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求函数值域的题型和方法-修改

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求函数值域的方法

（1）直接法（俗名分析观察法）：

即从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：求函数11,1yxxx≥的值域。 2,

例2：求函数2610yxx的值域。 1,

（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如20yaxbxca或20Fxafxbfxca类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数322xxy的值域。

分析与解答：因为0322xx，即13x，4)1(2xy，于是：

44)1(02x，20y。

例2．求函数xxxy422在区间]4,41[x的值域。

分析与解答：由xxxy422配方得：62242xxxxy，

当241x时，函数24xxy是单调减函数，所以41186y；

当42x时，函数24xxy是单调增函数，所以76y。

所以函数在区间]4,41[x的值域是41186y。

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2xy，2,2x的值域。 1,44

例3：求函数2256yxx的值域。 73,8

（4）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125xyx的值域。

解：∵177(25)112222525225xxyxxx，

∵72025x，∴12y，

∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。

（5）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如1yfx的函数，令fxt；形如(,,,,0)yaxbcxdabcdac均为常数的函数，令cxdt；形如含22ax的结构的函数，可利用三角代换，令cos,0,xa，或令sin,,22xa.

例1：求函数212yxx的值域。

解：令12tx（0t），则212tx，

∴22151()24yttt

∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。

∴函数212yxx的值域为5(,]4。

例2．求函数21)45)(125(22xxxxy的值域。

分析与解答：令49254522xxxt，则49t。

5421821822ttttty，

当49t时，161854492miny，值域为1618|yy

例3．求函数23102xxxy的值域。

分析与解答：由23102xxxy=252xx，令cos25x，

因为1cos10cos2205222x，],0[，则252x=sin2，

于是54sin25cos2sin2y，]45,4[4，

14sin22，所以725y。

（6）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，0,0bfxaxabx.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。

例1：求函数12yxx的值域。

解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，

∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。

∴11112222y，

∴函数12yxx的值域为1(,]2。

（7）复合函数法：

对函数(),()yfuugx，先求()ugx的值域充当()yfu的定义域，从而求出()yfu的值域的方法。

例：求函数212log(253)yxx的值域。 49,8

（8）导数法

若函数f在),(ba内可导, 可以利用导数求得f在),(ba内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域.

例1： 求函数xxxf3)(3在)1,5(内的值域.

分析:显然f在)3,5(可导，且33)(2xxf. 由0)(xf得f的极值点为1,1xx.

,2)1(f2)01(f. 140)05(f.

所以, 函数f的值域为)140,2(.

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求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法

高中数学中求函数值域的几种方法

汝南双语学校

赵保刚

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。

题型一 定义法

要深刻领会映射与函数值域的定义。

例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（ ）。

A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B

C．M＝A，N B D．M A，N B

说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。

求值域的方法

求值域的方法

求值域的方法

求值域的方法有：直接法：从自变量的范围出发，推出值域；配方法，求出最大值还有最小值；观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域，等。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

例题：y=x^2+2x+3x∈（-1，2）

先配方，得y=x+1^2+1

∴ymin=-1+1^2+2=2

ymax=2+1^2+2=11

4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

8.换元法：适用于有根号的函数

例题：y=x-√（1-2x

设√（1-2x=tt≥0

∴x=1-t^2/2

∴y=1-t^2/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2t+1^2+1 ∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：图像法，直接画图看值域

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=3x-1/3x-2

先求反函数y=2x-1/3x-3

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

高中数学求值域的10种方法

高中数学求值域的10种方法

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求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1yx的值域。

【解析】∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)yxx； ②xxf42)(；

③1xxy； ○4112xy，2,1,0,1x。

【参考答案】①[1,5]；②[2,)；③(,1)(1,)；○4{1,0,3}。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242yxx（[1,1]x）的值域。

【解析】2242(2)6yxxx。

∵11x，∴321x，∴21(2)9x，∴23(2)65x，∴35y。

∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。

例3．求函数)4,0(422xxxy的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：0,2y。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。

例4．若,42yx0,0yx，试求yxlglg的最大值。 整理文档

. 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)Pxy在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：

2(0,4),(0,2),lglglglg[(42)]lg[2(1)2]xyxyxyyyy而，y=1时，yxlglg取最大值2lg。

求值域的10种方法

求值域的10种方法

求值域的10种方法

值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法：

1.列举法

列举法是最简单直接的方法。通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。这些值将构成函数的值域。例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法

在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。这些纵坐标的集合构成了函数的值域。例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法

解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。

4.图像逼近法

在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。这些纵坐标的集合构成函数的值域。 5.猜测法

猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。

6.极值法

在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法

夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法

对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法

差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。