泛函分析基础 ppt课件

线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间

满足定义中的三个条件，这里要说明的是
d (x，y) min x(t) y(t) 并非距离。因它不满足第 a t b
一个条件。即当min x(t) y(t) ＝0时，并不能说明 a t b
x(t)＝y(t)。我们可以通过下图来说明这个问题。
a
b
2、距离空间的完备性
（1）距离空间中的收敛列与柯西列
n
由此可设 x ＝ i i 1
(2)算子空间B( X，Y )
B(X，Y ) T | T : X Y为有界线性算子，则可证B(X，Y )
关于算子加：(T1 T2 )x T1x T2x，算子数乘(T )x Tx，是
线性空间。其中的零元即零算子：把任意的x映射成0。
定义（X 有限维）Q X 有限维，可设其基为x1……xn，
则对任意x X，有x 1x1 …… n xn Tx T (1x1 …… n xn )
T线性 1Tx1 …… nTxn
1 Tx1 …… n Txn C( 1 …… n )
收敛
柯西列
完备性
距离 空间
lim
n
d
(
xn，x)

0
lim
n，m
d
( xn，xm
)

0
任意柯 西列均
赋范 空间
lim
n
xn x
0
lim
n，m
xn xm
0
收敛
二、有界线性算子与泛函 1、有界性算子与算子空间 （1）有界性算子 # 算子：即映射T : X Y，其中X 和Y是实线性空间。
n
1 n

0。
一般的，在距离( X，d )中，设点列xn X，若有x X，

x R :
x
r，F x
x3
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
四、压缩映射原理
定理4 （Banach不动点定理）设 X 是完备的距 离空间，T 是 X 上的压缩映射，那么 T 有且只有
一个不动点.
例6 证明隐函数存在定理：设二元函数 f (x, y)在
带状区域{(x, y) a x b, y }中处处连续，
定义7 设映射T：X X ，如果有 x X ，使 Tx x ，
称 x为映射T 的不动点.
定义8 设X , d 是一个距离空间， T：X X. 如果存在一个常数 0 1，使对所有 x, y X，
成立 dTx,Ty dx, y，则称 T 是压缩映射.
例
设 0r
1 3
,
Sr 0
定义6 如果距离空间 X 中任何Cauchy均收敛，
则称 X是完备的.
定理2 完备距离空间 X中的任何闭子空间 Y 也是完备的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
三、完备性
例3 空间 Rn是完备距离空间.
证明 设 xk 是 Rn 中的任一Cauchy列，
xk = 1k ,2k , ,nk k 1, 2, ，
(1)对于任一 x X ，当 xn X 且收敛于 x 时，
有f (xn )收敛于 f (x)；
(2)对于 Y 中任意开集 G ，它的原像f 1(G)是X中
的开集；
(3)对于 Y 中任意闭集 F ，它的原像f 1(F )是X中
的闭集；
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
三、完备性
Cauchy收敛准则
xn 收敛
且处处有关于 y的偏导数 fy (x, y) .如果存在常数 m, M 满足0 m fy (x, y) M ，则方程 f (x, y) 0 在区间[a,b]上必有唯一的连续函数解 y (x) ，使得

(2)数乘的连续性： (2.1) ( xn , x ) 0 ( xn , x ) 0( K ) (2.2) n ( K ) ( n x , x ) 0(x X )
定义：p( x y) ( x y, ) ( x, y)
基本概念：F*空间、F空间
例1.4.5空间C ( M )( M是紧距离空间)，显然 u m axu( x )
xM
是一个准范数，C ( M )是一个F空间
例1.4.6 Euclid空间R . 设x ( x1 , x2 , , xn ) R , 定义 x ( x i )1 / 2
p p
那么 · 是一个范数 (1), ( 3)是显然的， )是Minkowski (2 不等式： ( u( x ) v ( x ) d )1 / p ( u( x ) d )1 / p ( v ( x ) d )1 / p
p p p
又由Riesz Fisher定理，Lp ( , )还是一个B空间
度量空间
线性赋范空间

4.1线性空间
设X是一非空集合，K是实数域或复数域，在 X中定义了元素的加法运算和数域K中的数与 X中元素的数乘运算，如果它们 满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 ; ( 2)加法结合律 ( ) ( );
p
空间记做l , 其范数是 u ( un )1 / p
n 1
4.4线性赋范空间上的模等价
基本概念：范数强弱比较、范数等价
命题1.4.16为了 · 比 · 强，必须且仅须存在常 C 0, 使得 数 2 1 x 1 C x 2 ( x X ) 证：“”显然 “”（反证）若 x 1 C x 2 (x X )不成立， 则n N , x n X , 使得 x n 一方面， n y