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微分中值定理及其应用

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第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性 （第124-125页）1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0101sin)(x x xx x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f ．2．证明：（1）方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根； （2）方程0=++q px x n（n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根．3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上f 和g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）．4．证明 （1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥；（2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤-；（3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-． 5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0； （2）h h h h <<+arctan 122，其中0>h ． 6．确定下列函数的单调区间：（1）23)(x x x f -=； （2）x x x f ln 2)(2-=；（3）22)(x x x f -=； （4）xx x f 1)(2-=．7．应用函数的单调性证明下列不等式：（1）3tan 3x x x ->，)3,0(π∈x ；（2）x x x<<sin 2π，)2,0(π∈x ；（3）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-，0>x ． 8．以)(x S 记由))(,(a f a , ))(,(b f b , ))(,(x f x 三点组成的三角形面积, 试对)(x S 应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.9．设f 为],[b a 上二阶可导函数，0)()(==b f a f ，并存在一点∈c ) ,(b a 使得0)(>c f ．证明至少存在一点∈ξ) ,(b a ，使得0)(<''ξf ．10．设函数f 在) ,(b a 内可导，f '单调．证明f '在) ,(b a 内连续．11．设)(x p 为多项式，α为0)(=x p 的r 重实根．证明α必定是0)(='x p 的1-r 重实根． 12．证明：设f 为n 阶可导函数，若方程0)(=x f 有1+n 个相异的实根，则方程0)()(=x f n 至少有一个实根．13．设a ，0>b ．证明方程b ax x ++3不存在正根． 14．证明：x x x x sin tan >，∈x ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,0π． 15．证明：若函数f ，g 在区间],[b a 上可导，且)()(x g x f '>'，)()(a g a f =，则在) ,(b a 内有)()(x g x f >．§2 柯西中值定理和不定式极限 （第132-133页）1．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2．设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-．3．设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数．证明：)()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→． 4．设20πβα<<<．证明存在),(βαθ∈，使得θαββαcot cos cos sin sin =--．5．求下列不定式极限（1）x e x x sin 1lim 0-→； （2）x xx 3cos sin 21lim 6-→π；（3）1cos )1ln(lim0--+→x x x x ； （4）x x xx x sin tan lim 0--→；（5）5sec 6tan lim2+-→x x x π； （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ；（7）xx x sin 0)(tan lim →； （8）xx x-→111lim ；（9）xx x 12)1(lim +→； （10）x x x ln sin lim 0+→；（11）⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ； （12）210tan lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→． 6．设函数f 在点a 的某个邻域内具有二阶导数．证明：对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f ha f h a f h a f θθ-''++''=--++． 7．求下列不定式极限： （1）2sin1)1cos(ln lim1xx x π--→； （2）x x x ln )arctan 2(lim -+∞→π；（3）xx xsin 0lim +→； （4）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→x x x x x 1)1ln(lim 2)1(0； （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 1cot lim 0； （7）xe x xx -+→10)1(lim ； （8）x x x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π．8．设0)0(=f ，f '在原点的某邻域内连续，且0)0(≠'f ．证明： 1lim )(0=+→x f x x．9．证明定理6.6中0)(lim =+∞→x f x ，0)(lim =+∞→x g x 情形时的洛比达法则．10．证明：23)(x e x x f -=为有界函数．§3 泰勒公式 （第141-142页）1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式 （1）xx f +=11)(；（2）x x f arctan )(=到含有5x 的项； （3）x x f tan )(=到含有5x 的项． 2．按例4的方法求下列极限（1）30)1(sin lim xx x x e x x +-→； （2）)]11ln([lim 2x x x x +-∞→； （3）)cot 1(1lim0x xx x -→．3．求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）54)(23++=x x x f ，在1=x 处； （2）xx f +=11)(，在0=x 处 4．估计下列近似公式的绝对误差：（1）6sin 3x x x -≈，当21≤x ；（2）82112x x x -+≈+，] 1 ,0 [∈x ．5．计算：（1）数e 准确到910-； （2）11lg 准确到910-．§4 函数的极值与最大（小）值 （第146-147页）1．求下列函数的极值（1）432)(x x x f -=； （2）212)(xxx f +=； （3）x x x f 2)(ln )(=； （4）)1ln(21arctan )(2x x x f +-=．2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(24x x xx x f（1）证明：0=x 是极小值点；（2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件．3．证明：若函数f 在点0x 处有0)(0<'+x f （>0）0)(0>'-x f （<0），则0x 为f 的极大（小）值点．4．求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）]2,1[,155345-++-=x x x y ； （2）x x y 2tan tan 2-=，)2,0[π；（3）),0(,ln ∞+=x x y ．5．设)(x f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点0x ．证明：若0x 是f 的极大（小）值点，则0x 必是f 在I 上的最大（小）值点．6．把长为l 的线段截为两段，问怎样截法能使这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7．有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V 时，要使容器的表面积最小，底的半径与容器高的比例应该怎样？8．设用仪器进行测量时，读得n 次试验数据为1a ，2a ，…，n a ．问以怎样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小．9．求一正数a ，使它与其倒数之和最小． 10．求下列函数的极值：（1）)1()(2-=x x x f ；（2）1)1()(242+-+=x x x x x f ；（3）32)1()1()(+-=x x x f ．11．设x bx x a x f ++=2ln )(在11=x ，22=x 处都取得极值．试求a 与b ；问这时)(x f 在1x 与2x 市取得极大值还是极小值？12．；在抛物线px y 2=那一点的法线被抛物线所截之线段为最短．13．要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为akm BC =的B 城（见图6-11），轮船运费的单价是α元/km ，火车运费的单价是β元/km (αβ>) ，试求运河边上一点M ，修建铁路MB ，使总运费最省．§5 函数的凸性与拐点 （第153-154页）1．确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）25363223+--=x x x y ； （2）xx y 1+=； （3）xx y 12+=； （4）)1ln(2+=x y ； （5）211x y +=．2．问a 和b 为何值时，点)3 ,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 3．证明：（1）若f 为凸函数，λ为非负实数，则f λ为凸函数； （2）若f ，g 均为凸函数，则g f +为凸函数；（3）若f 为区间I 上凸函数，g 为)(I f J ⊃上凸增函数，则f g ο为凸函数．4．设f 为区间I 上严格凸函数．证明：若I x ∈0为f 的极小值点，则0x 为f 为I 上唯一的极小值点．5．应用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数a ，b ，有)(212b ab a e e e+≤+； （2）对任何非负实数a ，b ，有b a b a arctan arctan 2arctan 2+≥⎪⎭⎫⎝⎛+． 6．证明：若f ，g 均为区间I 上凸函数，则{})( ),(m ax )(x g x f x F =也是I 上凸函数． 7．证明：（1）f 为区间I 上凸函数的充分必要条件是对I 上任意三点321x x x <<，恒有0 )(1)(1)(1 332211≥=∆x f x x f x x f x ； （2）f 为严格凸函数的充分必要条件是0>∆． 8．应用詹森不等式证明：（1）设0>i a （n i , ,2 ,1Λ=），有na a a a a a a a a n nn n n+++≤≤++ΛΛΛ212121111；（2）设0 ,>i i b a （n i , ,2 ,1Λ=），有qni q i pni p i ni ii b a ba 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===， 其中1>p ，1>q ，111=+qp ．§6 函数图象的讨论 （第155页）按函数作图步骤，作下列函数图象（1）2015623--+=x x x y ； （2）22)1(2x x y +=；（3）x x y arctan 2-=； （4）xxey -=；（5）3553x x y -=； （6）2x e y -=； （7）32)1(x x y -=； （8）232)2(-=x x y ．*§7方程的近似解 （第158页）1．求02323=+-x x 得实根到三位有效数字．2． 求方程1sin 538.0+=x x 的根的近似值，精确到001.0．总练习题 （第158-160 页）1．证明：若)(x f 在有限开区间),(b a 内可导，且)(lim )(lim x f x f bx ax -+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(='ξf2．证明：若0>x ，则 （1）)(211x x x x θ+=-+，其中21)(41≤≤x θ； （2）41)(lim 0=→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ． 3．设函数f 在],[b a 上连续，在) ,(b a 内可导，且0>⋅b a ．证明存在) ,(b a ∈ξ，使得)()( )()( 1ξξξf f b f a f b a b a '-=-． 4．设f 在],[b a 上三阶可导，证明存在) ,(b a ∈ξ，使得)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=．5．对)1ln()(x x f +=应用拉格朗日中值定理，试证：对0>x ，有11)1ln(10<-+<xx ．6．设1a ，2a ，…，n a 为n 各正数，且xx nx xn a a a x f 121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Λ． 证明：（1）n n x a a a x f Λ210)(lim =→；（2）{}n x a a a x f , , ,max )(lim 21Λ=+∞→．7．求下列极限： （1）)1ln(/121)1(lim x x x -→--； （2）20)1ln(lim xx xe x x +-→； （3）xx x x sin 1sinlim20→．8．设0>h ，函数f 在) ;(h a U 内具有2+n 阶连续导数，且0)()2(≠+a f n ，f 在) ;(h a U 内的泰勒公式为nn h n a f h a f a f h a f !)()()()()(++'+=+Λ1)1()!1()(++++n n h n h a fθ，10<<θ．证明：21lim 0+=→n h θ．9．设0>k ，试问k 为何值时，方程0arctan =-kx x 存在正实根．10．证明：对任一多项式)(x p ，一定存在1x 与2x ，使)(x p 在) ,(1x -∞与) ,(2∞+x 内分别严格单调．11．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0 ,1sin 2)(2x x xx x x f （1）在0=x 点是否可导？（2）是否在0=x 的一个邻域，使f 在该邻域内单调？12．．设函数f 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明存在一点) ,(b a ∈ξ，使得)()( )(4)( 2a fb f a b f --≥''ξ．13．设函数f 在],0[a 上具有二阶导数，且M x f ≤'' )( ，f 在) ,0(a 内取极最大值．试证Ma a f f ≤'+' )( )0( ．14．设f 在) ,0[∞+上可微，且)()(0x f x f ≤'≤，0)0(=f ．证明：在) ,0[∞+上0)(≡x f ． 15．设)(x f 满足0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ，其中)(x g 为任一函数．证明：若0)()(10==x f x f （10x x <），则f 在],[10x x 上恒等于0．16．证明：定圆内接正n 边形面积将随n 的增加而增加．17．证明：f 为I 上凸函数的充要条件是对任何I x x ∈21 ,，函数))1(()(21x x f λλλϕ-+=为]1,0[上的凸函数．18．证明：（1）设f 在) ,(∞+a 上可导，若)(lim x f x +∞→，)(lim x f x '+∞→都存在，则0)(lim ='+∞→x f x ．（2）设f 在) ,(∞+a 上n 阶可导，若)(lim x f x +∞→，)(lim )(x fn x +∞→都存在，则0)(lim )(=+∞→x f k x ，（n k , ,2 ,1Λ=）．19．设f 为) ,(∞+-∞上的二阶可导函数．若f 在) ,(∞+-∞上有界，则存在) ,(∞+-∞∈ξ，使0)(-''ξf ．。

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5第五章 微分中值定理及其应用

5第五章 微分中值定理及其应用

第五章 微分中值定理及其应用教学目的:通过微分学基本定理的介绍,揭示函数与其导数之间的关系,使同学在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁.教学要求:掌握微分学基本定理的条件和结论及几何意义,并学会应用它解决理论证明和实际应用问题.§1 微分中值定理引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。

一 费马定理 定义1（极值） 若函数f 在区间X 上有定义，0x X ∈。

若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0(,)x O x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。

若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤，则称f 在点0x 取得极小值，称点0x 为极小值点。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

极值存在的必要条件――费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义，且在点0x 可导。

若0x 为f 的极值点，则比有0()0f x '=。

何几意义：可导极值点的切线平行于x 轴。

由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。

如3()f x x =,点x=0是稳定点，但不是极值点。

二 中值定理 1、 Lagrange 定理 若函数f 满足以条件：（1）f 在[],a b 上连续；（2）f 在(),a b )内可导。

第六章微分中值定理及应用(1-3)

第六章微分中值定理及应用(1-3)


而已知f ( x )在x 0可导,则 f ' ( x0 )= f +' ( x0 )=f -' ( x0 ) f ' ( x0 )=0
二、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) ,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
既然是极大点,所以在x0的小领域内U(x0 )内 x U(x0 ), 有f ( x ) f ( x0 ) (若是极小值点,则f ( x ) f ( x0 ))
那么
(1)当x>x 0时, f ( x ) f ( x0 ) 0, x x0 由极限保号性, f +' ( x0 ) 0 (2)当x<x 0时, f ( x ) f ( x0 ) 0, x x0 同理有 f -' ( x0 ) 0
第六章:
微分中值定理及其应用
定义:
极值: 设函数 f(x)在区间 I 上有定义，并且存在一个 点 x0 的一个领域U ( x0 ) I ，对于 x U ( x0 ) ，有
f ( x ) f ( x0 ), ( f ( x ) f ( x0 ))
则称 x0 是函数 f （x） 的极大值点 （极小值点）f ( x0 ) 是 函数 f(x)的极大(小)值. 极大值或极小值点统称为极值点. 请思考:极 大(小)值和 最大(小)值 相同么?
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用

微分中值定理摘 要微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。

本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。

关 键 词 微分中值定理 罗尔定理 朗格朗日中值定理 柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。

希腊著名数学家阿基米德（Archimedes ，公元前287—前221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673年著名法国数学家费马（Fermat ，1601—1665）在《求最大者最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。

1691年法多数学家罗尔(Rolle ，1652—1719)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。

1797年，法国数学家拉格朗日（Lagrange ，1736—1813）在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。

对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy ，1789—1857），他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。

在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。

2、中值定理及证明：1) Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。

证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。

第六章微分中值定理及应用

第六章微分中值定理及应用

第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日定理和函数的单调性1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101sin )(x x x x x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f 解：（1）因为f 在]1,0[π连续，在可导，且)1()0(πf f =，所以由Rolle 定理，)1,0(πξ∈∃，使得0)(='ξf 。

（2）因为⎩⎨⎧<->='0101)(x x x f ，且)0(f '不存在，故不存在一点ξ，使0)(='ξf2．证明：（1）方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根；证明：设c x x x f +-=3)(3，由于方程033)(2=-='x x f 在)1,0(内没有根，所以（由P.120，例1）方程033=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。

（2）方程0=++q px x n （n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

证明：设q px x x f n ++=)(，于是0)(1=+='-p nx x f n 。

当n 为偶数时，n -1为奇数，故方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有一个实根（因为幂函数p nx n +-1严格递增），从而方程0=++q px x n至多有两个实根； 当n 为奇数时，n -1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有两个实根，从而方程0=++q px x n 当n 为奇数时至多有三个实根。

3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上f 和g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）证：令)()()(x g x f x F -=，则F 在区间I 上可导，且0)()()(≡'-'='x g x f x F ，由推论1，存在常数c ，使得c x F =)(，即c x g x f +=)()(4．证明：（1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥（2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤- （3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-证：因为f 在],[b a 上可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是) 1 , 0 [ π),(b a ∈∃ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ（1）因为m x f ≥')(，所以)())(()()(a b m a b f a f b f -≥-'=-ξ，从而有)()()(a b m a f b f -+≥（2）因为M x f ≤'|)(|，所以)(|||)(||)()(|a b M a b f a f b f -≤-⋅'=-ξ（3）不妨设21x x <，正弦函数x x f sin )(=在],[21x x 上连续，在),(21x x 可导，于是),(b a ∈∃ξ，使得|||||cos ||sin sin |122121x x x x x x -≤-⋅=-ξ5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）a ab a b ba b -<<-ln ，其中b a <<0 证：设x x f ln )(=，则f 在],[b a 上连续且可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),(b a ∈∃ξ，使得)(1))((ln ln lna b a b f a b a b -=-'=-=ξξ，因为b a <<<ξ0，所以a ab a b ba b -<-<-ξ， 从而a ab a b ba b -<<-ln （2）h h h h <<+arctan 122，其中0>h 证： 设x x f arctan )(=，则f 在],0[h 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),0(h ∈∃ξ，使得21)0)((0arctan arctan arctan ξξ+=-'=-=hh f h h 。