数学分析第二十章

第二十章 曲线积分
一、 判断题。
1. dsLyxfdsyxL),(),(。（ ）

2. 若在平面区域D上满足xQyP，则CQdyPdx一定与路径无关（C是D内
任一条分段光滑曲线）。（ ）
3. 若Ldsyxf),(存在，则Ldsyxf),(也存在，且dsyxfdsyxfLL),(),(。（ ）

4. 积分dyyxdxyxAB)cos()sin2(与路径无关。（ ）
二、 填空题。
5. 设L为圆周)20,0(sin,cosxataytax，则dsLyx)(22 。

6. 设L由直线段AO及OB连接而成，其中A（1,0），O（0,0），B(0,1) ，则
dxdy
y
x

L

2
3

。

7. 设L是从A（0,0）到B（1,2）的直线段，则Lydxxdy 。
8. 设L：xy2是从A（0,0）到B（1,2）的直线段，则Lydxxdy 。
三、 计算题。
9. 设L是半圆周，L：,0,sin,costtaytax试计算第一型曲线积分dsLyx22。

10. 计算Lxydx，其中L分别为：
（1）从（0,0）到（1,1）的直线段；
（2）从（0,0）到（1,1）的抛物线xy2的一段；

（3）从（0,0）到（1,0）的直线段L1和从（1,0）到（1,1）的直线段L2所构成
的有向折线。
11. 计算Lzyx222，其中L为螺旋线

)20(,sin,costbtztaytax
的一段。
12．计算dsCyx22，其中C：yyx222。
答案
一、 判断题。
1.（ × ）；2. （ × ）；3. （ √ ）；4. （ √ ）。
二、 填空题。

5. a32；6. 0；7. 2； 8. 0.
三、 计算题。
9. 解：dsLyx22=dttatattaa2202222cossin)(sincos

=dtttaasincos22202
=03dta
=a3
10. 解：（1）由两点式可得：xyxy010010
所以L的方程为：]1,0[,xxy，则

31013
3
1

02xxdxxydxL

（2）L的方程即抛物线的方程为：]1,0[,2xyx，则

41014
4
1

03xxdxxydxL

（3）由两点式可得L1的方程为：]1,0[,0010000xyxy
的方程为
L
2
：]1,0[,1111010yxxy

所以00101021ydxdxxLxydxLxydxxydxL
11. 解：x′=-tasin ，y′=tacos,z′=b

dsLzyx
2
2
2

=dtdttbababatba20222222222022)()(

=dtdttbbabaa22022220222

=a2ba22023023222tbabt
=babbaa2223222382
=baba22222)43(32
12. 解：令sin,cosryrx，则c：)0(sin2r
所以c：,0,2sincos2sin2yxx′=-2cos2,y′=-4cossin




ddscyx220222)cossin4(2cos24sin





=d22202)cossin4()21(44sinsin

=dcossinsinsinsin22420216161644
=d)(161644cossinsinsinsin222202
=－0sin4d

=0cos4
=8