非圆曲线的逼近 讲解

物体的运动了解匀速圆周运动和非匀速圆周运动运动是物体在空间中的位置随时间发生变化的过程。

物体的运动可以包括直线运动、曲线运动等不同形式。

而在曲线运动中，圆周运动是一种常见的形式。

圆周运动又可分为匀速圆周运动和非匀速圆周运动两种类型。

一、匀速圆周运动匀速圆周运动指的是物体在圆轨道上以恒定的速度进行运动。

在匀速圆周运动中，物体所受到的合外力的大小和方向与其位置无关，使得物体的速度大小和方向保持不变。

这意味着物体在圆轨道上的运动速度是匀速的，且物体与中心点之间的距离也是恒定的。

对于匀速圆周运动的物体，其运动轨迹形成了一个圆。

以地球绕太阳的公转为例，地球绕着太阳做匀速圆周运动，其速度大小和方向保持不变，而地球与太阳的距离也保持恒定。

二、非匀速圆周运动非匀速圆周运动指的是物体在圆轨道上以不恒定的速度进行运动。

在非匀速圆周运动中，物体所受到的合外力的大小和方向与其位置有关，从而导致物体的速度大小和方向随时间变化。

这意味着物体在圆轨道上的运动速度是不恒定的，且物体与中心点之间的距离也可能随时间变化。

对于非匀速圆周运动的物体，其运动轨迹形成了一个椭圆或其他曲线形状。

例如，地球绕太阳的运动并不是完全匀速的，地球与太阳的距离会有所变化，这导致了季节的变化。

除了匀速圆周运动和非匀速圆周运动之外，还存在一种特殊的圆周运动，即离心圆周运动。

离心圆周运动是指物体在圆轨道上以一定速度进行运动，但在该运动过程中存在离心力使得物体与中心点之间的距离逐渐增大。

典型的例子是卫星绕地球的运动，卫星在运行轨道上以一定速度绕地球旋转，但由于地球的引力作用，卫星与地球之间的距离保持在一定范围内。

总结起来，物体的运动可以分为匀速圆周运动和非匀速圆周运动两种类型。

匀速圆周运动指的是物体在圆轨道上以恒定的速度进行运动，而非匀速圆周运动则是物体在圆轨道上以不恒定的速度进行运动。

这两种运动形式在自然界中都有广泛的应用和存在。

通过对这些运动形式的研究，我们可以更好地理解物体的运动规律和行为，从而应用于实际生活和科学研究中。

圆锥曲线中的非对称处理
圆锥曲线是平面解析几何中的一个概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。

在圆锥曲线的研究中，对称性是一个重要的概念。

对于一些常见的圆锥曲线，我们可以找到它们的对称性，例如关于坐标轴对称、关于某一点对称等。

然而，对于一些非标准的圆锥曲线，它们的对称性可能更加复杂或者不存在。

在这种情况下，我们需要采取一些特殊的方法来处理这些非对称性。

以下是一些可能的方法：
坐标变换：通过坐标变换，将非对称的圆锥曲线转换为对称的圆锥曲线，从而简化问题的处理。

例如，通过旋转坐标系或者平移坐标系，将非对称的圆锥曲线转换为一个对称的圆锥曲线。

参数化：将圆锥曲线的方程参数化，将参数作为未知数，从而将圆锥曲线的问题转化为参数的问题。

通过研究参数的变化，可以更好地理解非对称性。

微分几何方法：利用微分几何的方法，研究非对称圆锥曲线的曲率、挠率和法线等几何性质。

通过这些性质，可以更好地理解非对称性。

代数方法：通过代数方法，研究非对称圆锥曲线的方程和性质。

例如，利用椭圆函数或者超几何函数等特殊函数，求解非对称圆锥曲线的方程。

总之，处理圆锥曲线中的非对称性需要具体问题具体分析。

根据问题的特点选择合适的方法来处理。

希望以上信息能够帮助到您。

各种曲线类型的缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法看到这个标题是有点绕口啊！总结任何曲线类型都是由自然段组合而成，所谓自然段统指直线、缓和曲线、圆曲线。

圆曲线又分单圆曲线和复曲线。

单圆曲线就是单一半径的曲线。

具有两个半径或以上不同半径的曲线称复曲线。

在此一般平曲线不在说了，第一缓和曲线、圆曲线、第二缓和曲线。

目前在坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，问题就出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线。

目前公路线性有非对称线性的设计，特别是在互通立交匝道和山区高速公路线性设计中。

非对称线性又分为完全非对称线性和非对称非完整线性两种。

所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线长和第二缓和曲线长不等，而第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处的半径为无穷大。

所谓“非完整”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是无穷大，而是有半径的。

关于这点，一般课本教材上没有明确的讲述，查找网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。

先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。

§2—1 绘图工具和仪器的使用方法§2—2 几何作图课题：1、绘图工具和仪器的使用方法2、线段和圆周的等分3、斜度和锥度课堂类型：讲授教学目的：1、讲解绘图工具和仪器的使用和维护2、讲解常用等分法3、讲解斜度和锥度的概念、计算、画法和标注教学要求：1、会正确使用绘图工具和仪器2、掌握对线段、角度、圆周的等分和正多边形的作图方法3、掌握斜度和锥度的区别〔包括在概念、计算、画法上的区别〕教学重点：圆周的等分方法和斜度和锥度的画法教具：丁字尺、图版、三角板、圆规、曲线板等教学方法：讲授和现场演示相结合。

课时安排：绘图工具和仪器的使用1学时线段的等分课时圆的等分1课时斜度和锥度 1课时教学过程：一、复习旧课1、尺寸三要素的画法和用途。

2、结合作业中的问题，复习各种常用尺寸的标注方法。

二、引入新课题图样中的各种图形，一般是由直线和曲线按照一定的几何关系绘制而成的。

作图时，需要利用绘图工具，按照图形的几何关系顺序完成。

本次课先来介绍绘图工具的使用。

三、教学内容〔一〕绘图工具和仪器的使用方法1、图版、丁字尺、三角板图板用作画图时的垫板，要求外表平坦光洁；又因它的左边用作导边，所以左边必须平直。

〔演示：图纸用胶带纸固定在图版上〕丁字尺是画水平线的长尺。

丁字尺由尺头和尺身组成，画图时，应使尺头靠着图板左侧的导边。

画水平线必须自左向右画，如图1—17所示。

图1—17 图板和丁字尺一副三角板有两块，一块是45°三角板，另一块是30°和60°三角板。

除了直接用它们来画直线外，也可配合丁字尺画铅垂线和其它倾斜线。

用一块三角板能画与水平线成30°、45°、60°的倾斜线。

用两块三角板能画与水平线成15°、75°、105°和165°的倾斜线，如图1—18所示。

图1—18 用两块三角板配合画线2、圆规和分规〔1〕圆规圆规用来画圆和圆弧。

数学曲线知识点总结讲解一、曲线的定义与特点1. 曲线的定义曲线是指在平面上按照一定的规律运动的一条线。

在数学中，曲线是二维的几何图形，通常由一系列点和它们之间的连线组成。

曲线的运动可以是直线运动、曲线运动，也可以是变速运动。

曲线是研究曲线形状和运动规律的重要对象，涉及到代数、几何、微积分等多个数学领域。

2. 曲线的特点曲线具有以下特点：（1）曲线在平面上运动或延伸，具有一定的长度；（2）曲线可以是直线，也可以是曲线；（3）曲线可以是封闭曲线，也可以是开放曲线；（4）曲线可以是由数学方程描述的，也可以是由参数方程描述的。

二、常见的数学曲线1. 直线直线是最简单的曲线，可以用一般方程或者截距式方程来描述。

直线的特点是长度无限，方向唯一，不具有曲率。

2. 圆圆是由一个固定点到平面上所有距离等于该固定点到圆心距离的点的轨迹。

圆是一种封闭曲线，具有旋转对称性和平移对称性。

圆的面积公式为πr²，周长公式为2πr，其中r为圆的半径。

3. 抛物线抛物线是一种开放曲线，具有镜像对称性。

抛物线的一般方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。

抛物线是许多物体的运动轨迹，也是许多方程的图像。

4. 双曲线双曲线是由两个焦点F1和F2和一个恒定距离2a等于常数d的点P的轨迹。

双曲线有两个分支，每个分支都可以用参数方程来描述。

双曲线具有镜像对称性和渐近线。

5. 椭圆椭圆是由两个焦点F1和F2和一个恒定距离2a小于常数d的点P的轨迹。

椭圆也有两个焦点和两个分支，椭圆的形状由a和d的大小关系确定。

椭圆是许多几何图形的轨迹，也是许多物体的运动轨迹。

6. 螺线螺线是一种特殊的曲线，具有不断旋转的特点。

螺线可以是等角螺线，也可以是等速螺线。

螺线在数学和物理中都有重要的应用。

7. 正弦曲线和余弦曲线正弦曲线和余弦曲线是圆的三角函数的图像，具有周期性和对称性。

正弦曲线和余弦曲线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

非圆形隧洞收敛-约束特征曲线的数值求解方法周辉;郑俊;张传庆;胡大伟;高阳;杨凡杰【摘要】利用应力释放法原理,在收敛-约束解析法基础上,提出了适合任意断面隧洞的收敛-约束特征曲线数值求解方法,通过与收敛-约束解析法对比验证该方法的有效性,并与常用的数值方法进行对比,最后对收敛-约束特征曲线数值求解方法的计算误差进行分析.研究结果表明:收敛-约束特征曲线数值求解方法适合非圆形隧洞,由于通过施加节点支撑反力实现应力释放,该方法同样适合应力状态复杂的隧洞;以滇中引水工程为例,将收敛-约束特征曲线数值求解方法与收敛-约束解析法的计算结果进行对比,验证了收敛-约束特征曲线数值求解方法的有效性;收敛-约束特征曲线数值求解方法计算结果存在一定的误差,其整体相对误差小于10％.收敛-约束特征曲线数值求解方法的适用性更加广泛,可为隧洞工程的初期支护优化设计及安全性评价提供参考,具有一定的工程应用价值.【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(046)005【总页数】12页(P103-114)【关键词】收敛-约束法;隧洞;应力释放法;围岩特征曲线;不平衡力;应力分布【作者】周辉;郑俊;张传庆;胡大伟;高阳;杨凡杰【作者单位】中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049;中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049;中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049;中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049;中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049;中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室,湖北武汉430071;中国科学院大学,北京100049【正文语种】中文【中图分类】TV6近年来，大型引水工程在我国各缺水地区大量建设，发展迅速，如南水北调工程、引滦入津工程、引黄入晋工程、引大入秦工程、引黄济青工程、牛栏江-滇池补水工程和滇中引水工程等.引水工程线路长，沿线地质条件复杂多变，其中，深埋引水/输水隧洞常常是这类工程的关键控制性工程，其在安全施工和健康运行的保障中所面临的围岩稳定性控制难题日益突出，如何合理评价围岩与支护结构相互作用关系以及进行隧洞支护优化设计是工程界一直关心的问题[1].收敛-约束法是工程中评价围岩与支护结构相互作用关系以及进行隧洞支护优化设计的常用方法之一，其思想由Fenner提出.目前已成为国际通用的隧洞支护设计方法.Oreste等[2]提出了一种用收敛-约束法进行圆形断面隧洞锚杆支护设计的新方法.Torres等[3]基于Hoek-Brown强度准则并利用收敛-约束法进行隧道支护设计.Cui等[4]利用虚拟支护力并结合收敛-约束法进行圆形隧洞支护设计.张常光等[5-7]探讨了收敛-约束法中的空间效应方法以及围岩塑性区变形特性对隧道收敛约束法的影响规律.苏永华等[8]基于收敛-约束法原理建立了地下结构稳定性定量评价方法.Vlachopoulos等[9]利用改进的围岩纵向特性曲线进行隧道收敛约束法分析.以上都是对静水应力作用下圆形隧洞所进行的收敛-约束法研究，而实际工程中隧洞的断面形式多样，圆形断面只是一种较为常见的断面形式，且实际地应力分布复杂多变，对于非圆形断面或非静水应力状态，收敛-约束解析法并不适用.因此，如何进行复杂断面隧洞的支护评价更加具有工程实际意义.针对收敛-约束法在非圆形隧洞中的应用，已有国内外专家学者进行探索，对于非圆形隧洞主要通过数值方法进行解决，目前常用的数值方法有两种.其中一种是利用数值方法得出非圆形隧洞断面上不同点的围岩特征曲线，然后利用收敛-约束法对隧洞不同位置进行单独分析.Nicieza等[10]在圆形断面径向位移的基础上增加断面形状函数，并利用有限差分法对断面形状函数进行拟合.孙闯等[11]、扈世民[12]和陈峰宾等[13]利用收敛-约束法分析隧洞断面不同位置的围岩稳定性和支护安全性.这些都只是对围岩一些特征点进行单独分析，并且采用同一支护特征曲线，并未考虑围岩和支护结构各点之间的相互作用，由于只分析了局部特征点，无法对整体应力、变形以及稳定性进行分析评价.另外一种是利用等效方法，将非圆形断面等效成圆形断面，然后利用数值方法分析等效后的圆形隧洞.苏永华等[14-15]和张盼凤等[16]提出了隧道非规则断面等价圆算法，利用收敛-约束法构建非圆形隧洞近似围岩特征曲线，并分析研究不同等价方法的适用性.这些都是将非圆形隧洞等效成圆形隧洞进行分析，而未考虑非圆形断面形式对围岩和支护结构变形以及应力状态的影响.为此，考虑到非圆形断面上各点围岩和支护结构的变形和应力状态不同，在隧洞开挖边界上每个节点分别施加不同的虚拟节点支撑反力，并利用应力释放法进行逐级应力释放，从而建立隧洞断面面积损失比或隧洞边界法向位移与应力释放率的关系曲线，即围岩特征曲线.通过数值方法求解非圆形隧洞未支护和已支护情况下的围岩特征曲线，进而由两种情况下围岩特征曲线得出支护结构承担的荷载以及变形，从支护结构施作到平衡整个过程中均考虑了围岩与支护结构的相互作用，这种方法在收敛-约束解析法的基础上结合应力释放法，并通过数值方法实现非圆形隧洞收敛-约束特征曲线的求解，以下称为收敛-约束特征曲线数值求解方法.1 收敛-约束法1.1 收敛-约束法基本原理隧洞开挖和支护示意图如图1所示.隧洞为圆形断面，初始应力为静水应力场σ0.在t0时刻，A-A′断面离掌子面的距离为L，此时施作初期支护，隧洞径向变形为u0r，支护结构不受力.在t时刻，A-A′断面离掌子面的距离为Lt，随着A-A′断面远离掌子面，掌子面对A-A′断面的约束作用不断减小，隧洞的径向变形增加，支护结构发生弹性变形并产生支护应力pts.在tD时刻，掌子面离A-A′断面距离较远，掌子面对A-A′断面无约束作用，此时的径向变形为uDr，支护应力为pDs.图1 隧洞开挖和支护示意图[3]Fig.1 Schematic diagram of tunnel excavation and support[3]A-A′断面围岩和支护结构受力如图2所示，围岩水平和垂直应力为σ0.隧洞开挖后，由于掌子面的约束作用，产生约束力pi，此时隧洞径向位移为ur.随着掌子面远离A-A′断面，约束力pi不断减小，当约束力减小到临界值pcr i时，围岩进入塑性区，随着pi继续减小，围岩出现半径为Rp的塑性区，支护结构施作时，围岩径向位移为u0r，随着掌子面远离A-A′断面，支护结构产生的径向变形为us，同时产生支护应力为ps.图2 A-A′断面围岩和支护结构受力图Fig.2 Force diagram of surrounding rock and support structure at section A-A′收敛-约束法基本原理如图3所示，图中3条特征曲线分别为隧洞纵向变形曲线（LDP）、围岩特征曲线（GRC）和支护特征曲线（SCC）.图3左上图中纵向变形曲线（LDP）表示未支护隧洞洞壁围岩径向位移沿洞轴线的变化，坐标轴横坐标代表断面离掌子面的距离，坐标轴纵坐标代表相应断面处洞壁径向位移ur.图3右下图中围岩特征曲线（GRC）表示掌子面对断面的约束力pi与洞壁径向位移之间的关系，可以通过圆形隧洞的平面应变弹塑性解获得.图3 收敛-约束法原理图示[3]Fig.3 Schematic representation of convergence-confinement method[3]1.2围岩和支护特征曲线解析解1.2.1 围岩特征曲线的理想弹塑性解对于深埋圆形隧洞，假定围岩侧压力系数为1（静水应力状态），并满足均匀、连续、各向同性假定，可按无限大孔洞的求解，则其弹性收敛曲线方程为：采用Morh-Coulomb准则，围岩弹塑性特征曲线方程为：式中：Rp为塑性区半径，可以由式（3）计算．以上是修正的Fenner公式，式中：ur为洞壁径向位移；R为洞室半径；σ0为围岩初始地应力；pi为约束力；E为围岩的弹性模量；c为围岩的黏聚力；v为围岩的泊松比；φ为围岩的内摩擦角.1.2.2 支护特征曲线的确定假定支护结构的应力-应变关系符合理想弹塑性模型，则支护特征曲线可由式（4）得到.式中：K为支护结构刚度，其值为支护特征曲线的斜率；us为支护结构的径向位移.对于由几种支护形式构成的组合式支护：当组合式支护中的几种支护形式同时设置（uin，j=uin，k）时，当组合式支护中各支护形式分别在不同的时间设置（uin，j≠ uin，k，j≠ k）时，式中：Ktot为组合式支护体系的刚度；Kj为组合式支护中各单一支护的有效刚度；uin，j为组合式支护中单一支护设置时已发生的洞壁位移；u为组合支护结构的变形；Kj为组合式支护中各单一支护的刚度；uel，j为组合式支护中各单一支护达到弹性极限时的位移；Pmax，tot为组合式支护结构最大承载力；Pmax，j为组合式支护中各单一支护最大承载力；umax，tot为组合式支护结构最大允许变形值；umax，j为组合式支护中各单一支护最大允许位移值.虽然收敛约束原理能较好地解释围岩与支护结构之间的相互作用，但收敛-约束特征曲线的解析方法在未平衡时围岩和支护之间是相互独立的，且该方法存在以下局限性：1）隧洞断面为圆形；2）地层为均匀、连续、各向同性介质，初始应力场为静水压力状态；3）隧洞洞壁各点的径向位移均相同；4）难以考虑围岩自重作用的影响.对于收敛-约束法分析时存在的局限性，通过数值方法能有效地加以解决，国内外专家学者利用数值方法对上述局限性进行了一定的研究，本文在这些研究的基础上，利用数值方法并结合应力释放法原理分析隧洞围岩与支护结构的相互作用，并在整个过程中隧洞围岩和支护结构是相互接触的，两者之间相互作用和协调变形.根据收敛-约束法原理，对常用的两种数值方法进行适当的改进，提出了收敛-约束特征曲线数值求解方法.2 收敛-约束特征曲线数值求解方法2.1应力释放法原理及其实现隧洞开挖效应的数值实现方法通过两种方式实现，分别为：应力释放法和位移释放法.随着隧洞开挖以及掌子面推进，围岩应力场将发生重分布.隧洞开挖引起的应力释放主要是由于开挖的时间和空间效应.当掌子面距离某断面一定距离时，该断面应力开始发生重分布，此时未开挖围岩在该断面拟开挖边界上产生的约束应力为σd，大小等于初始应力σ0.随着掌子面不断推进σd不断减小，当掌子面通过该断面且有一定距离后，σd减小到σ0.则应力释放率为初始应力和拟开挖围岩对该断面开挖边界上的约束应力之差与初始应力的比值，即隧洞开挖时应力释放宏观表现为围岩的位移释放，两者之间有十分紧密的联系，在掌子面前方一定距离处断面拟开挖边界开始发生变形，掌子面通过该断面一定距离后，洞周位移收敛，无支护开挖时洞壁所能达到的最大径向位移值为umax，隧洞开挖时某一时刻断面洞壁的径向位移值为u0，则位移释放率为某一时刻洞壁的径向位移与最终收敛位移值的比值[17]，即在模拟隧洞开挖效应时，很难直接控制隧洞洞周的位移以实现位移释放的目的，分析洞壁变形时，需要在洞壁施加虚拟的支撑反力pi，并通过逐级释放支撑反力来控制洞壁位移值，也即通过控制应力释放率间接控制位移释放率，数值分析中通过控制应力释放率模拟隧洞开挖效应也更易于实现.对于初始地应力为静水应力场的圆形断面隧洞，应力释放法模拟隧洞开挖效应的过程如图4所示，随着掌子面推进，在断面上施加虚拟支撑反力pi，pi值与应力释放率λ相关，随着掌子面推进，应力释放率由0逐步增加到1.图4 应力释放法示意图Fig.4 Scheme of stress release method有限差分原理中，应力分量为模型单元的计算参数，节点处仅有不平衡力向量，且在平衡状态下节点处的不平衡力近似为0.应力释放法的核心思想就是求得开挖前开挖边界处开挖体对围岩的支撑力（开挖掉相应单元后，支撑力随即消失），获得这一支撑力，然后控制其释放规律，达到模拟隧洞开挖的空间和时间效应.FLAC3D中开挖相应单元后，计算1步，此时得出的边界节点处的不平衡力的反力即为最大虚拟节点支撑反力.开挖前的应力场已经平衡，此时的节点速度和不平衡力均为0.开挖后，在第1步计算中应变率、应变增量及应力增量均为0，而此时的不平衡力为[18]式中：下标i为向量分量标号；上标〈l〉为全局节点号；P〈l〉i为施加荷载和集中力在节点〈l〉处的贡献；[[pi]]l表示拥有节点＜l＞的所有单元上某变量对节点〈l〉的贡献之和.对于初始地应力为非静水应力或断面为非圆形的隧洞，应力释放法模拟隧洞开挖效应的过程如图5所示.开挖体被开挖后，计算第1步，可以获得开挖边界上节点的不平衡力分量，开挖边界上每个在断面开挖边界节点上施加虚拟节点支撑反力Fsi.随着掌子面推进，应力释放率λ由0逐步增加到1，且假设在同一时刻每个节点上的应力释放率λ相同，Fsi随着应力释放率λ的变化而变化.图5 开挖边界节点处的不平衡力和虚拟支撑反力Fig.5 Unbalanced force and virtual support force at the excavation boundary nodes2.2收敛-约束特征曲线数值求解方法实现收敛-约束解析法分析时围岩和支护结构之间相互独立，仅仅通过围岩和支护特征曲线的交点确定平衡时两者之间的相互关系，并且只适合于静水应力状态的圆形隧洞，不考虑重力作用，对于应力状态和断面形状复杂的隧洞并不适用.而收敛-约束特征曲线数值求解方法在整个过程中均考虑了围岩和支护结构的相互作用关系，支护特征曲线反映了从支护施作到平衡的整个过程中支护结构的应力状态和变形，而收敛-约束解析法未考虑围岩和支护结构在整个过程中的相互作用，并且收敛-约束特征曲线数值求解方法适用于应力状态和断面形式复杂的隧洞.图6所示为静水应力状态马蹄形断面法向位移分布图（法向位移放大10倍），可以看出，开挖边界上各点的位移并不相同.图6 开挖边界变形图Fig.6 Deformation sketch of excavation boundary如图6所示隧洞边界上各点法向位移不相同，为统一描述开挖面的变形情况，引入隧洞断面面积损失比的概念.隧洞开挖后围岩会向洞室内变形，造成隧洞断面面积减小，隧洞断面的面积损失比s为隧洞开挖边界线与变形后边界线围成的面积SL与隧洞断面面积SA的比值，即收敛-约束特征曲线数值求解方法原理如图7所示，图中λ为应力释放率.由于支护结构每个部位的变形不相同，承担的荷载为非均布荷载，支护结构承担的荷载采用荷载比α表示，其值表示支护承担的荷载占开挖释放总荷载的比值.图7中纵坐标为应力释放率λ和支护承担荷载比α，而横坐标可以根据实际情况选择断面面积损失比或隧洞边界法向位移.围岩特征曲线表示围岩应力释放率与断面面积损失比或隧洞边界法向位移之间的关系曲线，曲线OSE为未支护围岩特征曲线，在整个模拟过程中，假设未施加支护结构，隧洞边界只受到虚拟节点支撑反力作用，曲线OSE′为已支护围岩特征曲线，当应力释放率在0～λ0区间时，隧洞边界只受到虚拟节点支撑反力作用，此阶段的曲线与未支护围岩特征曲线重合，而应力释放率在λ0～1区间时，隧洞受到虚拟节点支撑反力和支护结构的支撑反力作用，点S为支护作用的点，根据LDP曲线确定初期支护施作时的应力释放率为0，两条曲线的OS段重合；由于支护结构受力条件复杂，支护特征曲线不能按式（4）直接求解，收敛-约束特征曲线数值求解方法是利用已支护和未支护围岩特征曲线求解，支护特征曲线的起点S′是由初期支护架设时间决定的，由E′作横坐标垂线与曲线OSE交于点B，该点为支护特征曲线的终点，此时点B对应的纵坐标值λb为平衡时围岩分担的荷载，αb为平衡时支护结构承担的荷载比.图7 收敛-约束特征曲线数值求解方法原理图Fig.7 Schematic representation of numerical solution method of convergence-confinement curve支护荷载计算示意图如图8所示，未支护情况，围岩应力释放率为λ1，此时对应图7中的点R1，已支护情况，围岩应力释放率为λ2，此时对应图7中的点R2.图8 支护荷载计算示意图Fig.8 Schematic diagram of support load calculation如图8所示，未支护和已支护情况下，当隧洞边界法向位移或断面面积损失比相等时，围岩边界节点上总的反力相等.如图7所示，已支护围岩特征曲线在点R2时，围岩应力释放率为λ2，而未支护围岩特征在点R1时，围岩应力释放率为λ1，已支护围岩比未支护围岩的应力释放率要高（λ2-λ1）.如图8所示，未支护情况下，隧洞开挖边界只受到虚拟节点支撑反力作用，将虚拟节点支撑反力拆分为Fi2和F12两部分.已支护情况下，隧洞边界上受到支护结i构支撑作用，将支护结构独立出来，此时隧洞开挖边界受到的反力分为虚拟节点支撑反力F2 i和支护反力FSL两部分.当两种情况下隧洞开挖边界每个节i点上的位移相等时，认为开挖边界上每个节点受到的总反力相等，即F2+F12=F2+FSL，从而得出FSL iiiii=F1i2，进而得出支护结构承担的荷载比αR=λ2-λ1.而这两种情况下隧洞边界上每个节点位移并非完全相等，此时很难保证每个节点上FSL=F12，利用统ii一的荷载比αR 表示每个节点的荷载比会产生一定误差，具体分析过程如下.仅考虑弹性变形时，隧洞边界上节点位移为：考虑弹塑性变形，隧洞边界上节点位移为：式中：[[Ai]]l表示拥有节点i的所有开挖边界的面积对节点i的贡献之和；Ain 为节点i在开挖面上所占的有效面积；R为节点i处的等效半径；uuns为未支i护时，节点i的位移；usi为已支护时，节点i的位移；Fiu为节点i的最大不平衡节点力；Fis为节点i的虚拟支撑反力（施加在隧洞洞周边界点上）；λ1i为未支护时，节点i的应力释放率；FSL为支护结构对节点i i的支撑反力；λ2i为已支护时，节点i的应力释放率；αi为节点i处支护结构承担的荷载比；ξ表示与本构模型相关的参数，对于弹性变形阶段或弹性本构模型其值为1.当其中某一个节点（jj=1，i）未支护和已支护时的位移相等，即uuns=us时，对于同一个节点ξ相jj同，由式（16）～（19）可知α= λj- λj，由于假设同一j21时刻不同节点的应力释放率相等，也即节点j上的支护结构承担的荷载比α=λ2-λ1.若其他节点k（k=1，i且k≠j）上的支护结构承担的荷载比也为α=λ2-λ1，则此时节点k未支护和已支护时的位移相等，即 uuns=us.而实际上节点 k（k=1，i 且k ≠ j）上kk的支护结构承担的荷载比αk与节点j上的支护结构承担的荷载比α不相等，存在一定的误差；当节点k上支护结构承担的荷载比αk取α时，节点k的位移为u=uuns，而当节点k上支护结构承担的荷载kk比αk为真实值αt时，节点k的位移为uk=uks，则可利用节点位移相对误差表示支护结构承当的荷载比相对误差，即式（20）是利用某一节点位移相对误差表示支护结构承担的荷载比α的相对误差，而每个节点的位移相对误差值不相等，为等效表示所有节点支护荷载比α的相对误差，也可利用隧洞边界变形后断面面积损失比相对误差表示支护结构承担的荷载比α的相对误差，即3 工程实例为验证收敛-约束特征曲线数值求解方法的有效性，本文以滇中引水工程为背景，利用收敛-约束特征曲线数值求解方法和收敛-约束解析法进行圆形隧洞（与马蹄形断面面积相等，半径为5.38 m）支护研究，并对数值解与解析解进行对比.通过与解析解对比验证收敛-约束特征曲线数值求解方法的有效性，利用收敛-约束特征曲线数值求解方法分析马蹄形隧洞，并与常用的两种数值方法进行对比研究，最后分析收敛-约束特征曲线数值求解方法的计算误差.3.1工程概况以及模拟过程滇中引水工程中万家-罗茨段隧洞埋深一般为200～400 m，最大埋深640 m.隧洞穿越地层以“滇中红层”的泥岩、泥质粉砂岩、粉砂岩、泥灰岩及砂岩等为主，在线路末段部分出露有下元古界昆阳群泥质板岩、粉砂质板岩等变质岩和震旦系白云岩、白云质灰岩等碳酸盐岩.引水隧洞断面为马蹄形，如图10（a）所示，验证收敛-约束特征曲线数值求解方法有效性时采用与马蹄形隧洞断面等面积的圆形隧洞，隧洞断面模型图如图9所示.在验证收敛-约束特征曲线数值求解方法有效性基础上，利用该方法分析马蹄形隧洞，数值计算模型如图10（b）所示，并与常用的2种数值方法进行对比.常用的数值方法分析思路：方法1，在马蹄形隧洞边界上施加均布支护阻力pi，其值由7 MPa逐步减小到0，同时对隧洞开挖边界上的6个点进行位移监测，从而得出监测点1～6的位移随支护阻力变化的曲线，即围岩特征曲线.方法2，利用面积等效法，将马蹄形隧洞等效为半径为5.38 m的圆形隧洞，通过上述方法得出围岩特征曲线.这两种方法的支护特征曲线均按式（4）得到，最后利用数值法得到的围岩特征曲线和解析法得到的支护特征曲线进行非圆形隧洞支护设计.收敛-约束特征曲线数值求解方法分析思路：通过开挖瞬间获得隧洞开挖边界节点上的最大不平衡力Fui，在每个节点上施加虚拟节点支撑反力Fsi=（1-λ）逐步增加应力释放率λ的大小（其值由0→1），施加过程如图5所示，每一种应力释放率下，进行数值计算，得到该应力释放率下围岩的变形，通过逐步增加应力释放率λ的值获得隧洞边界位移与不同应力释放率之间的关系曲线，即围岩特征曲线.收敛-约束特征曲线数值求解方法得到两种围岩特征曲线，分别为：未支护围岩特征曲线和已支护围岩特征曲线.在隧洞整个开挖过程中，假设不施加任何支护。

一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。

周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。

例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。

正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。

三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。

这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。

每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。

1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。

把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。

（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。

第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。

第三步：连线。

用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。

2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。

根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。

3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。

圆锥曲线非标准方程
圆锥曲线指的是一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们通常由标准方程表示，但也可以通过非标准形式来表示。

下面是一些圆锥曲线的非标准方程例子：
椭圆的非标准方程：
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
双曲线的非标准方程：
A'x^2 + B'xy - C'y^2 + D'x + E'y + F' = 0
抛物线的非标准方程：
Ax^2 + Cy = By^2 + Dx + Ey + F
这些非标准形式的圆锥曲线方程可能在某些特定的数学问题或工程应用中使用，但通常在数学理论和一般分析中，还是更常见和方便使用标准方程来表示圆锥曲线。