]8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________．解析：方程变形为x 26＋y 22m ＝1，∵焦点在y 轴上，∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2， ∴2m －6＝22，∴m ＝5. 答案：59.已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)， (－m －1，0)10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程．解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20.又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ， ∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆， ∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1.11.(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b 2＝1，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1。

高二数学同步测试：椭圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有 （ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、 B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）(12分)18．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．54 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) [解析]:由 2223254c b a a c e b =-===⇒812==，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或18014422=+x y . 16．(12分) [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17．(12分)[解析]：（1）PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±） （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x 0，y 0）即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4（3）由)0,4(400x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||210000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆ 22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON 当且仅当22,|2||22|m in 00==∆MON S y x 时.18．（12分）[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab a b a b ac e 又由（1）知12222-=a a b 26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 19．(14分)[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y 的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x 1||x －x 2|=1，也即|x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++m mx x ∵m=y －x ，∴|x 2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x 夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20．(14分) [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k .所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.。