高中数学第二章数列课时作业14等比数列前n项和的性质与数列求和新人教B版

S n = an + an−1 + ⋯ + a2 + a1
n(a1 + an ) ． 2
x2 ，求 x2 + 1 1 1 1 1 ． f( )+f( ) + ⋯ + f ( ) + f ( ) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2013) + f (2014) 2014 2013 3 2 1 2 ( ) x 1 1 x2 解：因为 f (x) = ，所以 f ( ) = ．故 = 2 2 2 x + 1 x x +1 1 ( ) +1 x 1 f (x) + f ( ) = 1. x
四、课后作业
1. 数列 1
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1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 , ⋯ 前 n 项的和为 ( 2 4 8 16 1 n2 + n A． n + 2 2 1 n2 + n C．− n + 2 2
答案： B
) 1 n2 + n + +1 2 2n 2 1 n −n D．− + n+1 2 2
1 ，求数列{b n }的前项和 S n ． nan 解：（1）设等差数列{an }的公差为 d ，因为 a7 = 4 ，a19 = 2a9 ，所以 + 6d = 4, { a1 a1 + 18d = 2(a1 + 8d).
解方程组，得
⎧ a1 = 1, ⎨ ⎩d = 1 . 2
所以数列{an }的通项公式为
a2 + a4 = 2(a3 + 1),
整理，得

第一课时等比数列的前n项和[选题明细表]知识点、方法题号等比数列的前n项和公式1,2,6等比数列前n项和的性质3,5,7,11综合应用4,8,9,10,12基础巩固1.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)243 (D)275解析:因为a5=a1q4,所以q4=.因为数列各项均为正数,所以q=,所以S5==211.故选B.2.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.3.等比数列{a n}中,a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n等于( B )(A)2n-1 (B)(C)(D)解析:由题意结合等比数列的性质知=1,所以a2=1,又a2,a4,a6,…也成等比数列,且公比q==4,所以a2+a4+…+a2n==.故选B.4.(2019·石家庄高二检测)等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.5.(2019·开封高二检测)等比数列{a n}的前n项和为S n,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于( C )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析:设等比数列{a n}的公比为q,因为S2n-S n=q n S n,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.故选C. 6.设等比数列{a n}的公比q=,前n项和为S n,则= .解析:因为S4=,a4=a1q3,所以==15.答案:157.等比数列{a n}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{a n}的前100项和为.解析:由=q,q=2,得=2⇒a2+a4+…+a100=300,则数列{a n}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.答案:4508.(2019·太原高二检测)已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(1)S n为数列{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.(1)证明:因为a n=×()n-1=,S n==,所以S n=.(2)解:b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=-.所以{b n}的通项公式为b n=-.能力提升9.(2019·合肥高二检测)在等比数列{a n}中,若a1+a2+…+a n=2n-1,则++…+等于( B )(A)(2n-1)2(B)(4n-1)(C)(2n-1) (D)4n-1解析:由a1+a2+…+a n=2n-1,得a1=1,a2=2,所以{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以{}是以1为首项,4为公比的等比数列,所以++…+==(4n-1).故选B.10.(2019·绵阳高二期末)已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列,其前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,则a n= .解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2==.又{a n}不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列{a n}的通项公式为a n=×(-)n-1=(-1)n-1×.答案:(-1)n-1×11.已知等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比与项数.解:设此等比数列共2n项,公比为q.由于S奇≠S偶,所以q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项,以q2为公比的等比数列,故所有奇数项之和为S奇==85.①同理可得所有偶数项之和为S偶==170.②②÷①,得q=2,代入①得22n=256,解得2n=8,所以这个数列共8项,公比为2.探究创新12.(2019·邯郸模拟)一个公差不为0的等差数列{a n}共有100项,首项为5,其第1,4,16项分别为正项等比数列{b n}的第1,3,5项.(1)求{a n}的各项和S;(2)若{b n}的末项不大于,求{b n}项数的最大值N;(3)若{a n}前n项和为S n,{b n}前n项和为T n,问:是否存在正整数m,使S m=T N(N为(2)中所求得的)?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则a1=5,a4=5+3d,a16=5+15d.由题意得(5+3d)2=5(5+15d),解得d=5或d=0(舍去).所以S=5×100+×100×99×5=25 250.(2)设等比数列{b n}的首项为b1,公比为q.因为b1=a1=5,b3=a4=20,所以q2==4.因为q>0,所以q=2,所以b n=5·2n-1.由题意知5·2n-1≤=,所以2n≤5 050.又因为n∈N*,所以n≤12,所以n的最大值N=12.(3)假设存在正整数m满足S m=T N,即S m=T12,所以5m+×5m(m-1)=,所以m2+m-8 190=0,解得m=90<100. 故存在m=90,使S m=T N.。

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法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
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[错因与防范] 此题中，易把项数查错． 本题的求解利用定义显然比较麻烦．从题干以及待求式子的特征观 察，得 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋ a6＋a9＋…＋a87 三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之 间的内在关系，即可求解，相对比较简单．
2.5 等比数列的前 n 项和
第 2 课时 等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
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考纲定位
重难突破
1.灵活运用等比数列的 重点：掌握等比数列前
前 n 项和公式．
n 项和性质及其应用．
2．掌握等比数列前 n 项 难点：灵活处理 an 与 Sn
和性质的应用.
的关系.
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[双基自测]
1．等比数列{an}的前 n 项和 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( )
A．72
B．81
C．90
D．99
解析：a1＋a2＋a3＝9， a4＋a5＋a6＝S6－S3＝27， ∴a7＋a8＋a9＝81. 答案：B
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2．已知等比数列{an}中，an＝2·3n－1，则由此数列的偶数项所组成的 新数列的前 n 项和为( )
∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106，0.

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿 t ，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，转化为数列的怎样的一个问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1≈1.84×1019.思考5 类比思考4中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n ? 答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.思考6 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整． 方法一 由等比数列的定义知： a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得： a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q . 故S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q .当q ＝1时，易知S n ＝na 1.方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q ·(a 1＋a 2＋…＋a n －1) ＝a 1＋q ·(S n －a n )从而得(1－q )·S n ＝a 1－a n q . 当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.小结等比数列{a n}的前n 项和S n可以用a 1，q ，a n表示为S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？ 解 这句话用现代文叙述是“一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完”．如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .不论n 取何值，1－S n ＝(12)n 总大于0，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完．反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.例2 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，求它的前8项和S 8.解 方法一 因为a 8＝a 1q 7，所以a 1＝a 8q 7＝27.因此S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.方法二 把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{b n }，其中b 1＝a 8＝1，q ′＝2，所以前8项和S 8＝b 1(1－q ′8)1－q ′＝1－281－2＝255.反思与感悟 等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”． 跟踪训练2 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例3 某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p >0)，求这个工厂去年全年产值的总和．解 该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月，4月……的产值分别为a (1＋p )2元，a (1＋p )3元，……，去年12个月的产值组成以a 为首项，1＋p 为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝a [(1＋p )12－1]p .答 该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p元．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和例4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1舍去)． ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.二、能力提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。