目录题型五二次函数与几何图形综合题 (2)类型一与特殊三角形形状有关 (2)类型二与特殊四边形形状有关 (8)类型三与三角形相似有关 (19)类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (24)类型五与线段、周长最值有关 (30)题型五二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（），顶点为N（），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.3. （’16原创）如图，抛物线y = -12x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.答案1. 解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为112bx =-=-⨯， 解得b =2，∵抛物线过点C （0,3），∴c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；（2）由抛物线y =-x 2+2x +3，令y =0得，-x 2+2x +3=0， 解得x 1=-1,x 2=3，∴点A （-1,0），点B （3,0）， 当x =1时，y =-12+2+3=4,∴点D 的坐标为（1,4）.如解图，过D 作DM ⊥AB 于M ，则OM =1，DM =4， ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OMDC +S △BMD=12AO ·OC +12（OC +MD ）·OM +12BM ·DM =12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2 =9.（3）设点P 的坐标为（t ,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t )2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形，则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t )2，解得t =0，此时点P 的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P 的坐标为（-3,0）；③PB 2=BC 2则(3-t )2=18，解得t =3+t =3-此时点P 的坐标为（3+）或（3-）.2. 解：（1）由抛物线的顶点为N （-1,），故设抛物线的顶点式为y =a (x +1)2，将点M （a ×(-2+1)2=3，解得a =3-,∴抛物线的解析式为y = -3 (x +1)2+3.即y =3-x 23-x（2）对于抛物线y =-2-y = 0,得2-x ， 解得x 1=1,x 2=-3，∴点A （1,0），点B （-3,0），令抛物线x =0,得y ，∴点C 的坐标为（）.∴AB 2=42=16,AC 2=12)2=4,BC 2=32)2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.(3)由抛物线顶点N （）知抛物线的对称轴为x =-1，设点Q 的坐标为（-1,t ），则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t2=t 2-+4，BC 2=12. 要使△BQC 是直角三角形，(ⅰ) 当∠BQC ＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2, 即4+t 2+t 2-+4=12， 解得t 1,t 2Q 的坐标为（-1-1，2-2）；（ⅱ）当∠QBC ＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2，即4+t 2+12=t 2-+4，解得t=-Q 的坐标为（-1，-； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2，即t 2-+4+12=4+t 2，解得t=Q 的坐标为（-1, . 综上，当△QBC 是直角三角形时，点Q 坐标为（-1，2），（-1，± 3. 解：（1）∵点A （-1,0），C （0,2）在抛物线上，∴1022m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y =-12x 2+32x +2； （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵抛物线y =-12x 2+32x +2的对称轴为直线x =32， ∴点D （32,0）， ∵A （-1,0），C （0,2），∴AC ，AD =1+32=52,CD 52=，∴AD =CD ≠AC ，∴△ACD 是等腰三角形； （3）令抛物线y =-12x 2+32x +2=0，得x 1=-1,x 2=4,∴点B 的坐标为（4,0），则BC = 取BC 的中点为S ，则点S 的坐标为（2,1）； 设点P （32,t ），则PS =12BC (2-32)2+(t -1)2=5，解得t 1t 2∴存在这样的点P ，其坐标为（32）或（32，.4. 解：（1）当y =0时，x 2-4x +3=0， ∴x 1=1，x 2=3， 即：A (1，0),B (3，0);（2） ①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x =2或顶点的横坐标都为2； （Ⅱ）都经过A (1，0),B (3，0)两点； ②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形. ∵y =kx 2-4kx +3k =k （x -2）2-k , ∴顶点P （2，-k ）.∵A (1，0)，B (3，0)，∴AB = 2，要使△ABP 为等边三角形，必满足|-k |=3，∴k =±3；③线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，∴kx2-4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2-4x+3=8,∴x1=-1，x2=5，∴EF =x2-x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.类型二与特殊四边形形状有关针对演练1. 抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.2. 如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC =2BC，连接OA，OB，BD和AD.（1）若点A 的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求直线BD 的解析式；（3）是否存在b 、c 使得四边形AOBD 是矩形，若存在，直接写出b 与c 的关系式；若不存在，说明理由.3. 如图，已知直线y =43-x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是线段AB的中点，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)过O 、A 两点，且其顶点的纵坐标为43-.(1)分别写出A 、B 、C 三点的坐标； (2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4. （’15毕节16分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.第4题图 （1）求抛物线的解析式;（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.5. (’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP =DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.答案1. 解:（1）把A (0,2),B (3,2)代入y =x 2+bx +c ,得2932c b c =⎧⎨++=⎩，解得32b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2-3x +2, 当y =0时，x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)、(2,0). （2）存在.理由：∵A (0，2)，B (3，2)， ∴AB ∥x 轴，且AB =3,要使A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要CD =AB =3.①当C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0）； ②当C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）.∴存在点D ，使以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐标为（4，0）或（5，0）.2. 解：（1）∵CA ∥x 轴，点A 的坐标为（-4,4）， ∴点C 的坐标为（0,4）， 将点A 与点C 代入y =-x 2+bx +c 得16444b c c --+=⎧⎨=⎩，解得44b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =-x 2-4x +4； （2）∵AC =2BC ，∴BC =2， ∴点B 的坐标为（2,4），由抛物线y =-x 2-4x +4得顶点D 的坐标为（-2,8）， 设直线BD 的解析式为y =kx +m ，则2824k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得16k m =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的解析式为y =-x +6.（3）存在，b 与c 的关系式为b c .【解法提示】∵点C 的坐标为（0，c ），抛物线的对称轴为x =2b＜0，即b ＜0，AC ∥x 轴，∴点A 的坐标为（b ,c ），∵AC =2BC ，∴点B 的坐标为（-2b,c ）， 则AB 的中点坐标为（4b,c ）， 若四边形AOBD 是矩形， 则需①OD 的中点坐标为（4b,c ）；②OD =AB ， 由①得点D 的坐标为（4b,2c ）， 由②得(32b )2=(4b )2+(2c )2，整理得2c 2=b 2，∵c ＞0，b ＜0, ∴bc .3. 解：（1）令y =0，即-43x +8=0，得x =6,∴A 点坐标为（6，0）， 令x =0,则y =8，∴B 点坐标为（0，8）， ∴C 点坐标为（3，4）.（2）∵点C 在抛物线的对称轴上， ∴抛物线顶点坐标为（3，-43）. 依题意有036604933c a b c a b c ⎧=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩,解得427890a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数解析式为248279y x x =-； （3）存在.∵∠AOB ＝90°，A （6，0）、B （0，8），∴10AB ===, ∵C 是AB 的中点，∴OC =12AB =BC =5, ∵OB =8,∴OB ＞OC ，且OB ＞BC ，∴当以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接PC ，则OB 是PC 的垂直平分线， ∴点P 与点C 关于y 轴对称， ∵C （3，4）， ∴P （-3，4），把点P （-3，4）代入抛物线解析式248279y x x =-得： 当x ＝-3时，y ＝427×（-3）2-89×（-3）＝4， ∴点P （-3，4）在抛物线上.故在抛物线上存在点P ，使以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形，且点P 的坐标是（-3，4）.4. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （-1,0），B (3,0),∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）(x -3)＝x 2-2x -3；……………………（4分） （2）∵抛物线y ＝x 2-2x -3=(x -1)2-4， ∴点M 的坐标为（1,-4）. ∵点M 与点M′关于x 轴对称，∴点M′的坐标为（1,4），…………………………………………………（6分） 设直线AM′的解析式为y =kx +m ， 将点A （-1,0），点M′(1，4)代入得，4k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得22k m =⎧⎨=⎩，∴直线AM′的解析式为y ＝2x +2，…………………………………………（8分） 将直线AM′与抛物线y ＝x 2-2x -3联立得22223y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，22512x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（5,12），……………………………………………………（10分） 又∵AB =3-（-1）＝4， ∴S △CAB =12×4×12＝24. ……………………………………………………（12分） （3）∵四边形APBQ 是正方形， ∴PQ 垂直且平分AB ，且PQ =AB ， 设PQ 与x 轴交点为N ，则PN =12AB ＝2, ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. …………………………………（13分） 设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3)，将点（1,2）代入得a =-12， 此时抛物线解析式为y =-12 (x +1)(x -3)=- 12x 2+x +32；………………（15分）将点（1，-2）代入得a =12，此时抛物线解析式为2113(1)(3)222y x x x x =+-=--.……………………（16分）5. 解:(1)∵四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝5，OC ＝AB ＝4，∠COA ＝90°，又∵△CED 是△BCD 沿直线CD 折叠得到的，点B 的对应点为点E ， ∴CE ＝BC ＝5，在Rt△COE 中，OE 2＝CE 2-OC 2， ∴OE∴OE＝3. ………………………………………………………………………(2分) （2）设AD =m,则DE=BD=4-m.∵OE＝3，∴AE＝OA-OE＝5-3＝2.在Rt△ADE中，AD2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4-m)2,∴m＝32，∴D（-32，-5）. ………………………………………………………………（4分）又∵C（-4，0），O（0，0），∴设过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=ax(x+4)，∴-5＝-32a·（-32+4），∴a＝43，∴经过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=43x2+163x. …………………（6分）（3）①由于运动时间为t秒，则EQ＝t，CP＝2t，如解图①，∵△BCD沿直线CD折叠得到△ECD, ∴BD＝DE,若DP＝DQ，则Rt△P BD≌Rt△QED（HL）,∴PB＝QE,即CB-CP＝EQ.∴5-2t＝t,解得t＝53 .………………………………………………………………………(8分)（4）（ⅰ）如解图②，当M 点在对称轴右侧，即为M1点，M 1N ∥CE 且M 1N =CE 时，四边形ECNM 1为平行四边形，过M 1作M 1F 垂直对称轴于点F ，则△M 1FN ≌△COE ， ∴FM 1＝OC ，∵对称轴为直线x ＝-2， ∴此时，点M 1的横坐标为2， 对于y =43x 2+163x ，当 x ＝2时，y =16， ∴点M 1的坐标为（2，16）. ………………………………………………(10分) (ⅱ)如解图③，当M 点在对称轴左侧，即为M2，M 2N ∥CE 且M 2N =CE 时，四边形ECM 2N 为平行四边形，过M 2作 M 2F 垂直对称轴于点F ，则△M 2FN ≌△COE ， ∴FM 2＝OC ，∵对称轴直线x ＝-2， ∴此时，点M 2的横坐标为-6. 对于y =43x 2+163x ，当x ＝-6时，y =16， ∴点M 2的坐标为（-6，16）. ………………………………………………(12分) （ⅲ）如解图④，当M 点在抛物线的顶点上，即为点M 3，CN ∥ M 3E 且CN = M 3E 时,四边形EM 3CN 为平行四边形,CE 与NM 3相交于点O′，则O′为线段CE 的中点， 又∵点M 3在对称轴上，则M 3的横坐标为-2，对于y =43x 2+163x ，当 x ＝-2时，y =-163， ∴点M 3的坐标为（-2，-163 ）.综上所述，当点M 的坐标为（2，16）、（-6，16）、（-2，-163）时，以M ,N ,C ,E为顶点的四边形为平行四边形. ……………………………………………(14分)类型三与三角形相似有关针对演练1. （’15黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-16x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y 轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b、c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.2. （’15常德模拟）已知抛物线y =ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x =1，顶点为E，直线y =-13x+1交y轴于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？答案解：（1）由抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A （0，4）和C （8，0）可得， ∴4164806c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩,解得564b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故b 的值为56，c 的值为4；………………………………………………（3分） （2）∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝∠EPB ＝90°-∠APO ，∴△AOP ∽△PEB ，则2OA AP PE PB==, ∵AO =4,P （t ,0）,∴PE =2,OE =OP +PE = t +2,又∵DE =OA =4,∴点D 的坐标为（t +2,4）, ∴点D 落在抛物线上时，有-16(t +2)2+56(t +2)+4=4, 解得t =3或t =-2,∵t ＞0,∴t =3.故当t 为3时，点D 落在抛物线上；…………………………………………（6分）（3）存在，理由：由（2）知△AOP ∽△PEB ， 则2OP AP BE PB==，∵P (t ,0),即OP ＝t .∴BE ＝2t . ①当0＜t ＜8时，若△POA ∽△ADB ，则OP AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 整理得t 2+16=0,∴t 无解；若△POA ∽△BDA ，则PO AO BD AD =,即41242t t t =+-， 解得t 1= -2+t 2= -2-舍去)；②当t ＞8时，如解图.若△POA ∽△ADB ，则PO AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 解得t 1= 8+t 2= 8-负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理可得t 无解.综上可知，当t=-2+8+A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似. …………………………………………………………………………（12分） 2. 解：（1）由抛物线y =ax 2-2x +c 得，对称轴2122b x a a-=-=-=,∴a =1， 将点A （-1，0）及a ＝1，代入y =ax 2-2x +c 中，得1+2+c =0，c =-3，∴抛物线的解析式：y =x 2-2x -3；（2）由抛物线的解析式y =x 2-2x -3=(x -1)2-4 =(x +1)(x -3),得点C （0，-3）、B （3，0）、E （1，-4）.易知点D （0，1），则有：OD ＝1，OB ＝3，BDCE，BC＝BE＝ ∴OD OB BD CE BC BE==， ∴△BCE ∽△BOD ；（3）S △BOE =12×BO ×|y E |=12×3×4＝6， ∴S △BDP ＝12×BD ×h =S △BOE ＝6，即h, 在y 轴上取点M ，过点M 作MN 1⊥BD 于N 1，使得MN 1=h, 在Rt△MN 1D 中，sin∠MDN 1＝sin∠BDO＝OB BD =， 且MN 1则MD ＝11sin MN MDN ∠=4; ∴点M （0，-3）或（0，5）.过点M 作直线l ⊥MN 2，如解图，则直线l :y =-13x -3或y =-13x +5. 联立抛物线的解析式有：213323y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩或215323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩ , 解得：1103x y =⎧⎨=-⎩,2235329x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3356x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,4456x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当点P 的坐标为（0，-3），（53，329-），），，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积.类型四与图形面积函数关系式、最值有关针对演练1.（’15安顺26题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B(4,52).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（不与点A,B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标.2. （’15岳阳模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．3. （’15永州模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=0，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使S △POF ∶S △QOF =1∶3？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由.答案1.解：（1）由题意得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，……………………………………（2分） 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，…………………………………………………………………（4分）∴215222y x x =-++.…………………………………………………………（6分） (2)设直线AB 为y kx b =+，则有0542k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……………………………………………………………………（7分） ∴直线AB 的解析式为1122y x =+.…………………………………………（8分） 则21511(,2),(,)2222D m m m C m m -+++，…………………………………（9分）21511(2)()2222CD m m m =-++-+ 213222m m =-++.………………………………………………………（10分） ∴11(1)(4)22ACD BCD S S S m CD m CD =+=+⋅+-⋅△△ 21521135(2)222CD m m =⨯⨯=⨯⨯-++ 2515544m m =-++. …………………………………………………（11分） ∵54-＜0, ∴抛物线开口向下故当m ＝32时，S 有最大值. ………………………………………………（12分） 当m ＝32时，111315222224m +=⨯+=, ∴点C （32，54）. 当S 取最大值时的点C 坐标为（32，54）.…………………………………（14分） 2. 解：（1）将A （1，0），B （-3，0）代入y =-x 2+bx +c 中，得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,∴23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为:y =-x 2-2x +3；（2）存在.理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，∴直线BC 与x =-1的交点即为Q 点，此时△AQC 的周长最小，∵y ＝-x 2-2x +3,∴C 的坐标为（0，3），∴直线BC 的解析式为y =x +3.将x =-1代入y =x +3中，解得y =2,∴Q (-1,2).（3）存在.理由如下：∵B (-3,0),C (0,3)，∴水平宽a =x C -x B =0-(-3)=3.设点P （x ,-x 2-2x +3）(-3<x <0)，过P 点作PE ⊥x 轴交x 轴于点E ，交BC 于点F ，则F 点坐标为（x ，x +3）， ∴铅垂高h=y P -y F ＝-x 2-2x +3-(x +3)=-x 2-3x ，∴S =12ah = 32(-x 2-3x )=- 32(x 2+3x +94-94) =-32（x +32）2+278， ∴当x =-32时，△BPC 的面积最大，最大为278， 当x =-32时，-x 2-2x +3 =154, ∴点P 的坐标为（-32，154）. 3. （1）证明：作BC ⊥x 轴于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，∵A ，B 点坐标分别为（m ,6）,(n ,1),∴BC =1,OC =-n ,OD =m ,AD =6,又OA ⊥OB ，易证△CBO ∽△DOA ， ∴CB CO DO DA=, ∴16n m -=， ∴mn =-6.（2）解：由（1）知，△CBO ∽△DOA ， ∴1OB BC OA OD m==,即OA ＝m BO ， 又∵S △AOB ＝10， ∴32OB ·OA ＝10，即OB ·OA ＝20， ∴mBO 2=20,又OB 2=BC 2+OC 2=n 2+1,∴m (n 2+1)=20,又∵mn =-6,∴m =2,n =-3,∴A 坐标为（2，6），B 坐标为（-3，1），易得抛物线解析式为y =-x 2+10.(3)解：存在.理由如下：直线AB 的解析式为y =x +4，且与y 轴交于点F （0，4），∴OF ＝4，假设存在直线l 交抛物线于P ，Q 两点，使S △POF ∶S △QOF =1∶3,如解图所示，则有PF ∶FQ =1∶3，作PM ⊥y 轴于点M ，QN ⊥ y 轴于点N ，设P 坐标为（x ,-x 2+10），∴PM ＝-x ,OM ＝-x 2+10，则FM =OM -OF =(-x 2+10)-4=-x 2+6,易证△PMF ∽△QNF , ∴13PM MF PF QN FN QF ===, ∴QN ＝3PM =-3x ,NF =3MF =-3x 2+18,∴ON =NF –OF =-3x 2+18-4=-3x 2+14,∴Q点坐标为（-3x,3x2-14）,∵Q点在抛物线y=-x2+10上，∴3x2-14=-9x2+10,解得：x1x2∴P 1,8）,Q 1P 2,8),Q 2∴易得直线PQ的函数关系式为y x+4或y x+4.类型五与线段、周长最值有关针对演练1. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、B两点,其中O为原点,且OB=6,抛物线的顶点为A,若点M(1,209)是抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式;(2)若N为抛物线对称轴上一个动点,当NO +NM的值最小时,求点N的坐标.2. （’15枣庄10分）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （12，52）和B （4，m ）两点，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△PAC 为直角三角形时，求点P 的坐标.3. （’15沈阳14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D . (1)填空：点A 的坐标为(___，___)，点B 的坐标为(___，___),点C 的坐标为(___，___)，点D 的坐标为(___，___);(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合).①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合)，请直接写出△PQR周长的最小值.温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.答案解：(1)由对称性得抛物线与x轴的交点为O(0，0)，B(6，0)，设抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-6)，∵M(1，209)是抛物线上一点，∴209=a ×1×(-5)，∴a =-49， ∴抛物线的解析式为y =-49x 2+83x .(2)抛物线对称轴为：x =3，∵点O 、B 关于对称轴对称， ∴连接MB 交对称轴于N ，如解图，这时NO +NM 的值最小. 设MB 的解析式为：y =k 1x +b 1， 将B （6，0），M (1，209)代入MB 的解析式中， 得11110620=9k b k b =+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得114-983k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，易得直线MB 的解析式为48-93y x =+，当x =3时，y =43，∴N (3，43).2.解：（1）∵B (4,m )在直线y =x +2上， ∴m =4+2=6, ∴B (4,6)， ∵点A (12,52),B (4,6)在抛物线y =ax 2+bx +6上， ∴22115()62224466b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y =2x 2-8x +6. …………………………………………（3分） (2）设动点P 的坐标为（n ,n +2），则点C 的坐标为(n ，2n 2-8n +6)， ∴PC =(n +2)-(2n 2-8n +6)=-2n 2+9n -4=-2(n -94)2+498. ∴当n =94时，线段PC 取得最大值498. ∴存在这样的点P ,使线段PC 的长有最大值，PC 最大值为498.……………（6分） (3)如解图①，显然，∠APC ≠90°，当∠PAC =90°时，直线AB 的解析式为y =x +2， 设直线AC 的解析式为y =-x +b , 把A (12，52)代入得52＝-12+b ，解得b =3. ∴直线AC 的解析式为y =-x +3. 由-x +3=2x 2-8x +6, 解得x = 3或x =12（舍去）， 当x =3时，x +2=3+2=5,此时，点P 坐标为P 1(3,5)；………………………（8分） 当∠PCA =90°时，如解图②，由A (12,52)知，点C 的纵坐标为y =52. 由2x 2-8x +6=52,得x 1＝12（舍去），x 2=72, 当x =72时，x +2=72+2=112.此时，点P 坐标为P 2(72,112).综上所述，满足条件的点P 有两个,分别为P 1(3,5)，P 2（72，112）. …（10分） 3. 解：（1）A （0,2）,B （-3,0）,C （1,0），D （-1，83）【解法提示】∵抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点，∴2242033x x --+=，解得x 1=-3,x 2 =1,∵点B 在点C 的左侧，∴B (-3，0)，C (1，0)，又∵抛物线与y 轴交于点A ，∴当x =0时，y =2，∴A (0，2).∵431222()3ba --==-⨯-，且当x =-1时，2248(1)(1)2333y =-⨯--⨯-+=.∴顶点D 的坐标为（-1，83）.（2）①设点P 的坐标为（n ,0），-3＜n ＜1. ∵EP ⊥x 轴，点E 在抛物线上，∴点E 的坐标为（n , 224233n n --+），又∵PE =PC ，∴2242133n n n --+=-，∴n 1=-32,n 2=1(不符合题意，舍去)，当n=-32时，2224224252()()23333332n n --+=-⨯--⨯-+=，∴E (-32,52)，…………………………………………………………………（7分）②32或52.…………………………………………………………………… (10分) 【解法提示】如解图①，设直线DE 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ，直线EA 与x轴交于点K ，根据E 、D 的坐标求得直线ED 的解析式为y =13x +3，根据E 、A 的坐标求得直线EA 的解析式为y =-13x +2，∴△MEK 是以MK 为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN 为底边的等腰三角形，∵到EA 和ED 的距离相等的点F 在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是E 点到坐标轴的距离，∴EF =32或52.③. ………………………………………………………………(14分)【解法提示】根据题意得：当P与O重合时，周长最小，如解图②，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于点Q，交AC于点R，此时△PQR的周长＝PQ +QR +PR =EF，∵A(0，2)，B(-3，0)，C(1，0)，∴AB=AC=∵S△AOB=12×12OE×AB =12OA·OB，∴OE，易得△OEM ∽△ABO，∴OM EM OEOA OB AB==，即23OM EM==，∴OM =2413，EM =3613，∴E(-2413，3613)，同理可求F(85，45)，∴△PQR周长的最小值为65EF==.。
