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函数与方程思想在数列中应用

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典例4 [2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10

＝100.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)当d>1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

[解] (1)由题意有， 10a1＋45d＝100，a1d＝2， 即 2a1＋9d＝20，a1d＝2， 解得{ a1＝1，d＝2或 a1＝9，d＝29.

故 an＝2n－1，bn＝2n－1或 an＝192n＋79，bn＝9·29n－1. (2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是 Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋„＋2n－12n－1，① 12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋„＋2n－12n.②

①－②可得 12Tn＝2＋12＋122＋„＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，

故Tn＝6－2n＋32n－1.

数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意 数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是： 第一步：分析数列式子的结构特征． 第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式． 第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究． 第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．

【针对训练4】 [2016·东城模拟]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列． (1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；

(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2

＋„＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值． 解 (1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 解得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n. (2)因为Sn＝n(n＋1)，

bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋„＋1S2n

＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋„＋12n2n＋1 ＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋„＋12n－12n＋1 ＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1 ＝12n＋1n＋3，

令f(x)＝2x＋1x(x≥1)， 则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，

即当n＝1时，(bn)max＝16， 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max

＝16，

所以实数k的最小值为16.

数列 1．等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

2．等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2. 3．等比数列通项公式：an＝a1·qn－1. 4．等比数列前n项和公式：

Sn＝ na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1. 5．等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． 6．等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)． 7．数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：an＝  S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.

[重要结论] 1．通项公式的推广：等差数列中，an＝am＋(n－m)d；等比数列中，an＝am·qn－m. 2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． (2)等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且0数列；若a1>0且01，则数列为递减数列． 3．等差数列{an}中，Sn为前n项和．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，„仍成等差数列；等比数列{bn} 中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n

－T2n，„一般仍成等比数列．

[失分警示] 1．忽视等比数列的条件： 判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． 2．漏掉等比中项： 正数a，b的等比中项是±ab，容易漏掉－ab. 3．忽略对等比数列的公比的讨论： 应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.

4．an－an－1＝d或anan－1＝q中注意n的范围限制． 5．易忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2. 6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明． 7．等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负.

考点 数列的概念、表示方法及递推公式 典例示法 题型1 利用递推关系求通项公式 典例1 (1)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n

＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )

A．an＝1n＋1 B．an＝2n＋1

C．an＝n＋12 D．an＝n [解析] 由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0， 得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0， 又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，

即an＋1an＝n＋1n＋2，an＋1＝n＋1n＋2an，

所以an＝nn＋1·n－1n·„·23a1＝2n＋1a1(n≥2)， 所以an＝2n＋1(n＝1适合)， 于是所求通项公式为an＝2n＋1. [答案] B (2)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n

∈N*)，则数列1an前10项的和为______． [解析] 由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋„＋n＝nn＋12， 则1an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，故数列1an前10项的和S10＝2 1－12＋12－ 13＋„＋110－111＝21－111＝2011. [答案] 2011 题型2 利用an与Sn的关系求an 典例2 [2015·全国卷Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和． [解] (1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知

bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋„＋bn

＝12 13－15＋15－17＋„ ＋ 12n＋1－  12n＋3 ＝n32n＋3.

求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．

(2)已知Sn与an的关系，利用an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，求an. (3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)． (4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． (5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an

＋1＋qp－1＝pan＋qp－1(p≠1)的形式，利用an＋qp－1是以p为公比的

等比数列求解； ②递推关系形如an＋1＝panan＋p(p为非零常数)可化为1an＋1－1an＝1p的形式． 考点 等差、等比数列的运算 典例示法 题型1 等差、等比数列的基本运算

典例3 [2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( ) A．2 B．1

C.12 D.18

[解析] 设等比数列{an}的公比为q，a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)， ∴116×q6＝414×q3－1， ∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2， ∴a2＝12，故选C. [答案] C 题型2 等差、等比数列性质的运算 典例4 [2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2

＋a4＝5，则a1a2„an的最大值为________．

[解析] 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，

q＝12，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝12，所以a1a2„an≤a1a2a3a4＝64.

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数学解题技巧与解题思路

数学解题技巧与解题思路

解题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;6、注意放回抽样，不放回抽样;7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、注意条件概率公式;9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题1、注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2、注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

数学思想之——函数思想

数学思想之——函数思想

数学思想之——函数思想数学思想之——函数思想摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。

关键词：数学思想函数思想应用数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。

而函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。

函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。

本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。

一、运用函数思想求解方程问题函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。

一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。

一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。

因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。

例1、求证：不论 a取什么实数，方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。

分析：常规解法，若求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。

高中数学论文800字三篇

高中数学论文800字三篇

高中数学论文800字三篇第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用摘要变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。

关键词变换思想，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。

通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。

本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。

2. 变换思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一。

在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。

例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。

3. 变换思想在几何解题中的应用几何问题是高中数学中的另一个重要部分。

变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。

例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。

4. 变换思想在代数解题中的应用代数问题是高中数学的另一个重要内容。

在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。

例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。

5. 结论变换思想在高中数学解题中具有重要作用。

通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。

因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。

第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用摘要分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。

本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。

关键词分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。

通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。

高考数学数列问题的题型与方法

高考数学数列问题的题型与方法

高考数学数列问题的题型与方法Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】第11讲 数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。